Wegelemente

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Infinitesimale Wegelemente sind beliebig kleine Teilelemente einer Kontur, die meist mit C bezeichnet wird. Sie werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Linienintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit \mathrm{d}s beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} bezeichnet. Da es sich um beliebig kleine Teilelemente einer Kontur handelt, ist eine eventuell vorhandene Krümmung eines einzelnen Teilelements vernachlässigbar. Die zugehörige Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten Tangente.

Am häufigsten werden geradlinige oder kreisförmige Konturen (bzw. Teile davon, d. h. Kreisbögen) verwendet. Ist beispielsweise eine auf der x-Achse gelegene und konstante Linienladungsdichte (=Ladungsmenge/Strecke) \lambda gegeben (siehe Abbildung), so erhält man die Gesamtladung Q durch Integration über diese Strecke.

Linienladung entlang einer Koordinatenachse

Ein beliebig kleines Teilstück der x-Achse ist dann durch \mathrm{d}x gegeben, so dass das zugehörige Integral folgende Form annimmt:


Q = \int_C \lambda\, \mathrm{d}s = \int_0^l \lambda\, \mathrm{d}x = \lambda l

Bei einer kreisförmigen Kontur, wie sie in der nachfolgenden Abbildung dargestellt ist, bietet sich die Verwendung von Polarkoordinaten an.

Wegelement auf einer Kreisbahn

Ein beliebig kleines Teilstück der Kreiskontur schließt dabei einen ebenfalls beliebig kleinen Winkel \mathrm{d}\varphi ein. Der Gesamtumfang des Kreises ergibt sich gemäß U=2\pi r. Hierbei entspricht der Wert 2\pi dem vom Kreis erfassen Winkel im Bogenmaß. Hat man nun also nur noch ein beliebig kleines Teilstück des Kreises und damit statt 2\pi nur noch einen Winkel \mathrm{d}\varphi gegeben, so folgt für das entsprechende Wegelement:


\mathrm{d}s = \mathrm{d}\varphi\, r

Mit Hilfe der Polarkoordinaten ist auch die Angabe gerichteter Elemente möglich, bei einer Orientierung entgegen des Uhrzeigersinns ergibt sich hier zum Beispiel das folgende Element:


\mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = \mathrm{d}\varphi\, r\, \vec{\textbf{e}}_\varphi

Eine Übersicht dieser und weiterer Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der Formelsammlung Koordinatensysteme.

Literatur

  • Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)