Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente

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Zu diesem Thema stehen Aufgaben zur Selbstkontrolle zur Verfügung.

Einführung

Infinitesimale (von lateinisch infinitus = unbegrenzt, hier sinngemäß: beliebig/unbegrenzt klein) Weg-, Flächen-, und Volumenelemente spielen eine zentrale Rolle in der Differential- und Integralrechnung. So treten in der Lehrveranstaltung zum Beispiel verschiedene vektorielle Mehrfachintegrale auf, in denen diese Elemente verwendet werden.

Die Spannung $U_{12}$ zwischen zwei Punkten $P_1$ und $P_2$ in einem elektrischen Feld $\vec{\textbf{E}}$ lässt sich unter anderem wie folgt bestimmen:

$U_{12} = \int_{P_1}^{P_2} \vec{\textbf{E}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$

In diesem Fall wird über eine beliebige Kontur, die am Punkt $P_1$ beginnt und am Punkt $P_2$ endet, integriert. Dabei beschreibt $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ ein infinitesimales (d. h. beliebig kleines) gerichtetes Teilstück (gerichtet da vektoriell) dieser Kontur (siehe auch Linienintegral). Der Ausdruck $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ wird Differential genannt und entsprechend spricht man auch von einer differentiellen Wegänderung.

Die nachfolgende Übersicht zeigt typische Varianten von infinitesimalen Elementen, die auf Artikel mit ausführlicheren Erklärungen und Beispielen verweisen. Eine Übersicht verschiedener Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der Formelsammlung Koordinatensysteme.

Übersicht

Wegelemente Infinitesimale Wegelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Kontur, die meist mit $C$ bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Linienintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit $\mathrm{d}s$ beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ bezeichnet. Die Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten Tangente.
Flächenelemente Infinitesimale Flächenelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Fläche, die meist mit $A$ bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Flächenintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit $\mathrm{d}A$ beziehungsweise bei einer gerichteten Fläche mit $\mathrm{d}\vec{\textbf{A}}$ bezeichnet. Die Richtung eines bestimmten Teilelements der Fläche entspricht dabei einem darauf senkrecht stehenden Einheitsvektor (=Flächennormalenvektor oder kurz Normalenvektor).
Volumenelemente Infinitesimale Volumenelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente eines Volumens, das meist mit $V$ bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Volumenintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit $\mathrm{d}V$ bezeichnet. Da einem Volumen keine Richtung zugeordnet werden kann, tritt dieses Element immer nur als Betrag auf.

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
• Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
• Klaus Jänich, Mathematik 1 Geschrieben für Physiker, 2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
• Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
• Dr. Thomas Hempel, Mathematische Grundlagen, Linienintegral, Vorlesungsskript, Universität Magdeburg, 2010