Das Volumenintegral

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Das Volumenintegral beschreibt eine Integration über ein Volumen. Damit handelt es sich um eine Schachtelung von drei Integrationsintervallen, so dass es auch genau drei Integrationsvariablen gibt. Das Differential \mathrm{d}V ist immer eine skalarwertige Größe, da einem Volumenelement keine Richtung zugeordnet werden kann. Soll zum Beispiel über ein Volumen innerhalb eines kartesischen Koordinatensystems integriert werden, so ist das zugehörige Differential durch \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z gegeben. Entsprechende Differentiale in anderen Koordinatensystemen sind in der Formelsammlung Koordinatensysteme angegeben.

Ein häufiger Anwendungsfall des Volmenintegrals ist die Bestimmung der Gesamtladung bei vorgegebener Raumladungsdichte (siehe Beispiel unten).

Zur Herleitung des Volumenintegrals wird exemplarisch ein Würfel betrachtet, der über eine ortsabhängige Raumladungsdichte \rho (=Ladungsmenge/Volumen) verfügt. Bei der Raumladungsdichte handelt es sich um eine analoge Größe zur Dichte eines Körpers, die die Masse pro Volumen beschreibt. Der Würfel kann nun in n sehr kleine Teilstücke zerlegt werden, in denen die Raumladungsdichte jeweils näherungsweise konstant ist. Da die Raumladungsdichte die Ladungsmenge pro Volumen beschreibt, ergibt sich die Gesamtladung Q_i des i-ten Teilstücks des Würfels mit dem Volumen \Delta V_i wie folgt:


Q_i \approx \rho_i\,\Delta V_i

Die Gesamtladung des ganzen Würfels erhält man dann dadurch, dass man die Summe aus den Gesamtladungen der Teilstücke bildet:


Q \approx \sum_{i=1}^n \rho_i\,\Delta V_i

Es wurde bereits beschrieben, dass die Raumladungsdichte in den Teilstücken als näherungsweise konstant angenommen werden kann. Die Näherung ist dabei umso genauer, je kleiner die Teilstücke gewählt werden. Daher wird zu infinitesimal kleinen Teilstücken (\Delta V_i\to 0) übergangen, von denen es dann unendlich viele gibt (n\to\infty). Auf diese Weise erhält man das entsprechende Volumenintegral:


Q = \int_V \rho\,\mathrm{d}V = \lim_{n\to\infty,\,\Delta V_i\to 0} \sum_{i=1}^n \rho_i\,\Delta V_i

In dem Beispiel wird über ein Volumen integriert, daher gibt es letztendlich drei Integrationsvariablen und folglich auch drei Integralzeichen (siehe Beispiel). Bei der gezeigten Variante wird nur ein Integralzeichen verwendet, da es sich um eine kompakte symbolische Schreibweise handelt und der Index V des Integralzeichens bereits zur Kennzeichnung dieser Tatsache ausreicht. In der Literatur werden teilweise auch direkt drei Integralzeichen angegeben:


Q = \iiint\limits_V \rho\,\mathrm{d}V
Beispiel: Gesamtladung einer zylinderförmigen Raumladung
Masse eines Zylinders.svg

Fall 1: Konstante Raumladungsdichte

In diesem Beispiel ist eine zylinderförmige Raumladung mit einer zunächst ortsunabhängigen (konstanten) Raumladungsdichte \rho (=Ladungsmenge/Volumen) gegeben. Der Zylinder hat dabei die Höhe l und den Radius r. Ziel ist es nun, die gesamte Ladungsmenge Q (Gesamtladung) des Zylinders zu bestimmen. Hierfür muss die Raumladungsdichte über das Volumen V integriert werden:


Q=\int_V\rho\,\mathrm{d}V

Aufgrund der Symmetrie der Anordnung ist die Verwendung von Zylinderkoordinaten zweckmäßig. Das Differential \mathrm{d}V (also ein infinitesimales Volumenelement des Zylinders) wird dabei wie folgt beschrieben:


\mathrm{d}V=\tilde r\,\mathrm{d}\tilde r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Da hier der (konstante) Radius des Zylinders bereits mit r bezeichnet wird, wird in dem Differential die Variable für den „laufenden“ Radius mit \tilde r bezeichnet.

Für die Gesamtladung folgt damit:


Q=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^r\rho\,\tilde r\mathrm{d}\tilde r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Da \rho konstant und damit unabhängig von den Integrationsvariablen ist, kann die Größe vor das Integral geschrieben werden und es folgt:


Q=\rho\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^2}{2}\right|_0^r\cdot\left.z\right|_0^l=\rho\cdot\pi r^2\,l

Dieses Ergebnis ist plausibel, da die Raumladungsdichte mit dem Volumen des Zylinders multipliziert wird. Aufgrund der konstanten Raumladungsdichte kann die Gesamtladung folglich auch sofort ohne die Integration angegeben werden.

Fall 2: Ortsabhängige Raumladungsdichte

Handelt es sich bei der Raumladungsdichte um eine ortsabhängige Größe, so kann das Ergebnis nicht einfach durch die Multiplikation dieser Größe mit dem Volumen angegeben werden. Betrachtet wird zum Beispiel eine linear zunehmende Raumladungsdichte:


\rho(z)=\gamma_0\,z

Dabei ist \gamma_0 eine Konstante mit der Einheit \mathrm{As}/\mathrm{m}^4 (ansonsten hätte \rho(z) keine zu einer Raumladungsdichte passende Einheit \mathrm{As}/\mathrm{m}^3). Die Raumladungsdichte wird also entlang der z-Achse größer.

Setzt man diese ortsabhängige Raumladungsdichte in das Integral ein, so folgt:


Q=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^r\gamma_0 z\,\tilde r \mathrm{d}\tilde r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Die Konstante \gamma_0 kann wieder vor das Integral geschrieben werden:


Q=\gamma_0\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^2}{2}\right|_0^r\cdot\left.\frac{\tilde z^2}{2}\right|_0^l=\gamma_0\cdot \pi r^2 \cdot \frac{l^2}{2}

Weitere Hinweise finden sich im Artikel zur Lösung von Mehrfachintegralen.

Beispiel: Gesamtladung einer kugelförmigen Raumladung

Ein weiteres Beispiel zur Verwendung des Volumenintegrals findet sich im Artikel Volumenelemente.

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://demonstrations.wolfram.com/DoubleIntegralForVolume/ Applet: Doppelintegral über ein Volumen mit Hilfe von Unter und Obersummen (engl./ free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

Link.png

http://www.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/physik1/skript/03-02.pdf Bebilderte Beschreibung zum Volumenintegral am Beispiel von Massepunkten

http://www-hm.ma.tum.de/integration/course/html/ch2/t/t_parent.htm Verschiedene Anwendungen der Integration

http://www.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/physik1/skript/03-02.pdf Bebilderte Beschreibung zum Volumenintegral am Beispiel von Massepunkten

Literatur

  • Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
  • Klaus Jänich, Mathematik 1. Geschrieben für Physiker, 2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)