Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht

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Einführung

Koordinatensysteme werden zur eindeutigen Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen (z. B. Ladungen oder stromführende Leiter) im Raum verwendet und ermöglichen erst die eindeutige Formulierung von Vektoren. Weiterhin lassen sich ortsabhängige Größen wie beispielsweise elektrische und magnetische Felder beschreiben. In der Lehrverstaltung sind neben den bekannten kartesischen Koordinaten besonders Zylinder- und Kugelkoordinaten von Bedeutung. Auch bei diesen beiden Koordinatensystemen dient das kartesische Koordinatensystem jedoch immer als Referenz. In der Regel ist es vorteilhaft, ein auf die jeweilige Problemstellung „zugeschnittenes“ Koordinatensystem zu verwenden. Das elektrische Feld einer Punktladung $Q$ ist beispielsweise radialsymmetrisch und der Betrag hängt ausschließlich vom Abstand $r$ zur Punktladung ab, so dass sich die Verwendung von Kugelkoordinaten anbietet. Mit Hilfe eines entsprechenden Einheitsvektors lässt sich die elektrische Feldstärke wie folgt angeben:

$\vec{\textbf{E}} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\, \vec{\textbf{e}}_r$

Die äquivalente Beschreibung in kartesischen Koordinaten ist weniger kompakt und lautet wie folgt (vgl. Formelsammlung Koordinatensysteme):

$\vec{\textbf{E}} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 (x^2+y^2+z^2)}\, (\vec{\textbf{e}}_x \sin\vartheta\cos\varphi +\vec{\textbf{e}}_y \sin\vartheta\sin\varphi +\vec{\textbf{e}}_z\cos\vartheta)$

Mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen können auch die aus dem Kugelkoordinatensystem stammenden Winkel $\varphi$ und $\vartheta$ ersetzt werden, so dass die Gleichung nur noch von $x$, $y$ und $z$ abhängt. Dadurch wird der Ausdruck noch umfangreicher. Eine „geschickte“ Wahl des Koordinatensystems kann außerdem zu erheblichen Vereinfachungen führen, beispielsweise bei der Bestimmung von Feldgrößen auf Basis von Mehrfachintegralen. Diesbezüglich ist es oft vorteilhaft, wenn der Koordinatenursprung – sofern frei wählbar – passend zu den Symmetrieeigenschaften einer Anordnung positioniert wird.

Bei den vorgestellten Koordinatensystemen handelt es sich um orthogonale Koordinatensysteme. Dabei stehen die in Richtung wachsender Koordinatenwerte zeigenden Einheitsvektoren senkrecht aufeinander. Werden diese allgemein mit $\vec{\textbf{e}}_1$, $\vec{\textbf{e}}_2$ und $\vec{\textbf{e}}_3$ bezeichnet, so folgt mit dem Skalarprodukt:

$\vec{\textbf{e}}_1 \cdot \vec{\textbf{e}}_2 = \vec{\textbf{e}}_2 \cdot \vec{\textbf{e}}_3 = \vec{\textbf{e}}_3 \cdot \vec{\textbf{e}}_1 = 0$

Da die Koordinatenlinien bei den Zylinder- und Kugelkoordinaten nicht geradlinig verlaufen, werden diese als krummlinige orthogonale Koordinatensysteme bezeichnet. Bei dem kartesischen Koordinatensystem handelt es sich also um ein geradliniges orthogonales Koordinatensystem. Darüber hinaus handelt es sich um Rechtssysteme (prinzipiell sind auch andere Konventionen möglich), so dass das Vektorprodukt von zwei aufeinander folgenden Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor liefert:

$\vec{\textbf{e}}_1 \times \vec{\textbf{e}}_2 = \vec{\textbf{e}}_3,\quad \vec{\textbf{e}}_2 \times \vec{\textbf{e}}_3 = \vec{\textbf{e}}_1,\quad \vec{\textbf{e}}_3 \times \vec{\textbf{e}}_1 = \vec{\textbf{e}}_2$

Die nachfolgende Tabelle zeigt eine Übersicht der verschiedenen Koordinatensysteme.

Übersicht

Kartesische Koordinaten Bei dem kartesischen Koordinatensystem wird ein Punkt $P$ im Raum durch die drei Koordinaten $x$, $y$ und $z$ beschrieben. Die Koordinatenachsen sind geradlinig und orthogonal zueinander angeordnet, so dass diese ein Rechtssystem bilden. Der Schnittpunkt der Achsen, an dem alle Koordinaten den Wert Null haben, wird Koordinatenursprung genannt. Die Einheitsvektoren zeigen immer in die Richtung der jeweils zugehörigen Achse und in Richtung wachsender Koordinatenwerte, so dass diese an jedem Punkt im Raum identisch sind.	$P=P(x,y,z)$ $-\infty\leq x\leq\infty$ $-\infty\leq y\leq\infty$ $-\infty\leq z\leq\infty$	Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt $P$ im Raum durch die drei Koordinaten $\rho$, $\varphi$ und $z$ beschrieben. Dabei bleibt die $z$-Achse des kartesischen Koordinatensystems erhalten. $\rho$ (je nach Quelle auch als $r$ bezeichnet) gibt den Abstand zur $z$-Achse an und $\varphi$ bezeichnet den Winkel zum betrachteten Punkt. Dabei wird $\varphi$ ausgehend von der positiven $x$-Achse in Richtung der positiven $y$-Achse gezählt. Die Richtung der Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_\rho$ und $\vec{\textbf{e}}_\varphi$ hängt von der Position des betrachteten Punktes ab. Betrachtet man ausschließlich die $x$-$y$-Ebene ohne die $z$-Achse, so handelt es sich um Polarkoordinaten.	$P=P(\rho,\varphi,z)$ $0 \leq \rho \leq\infty$ $0 \leq \varphi < 2\pi$ $-\infty \leq z \leq\infty$	Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt $P$ im Raum durch die drei Koordinaten $r$, $\vartheta$ und $\varphi$ beschrieben. Dabei bezeichnet $r$ den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. $\vartheta$ gibt den Winkel zwischen der positiven $z$-Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden Ortsvektor an. Der Winkel $\varphi$ wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt, also ausgehend von der positiven $x$-Achse in Richtung der positiven $y$-Achse. Die Richtung der Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_r$, $\vec{\textbf{e}}_\vartheta$ und $\vec{\textbf{e}}_\varphi$ hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Alle Punkte mit identischem $\vartheta$ liegen auf einem „Breitengrad” und Punkte mit identischem $\varphi$ liegen auf einem „Längengrad“.	$P=P(r,\vartheta,\varphi)$ $0\leq r\leq\infty$ $0\leq \vartheta\leq\pi$ $0\leq \varphi < 2\pi$	Kugelkoordinaten