Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:Durchflutungsgesetz.png|250px|thumb|right|Durchflutungsgesetz]]
 
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'''Viele wichtige Zusammenhänge''' in der Elektrotechnik '''sind''' mit Integralsätzen formuliert, wie zum Beispiel der Satz von Gauß, das Durchflutungsgesetz oder das Induktionsgesetz. Dabei wird '''immer''' über eine Kontur oder eine Fläche integriert. Um diese Konturen oder Flächen richtig zu beschreiben benötigt man infinitesimale ('''Herkunft des Wortes''') Elemente.
 
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Betrachtet man das Durchflutungsgesetz, welches das [[Das Linienintegral|Linienintegral]] der magnetischen Feldstärke um eine geschlossene Kurve ''C'' in Beziehung zum Strom setzt, der durch die von dieser Kurve eingeschlossene Fläche fließt ('''Satz endet nicht richtig'''):
 
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:<math>\oint_C \vec{\mathbf{H}}\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}=I</math>
 
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An dieser Stelle '''soll es aber unter anderem''' um das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math> gehen.
 
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Man erkennt '''in den''' jeweiligen Integralen, ob man über einen Weg, eine Fläche oder ein Volumen integriert, indem man das '''Differential''' am Ende des Integrals betrachtet. Es kann die Fom <math>\mathrm{d}s</math>,<math>\mathrm{d}A</math> oder <math>\mathrm{d}V</math> annehmen.
 
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==Einführung==
 
==Einführung==
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Infinitesimale (von ''lateinisch'' infinitus = unbegrenzt, hier sinngemäß: beliebig/unbegrenzt klein) Weg-, Flächen-, und Volumenelemente spielen eine zentrale Rolle in der [[Differentialquotient|Differential-]] und Integralrechnung. So treten in der Lehrveranstaltung zum Beispiel verschiedene [[Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht|vektorielle Mehrfachintegrale]] auf, in denen diese Elemente verwendet werden.
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Infinitesimale (von lateinisch ''infinitus'' = unbegrenzt, hier sinngemäß: beliebig/unbegrenzt klein) Weg-, Flächen-, und Volumenelemente spielen eine zentrale Rolle in der [[Differentialquotient|Differential-]] und Integralrechnung. So treten in der Lehrveranstaltung zum Beispiel verschiedene [[Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht|vektorielle Mehrfachintegrale]] auf, in denen diese Elemente verwendet werden.
  
 
Die Spannung <math>U_{12}</math> zwischen zwei Punkten <math>P_1</math> und <math>P_2</math> in einem elektrischen Feld <math>\vec{\textbf{E}}</math> lässt sich unter anderem wie folgt bestimmen:
 
Die Spannung <math>U_{12}</math> zwischen zwei Punkten <math>P_1</math> und <math>P_2</math> in einem elektrischen Feld <math>\vec{\textbf{E}}</math> lässt sich unter anderem wie folgt bestimmen:
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Aktuelle Version vom 4. Dezember 2018, 19:58 Uhr

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Zu diesem Thema stehen Aufgaben zur Selbstkontrolle zur Verfügung.

Einführung

Infinitesimale (von lateinisch infinitus = unbegrenzt, hier sinngemäß: beliebig/unbegrenzt klein) Weg-, Flächen-, und Volumenelemente spielen eine zentrale Rolle in der Differential- und Integralrechnung. So treten in der Lehrveranstaltung zum Beispiel verschiedene vektorielle Mehrfachintegrale auf, in denen diese Elemente verwendet werden.

Die Spannung U_{12} zwischen zwei Punkten P_1 und P_2 in einem elektrischen Feld \vec{\textbf{E}} lässt sich unter anderem wie folgt bestimmen:

U_{12} = \int_{P_1}^{P_2} \vec{\textbf{E}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}

In diesem Fall wird über eine beliebige Kontur, die am Punkt P_1 beginnt und am Punkt P_2 endet, integriert. Dabei beschreibt \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} ein infinitesimales (d. h. beliebig kleines) gerichtetes Teilstück (gerichtet da vektoriell) dieser Kontur (siehe auch Linienintegral). Der Ausdruck \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} wird Differential genannt und entsprechend spricht man auch von einer differentiellen Wegänderung.

Die nachfolgende Übersicht zeigt typische Varianten von infinitesimalen Elementen, die auf Artikel mit ausführlicheren Erklärungen und Beispielen verweisen. Eine Übersicht verschiedener Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der Formelsammlung Koordinatensysteme.

Übersicht

Wegelemente

Infinitesimale Wegelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Kontur, die meist mit C bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Linienintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit \mathrm{d}s beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} bezeichnet. Die Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten Tangente.

Linienladung Gerade.svg
Flächenelemente

Infinitesimale Flächenelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Fläche, die meist mit A bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Flächenintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit \mathrm{d}A beziehungsweise bei einer gerichteten Fläche mit \mathrm{d}\vec{\textbf{A}} bezeichnet. Die Richtung eines bestimmten Teilelements der Fläche entspricht dabei einem darauf senkrecht stehenden Einheitsvektor (=Flächennormalenvektor oder kurz Normalenvektor).

Flaechenelement.svg
Volumenelemente

Infinitesimale Volumenelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente eines Volumens, das meist mit V bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Volumenintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit \mathrm{d}V bezeichnet. Da einem Volumen keine Richtung zugeordnet werden kann, tritt dieses Element immer nur als Betrag auf.

Volumenelement Zylinder.svg

Video zu den Elementen in verschiedenen Koordinatensystemen

Literatur

  • Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
  • Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
  • Klaus Jänich, Mathematik 1 Geschrieben für Physiker, 2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
  • Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
  • Dr. Thomas Hempel, Mathematische Grundlagen, Linienintegral, Vorlesungsskript, Universität Magdeburg, 2010
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