Flächenelemente

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Übersicht: Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente

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Infinitesimale Flächenelemente sind beliebig kleine Teilelemente einer Fläche, die meist mit $A$ bezeichnet wird. Sie werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Flächenenintegralen benötigt. Prinzipiell handelt es sich um eine konsequente Fortsetzung der Beschreibung infinitesimaler Wegelemente. Die Flächenelemente werden meist mit $\mathrm{d}A$ beziehungsweise bei gerichteten Flächenelementen mit $\mathrm{d}\vec{\textbf{A}}$ bezeichnet.

Handelt es sich um gerichtete Flächenelemente, so ist die Angabe der jeweils zugehörigen Orientierung erforderlich. Dazu verwendet man einen Flächennormalenvektor (oder kurz Flächennormale). Dabei handelt es sich um Einheitsvektoren, die senkrecht auf der jeweiligen Teilfläche stehen. In der nachfolgenden Abbildung ist exemplarisch eine Fläche in der $x$-$y$-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems gegeben.

Ein infinitesimales Flächenelement ergibt sich gemäß der bekannten Regel „Grundseite multipliziert mit der Höhe“, wobei diese Strecken nun infinitesimale Wegelemente darstellen. Die Flächennormale wird dementsprechend durch den Einheitsvektor $\vec{\textbf{e}}_z$ beschrieben, so dass folgt:

$\mathrm{d}\vec{\textbf{A}} = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\vec{\textbf{e}}_z$

Neben vollständig geraden werden auch häufig gekrümmte Flächenelemente benötigt, beispielsweise im Zusammenhang mit zylinder- oder kugelförmigen Ladungsanordnungen. Auch in diesem Fall lässt sich die Größe einer Teilfläche $\mathrm{d}A$ mit Hilfe der bekannten Regel „Grundseite multipliziert mit der Höhe“ bestimmen. Allerdings ist hierbei die Krümmung der Seiten zu berücksichtigen.

Beispielhaft wird eine Kreisringfläche in der $x$-$y$-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems betrachtet:

Es bietet sich die Verwendung von Polarkoordinaten an, so dass sich mit dem Kreisbogen (vgl. Wegelemente) der folgende Zusammenhang ergibt:

$\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{\textbf{e}}_z$

Eine Übersicht dieser und weiterer Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der Formelsammlung Koordinatensysteme.