Volumenelemente

Aus GET A
Wechseln zu: Navigation, Suche
← Zurück: Flächenelemente Übersicht: Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente Vorwärts: Übersicht Erweiterung der Integralrechnung

Infinitesimale Volumenelemente sind beliebig kleine Teilelemente eines Volumens, das meist mit V bezeichnet wird. Volumenelemente werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Volumenintegralen benötigt. Prinzipiell handelt es sich um eine konsequente Fortsetzung der Beschreibung infinitesimaler Weg- und Flächenelemente. Infinitesimale Volumenelemente werden meist mit \mathrm{d}V bezeichnet.

Da einem Volumen keine Richtung zugeordnet werden kann, tritt dieses Element immer nur als Betrag auf.

Ein infinitesimales Volumenelement ergibt sich gemäß der bekannten Regel „Grundfläche multipliziert mit der Höhe“, wobei die Grundfläche nun ein infinitesimales Flächenelement und die Höhe ein infinitesimales Wegelement darstellt. Somit ergibt sich ein infinitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten wie folgt:


\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

In der nachfolgenden Abbildung wird die Bestimmung eines infinitesimalen Volumenelements in Zylinderkoordinaten verdeutlicht:

Volumenelement eines Zylinders

Im Artikel Flächenelemente wurde bereits die Bestimmung einer infinitesimalen Kreisringfläche beschrieben. Die Fläche muss nun noch mit dem infinitesimalen Wegstück \mathrm{d}z (entspricht der „Höhe“) multipliziert werden, so dass hier folgt:


\mathrm{d}V=\underbrace{\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\rho}_{\mathrm{d}A}\mathrm{d}z

Ein Volumenelement in Kugelkoordinaten ergibt sich durch eine analoge Vorgehensweise, wobei hier nun mehrere gekrümmte Konturelemente zu berücksichtigen sind. Die nachfolgende Grafik verdeutlicht die Vorgehensweise:

Volumenelement einer Kugel

Eine Übersicht dieser und weiterer Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der Formelsammlung Koordinatensysteme.

Beispiel: Volumenelemente in kartesischen Koordinaten
Volumenelement in kartesischen Koordinaten

In diesem Beispiel ist eine konstante Raumladungsdichte \rho in einem Quader mit den Kantenlängen a, b und c gegeben. Bei der Raumladungsdichte handelt es sich um eine analoge Größe zur Dichte eines Körpers, die die Masse pro Volumen beschreibt. Daher muss, um die Gesamtladung Q zu bestimmen, über das Volumen des Quaders integriert werden:


Q=\int_V\rho\,\mathrm{d}V

Ein Volumenelement in kartesischen Koordinaten wird wie folgt beschrieben:


\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

Es kann direkt in die Gleichung eingesetzt und das Integral gelöst werden. Da die Raumladungsdichte \rho hier konstant ist, kann \rho vor das Integral geschrieben werden (bei einer ortsabhängigen Raumladungsdichte wäre dies nicht mehr möglich):


Q=\int_0^c\int_0^b\int_0^a \rho\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\rho\int_0^c\int_0^b\int_0^a\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

Damit folgt für die Gesamtladung:

Q=\rho\cdot a\cdot b\cdot c=\rho\cdot V

Aufgrund der konstanten Raumladungsdichte kann die Gesamtladung folglich auch sofort ohne die Integration angegeben werden.

Beispiel: Volumenelemente in Kugelkoordinaten
Raumladung einer Kugel

Im zweiten Beispiel wird eine eine kugelförmige und konstante Raumladungsdichte \rho mit dem Radius R betrachtet. Um in diesem Fall die Gesamtladung Q bestimmen zu können, muss über das Volumen der Kugel integriert werden. Aufgrund der Symmetrie bietet sich die Verwendung von Kugelkoordinaten an. Wie im vorherigen Beispiel gilt zunächst:


Q=\int_V\rho\,\mathrm{d}V

Um über das gesamte Kugelvolumen zu integrieren, müssen die Integrationsgrenzen wie folgt gewählt werden (vgl. Kugelkoordinaten):

0\leq r \leq R
0\leq\varphi\leq 2\pi
0\leq\vartheta\leq\pi

Außerdem muss das Differntial in Kugelkoordinaten angegeben werden:


\mathrm{d}V=r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r

Durch Einsetzen folgt:


Q=\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\cdot r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d} r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta

Da es sich hier bei \rho um eine Konstante handelt, kann diese Größe vor das Integral geschrieben werden und es folgt:


Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{r^3}{3}\right|_0^R=\rho\underbrace{\frac{4\pi R^3}{3}}_{V_{\text{Kugel}}}

Somit wird die Raumladungsdichte mit dem Volumen einer Kugel mit dem Radius R multipliziert.

Weitere Hinweise finden sich im Artikel zur Lösung von Mehrfachintegralen.

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073451342/student_view0/chapter13/section6/cylindrical_coordinates__app_.html Darstellung von infinitesimalen Volumenelementen in Zylinderkoordinaten (engl.)

Literatur

  • Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
  • Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
  • Klaus Jänich, Mathematik 1 Geschrieben für Physiker, 2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
  • Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
  • Dr. Thomas Hempel, Mathematische Grundlagen, Linienintegral, Vorlesungsskript, Universität Magdeburg, 2010