Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht

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Einführung

Einfache Anordnung zur Demonstration des Wegintegrals

Beispielanordnung zum Durchflutungsgesetz

In der Lehrveranstaltung treten häufig Mehrfachintegrale auf, bei denen vektorielle Funktionen (meist Feldgrößen) z. B. über Konturen oder Flächen integriert werden. Beispiele hierfür sind der Satz von Gauß, das Induktionsgesetz oder das Durchflutungsgesetz.

Einführend wird eine Punktladung $Q$ betrachtet, die in einem homogenen (d. h. ortsunabhängigen) elektrischen Feld $\vec{\textbf{E}}$ von einem Punkt $A=0$ zu einem Punkt $B=l$ entlang der $x$-Achse eines kartesischen Koordinatensystems bewegt wird (siehe Abbildung). Gesucht ist nun die Arbeit $W_{AB}$, die dabei verrichtet wird. Um $W_{AB}$ zu bestimmen, muss die dafür erforderliche Kraft $\vec{\textbf{F}}$ entlang des zurückgelegten Weges integriert werden:

$W_{AB} = \int_{A}^{B} \vec{\textbf{F}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$

Durch das elektrische Feld $\vec{\textbf{E}}$ wirkt auf die Ladung $Q$ die Coulombkraft $\vec{\textbf{F}} = Q \vec{\textbf{E}}$. Das elektrische Feld zeigt in die postive $x$-Richtung, daher gilt $\vec{\textbf{E}} = E\,\vec{\textbf{e}}_{x}$. Da die Ladung ausschließlich entlang der positiven $x$-Richtung verschoben wird, gilt $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = \mathrm{d}x\,\vec{\textbf{e}}_{x}$ für das infinitesimale Wegelement. Diese Beziehungen können nun in das Wegintegral eingesetzt werden:

$W_{AB} = Q \int_{0}^{l} E\,\vec{\textbf{e}}_{x} \cdot \vec{\textbf{e}}_{x}\,\mathrm{d}x = QE \int_{0}^{l}\mathrm{d}x = QEl$

Dabei wurde ausgenutzt, dass die elektrische Feldstärke ortsunabhängig (also auch unabhängig von der Integrationsvariable $x$) ist und somit vor das Integral geschrieben werden kann. Für das Skalarprodukt der Einheitsvektoren folgt weiterhin $\vec{\textbf{e}}_{x} \cdot \vec{\textbf{e}}_{x} = 1$. Eine von der Ladung $Q$ unabhängige Beziehung erhält man dadurch, dass man die Arbeit durch diese Größe dividiert: $U_{AB}=W_{AB}/Q = QEl/Q = El$. Diese Größe bezeichnet man als Spannung.

Ein weiteres Beispiel ist das Durchflutungsgesetz, dieses lautet wie folgt:

$\oint_{C} \vec{\textbf{H}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = \int_{A} \vec{\textbf{S}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{A}} = I_{\mathrm{eing}}$

Das Durchflutungsgesetz sagt aus, dass die Integration der magnetischen Feldstärke $\vec{\textbf{H}}$ über eine geschlossene Kontur $C$ dem in der Fläche $A$ eingeschlossenen Strom $I_{\mathrm{eing}}$ entspricht, die durch $C$ begrenzt wird. Magnetische Felder werden also von Strömen erzeugt und das Durchflutungsgesetz setzt beide Größen zueinander in Beziehung. Der Strom $I_{\mathrm{eing}}$ kann einfach durch die Integration der Stromdichte (entspricht der elektrischen Stromstärke bezogen auf die Fläche senkrecht zur Stromrichtung) über die Fläche $A$ ermittelt werden. Die Fläche $A$ und die Kontur $C$ gehören folglich zusammen (eine Fläche wird immer von einer Kontur begrenzt). Analog verhält es sich bei Volumina, die stets durch eine geschlossene Hüllfläche begrenzt werden.

Für das Beispiel in der Abbildung kann der eingeschlossene Strom einfach durch Aufsummieren der einzelnen Ströme bestimmt werden:

$\oint_{C} \vec{\textbf{H}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = I_{\mathrm{eing}} = I_1 + I_2 - I_3$

In dem Integral handelt es sich um eine gerichtete Kontur $C$, da $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ vektoriell ist. Entsprechend der gewählten Integrationsrichtung (im oder entgegen des Uhrzeigersinns) ist auch die Zählrichtung für die Ströme gemäß der Rechten-Hand-Regel I festgelegt.

Für eine möglichst einfache Lösung der Integrale bietet sich die Verwendung eines auf den jeweiligen Anwendungsfall „zugeschnittenen“ Koordinatensystems an.

Die nachfolgende Übersicht zeigt die in der Lehrveranstaltungen vorkommenden Varianten von Integralen, die auf Artikel mit ausführlicheren Erklärungen verweisen. Wichtige Hinweise zur Lösung solcher Integrale finden sich im Artikel Lösung vektorieller Mehrfachintegrale.

Übersicht

Das Linienintegral Das Linien- oder Kurvenintegral beschreibt eine Integration entlang einer (gerichteten) Kontur $C$, z. B. von einem Anfangspunkt $P_A$ bis zu einem Endpunkt $P_B$. Dabei gibt es nur eine Integrationsvariable. Bei einer Integration entlang der $x$-Achse ist das zugehörige Differential beispielsweise durch $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}=\mathrm{d}x\,\vec{\textbf{e}}_x$ gegeben. Handelt es sich bei dem Integrationsweg $C$ um eine geschlossene Kontur, d. h. der Anfangs- und Endpunkt fallen zusammen $(P_A = P_B)$, wird das Linienintegral als Ring- oder Umlaufintegral bezeichnet und das Integralzeichen wird mit einem Ring dargestellt.	$\int\limits_{C}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} \text{ oder }\oint\limits_C \vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$
Das Flächenintegral Das Flächen- oder Oberflächenintegral beschreibt eine Integration über eine (gerichtete) Fläche. Da in diesem Fall eine Schachtelung von zwei Integrationsintervallen betrachtet wird, gibt es auch zwei Integrationsvariablen. Handelt es sich zum Beispiel um eine Fläche in der $x$-$y$-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems, so ist das Differential durch $\mathrm{d}\vec{\textbf{A}} = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\vec{\textbf{e}}_z$ gegeben (Flächennormale zeigt hier in Richtung $\vec{\textbf{e}}_z$). Handelt es sich um eine geschlossene Fläche (= Hüllfläche), so wird das Integral als Hüllflächenintegral bezeichnet und das Integralzeichen wird mit einem Ring dargestellt.	$\int\limits_A\vec{\textbf{B}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{A}} \text{ oder }\oint\limits_A\vec{\textbf{B}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{A}}$
Das Volumenintegral Das Volumenintegral beschreibt eine Integration über ein Volumen. Damit handelt es sich um eine Schachtelung von drei Integrationsintervallen, so dass es auch genau drei Integrationsvariablen gibt. Das Differential $\mathrm{d}V$ ist immer eine skalarwertige Größe, da einem Volumenelement keine Richtung zugeordnet werden kann. Soll zum Beispiel über ein Volumen innerhalb eines kartesischen Koordinatensystems integriert werden, so ist das zugehörige Differential durch $\mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$ gegeben.	$\int\limits_V \rho\,\mathrm{d}V$