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| − | To-do:
| + | {{Navigation|before=[[Differentialquotient]]|overview=[[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente]]|next=[[Wegelemente]]}} |
| − | * Formulierungen überarbeiten (insbes. fett)
| + | {{Aufgabe|Selbsttest:Infinitesimale_Weg-,_Flächen-_und_Volumenelemente}} |
| − | * Hinweise zur Integrationsrichtung einfügen
| + | ==Einführung== |
| − | * x-Achse im Bild "Raumladung einer Kugel" verlängern (sieht sonst perspektivisch falsch aus) und Farbton ändern
| + | Infinitesimale (von lateinisch ''infinitus'' = unbegrenzt, hier sinngemäß: beliebig/unbegrenzt klein) Weg-, Flächen-, und Volumenelemente spielen eine zentrale Rolle in der [[Differentialquotient|Differential-]] und Integralrechnung. So treten in der Lehrveranstaltung zum Beispiel verschiedene [[Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht|vektorielle Mehrfachintegrale]] auf, in denen diese Elemente verwendet werden. |
| − | * Integration über Stromdichte mit zum Durchflutungsgesetz schreiben und darauf eingehen, da dann sowohl ein Kontur und ein Flächenintergral abgedeckt wird.
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| − | * Angeben, warum eine Richtungsangabe bei Volumenelementen keinen Sinn macht
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| − | '''Viele wichtige Zusammenhänge''' in der Elektrotechnik '''sind''' mit Integralsätzen formuliert, wie zum Beispiel der Satz von Gauß, das Durchflutungsgesetz oder das Induktionsgesetz. Dabei wird '''immer''' über eine Kontur oder eine Fläche integriert. Um diese Konturen oder Flächen richtig zu beschreiben benötigt man infinitesimale ('''Herkunft des Wortes''') Elemente. | + | Die Spannung <math>U_{12}</math> zwischen zwei Punkten <math>P_1</math> und <math>P_2</math> in einem elektrischen Feld <math>\vec{\textbf{E}}</math> lässt sich unter anderem wie folgt bestimmen: |
| | + | :<math> |
| | + | U_{12} = \int_{P_1}^{P_2} \vec{\textbf{E}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} |
| | + | </math> |
| | + | In diesem Fall wird über eine beliebige Kontur, die am Punkt <math>P_1</math> beginnt und am Punkt <math>P_2</math> endet, integriert. Dabei beschreibt <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}</math> ein '''infinitesimales''' (d. h. beliebig kleines) '''gerichtetes Teilstück''' (gerichtet da vektoriell) dieser Kontur (siehe auch [[Das Linienintegral|Linienintegral]]). Der Ausdruck <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}</math> wird '''Differential''' genannt und entsprechend spricht man auch von einer '''differentiellen Wegänderung'''. |
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| − | Betrachtet man das Durchflutungsgesetz, welches das [[Das Linienintegral|Linienintegral]] der magnetischen Feldstärke um eine geschlossene Kurve ''C'' in Beziehung zum Strom setzt, der durch die von dieser Kurve eingeschlossene Fläche fließt ('''Satz endet nicht richtig'''):
| + | Die nachfolgende Übersicht zeigt typische Varianten von infinitesimalen Elementen, die auf Artikel mit ausführlicheren Erklärungen und Beispielen verweisen. Eine Übersicht verschiedener Elemente in verschiedenen [[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Koordinatensystemen]] findet sich in der [[Formelsammlung Koordinatensysteme]]. |
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| − | :<math>\oint_C \vec{\mathbf{H}}\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}=I</math> | + | ==Übersicht== |
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| | + | |style="background-color:#dde6f3;"|[[Wegelemente]] |
| | + | Infinitesimale Wegelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Kontur, die meist mit <math>C</math> bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit [[Das Linienintegral|Linienintegralen]] benötigt. Die Elemente werden meist mit <math>\mathrm{d}s</math> beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}</math> bezeichnet. Die Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten Tangente. |
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| − | [[Datei:Durchflutungssatz.jpg|250px|thumb|right|Durchflutungsgesetz]] | + | |style="background-color:#c9d7ec;"|[[Image:Linienladung_Gerade.svg|220px|miniatur|center]] |
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| | + | |style="background-color:#dde6f3"|[[Flächenelemente]] |
| | + | Infinitesimale Flächenelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Fläche, die meist mit <math>A</math> bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit [[Das Flächenintegral|Flächenintegralen]] benötigt. Die Elemente werden meist mit <math>\mathrm{d}A</math> beziehungsweise bei einer gerichteten Fläche mit <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{A}}</math> bezeichnet. Die Richtung eines bestimmten Teilelements der Fläche entspricht dabei einem darauf senkrecht stehenden Einheitsvektor (=Flächennormalenvektor oder kurz '''Normalenvektor'''). |
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| − | An dieser Stelle '''soll es aber unter anderem''' um das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math> gehen.
| + | |style="background-color:#c9d7ec;"|[[Image:Flaechenelement.svg|220px|miniatur|center]] |
| − | Man erkennt '''in den''' jeweiligen Integralen, ob man über einen Weg, eine Fläche oder ein Volumen integriert, indem man das '''Differential''' am Ende des Integrals betrachtet. Es kann die Fom <math>\mathrm{d}s</math>,<math>\mathrm{d}A</math> oder <math>\mathrm{d}V</math> annehmen.
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| | + | |style="background-color:#dde6f3"|[[Volumenelemente]] |
| | + | Infinitesimale Volumenelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente eines Volumens, das meist mit <math>V</math> bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit [[Das Volumenintegral|Volumenintegralen]] benötigt. Die Elemente werden meist mit <math>\mathrm{d}V</math> bezeichnet. Da einem Volumen keine Richtung zugeordnet werden kann, tritt dieses Element immer nur als Betrag auf. |
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| − | ==Wegelemente== | + | |style="background-color:#c9d7ec;"|[[Image:Volumenelement Zylinder.svg|220px|miniatur|center]] |
| | + | |} |
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| − | [[Datei:Linienladung Gerade.svg|250px|Linienladung entlang einer Koordinatenachse]]
| + | === Video zu den Elementen in verschiedenen Koordinatensystemen === |
| − | | + | <youtube width="560" height="315">7VMsSM5mAX0</youtube> |
| − | Betrachtet man in der Abbildung das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math>, so fällt auf, dass es in beliebige Richtungen zeigt ('''hä? woran soll das hier auffallen?'''), ebenso wie auch die Kontur im Durchflutungssatz eine beliebige ('''nein, sie muss zumindest geschlossen sein, also isrt sie nicht beliebig''') Form annehmen kann. Wichtig ist hierbei, dass das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math> als '''infinitesimales''' Wegstück aufgefasst werden soll. Es ist also ein sehr kleines Wegstück, so klein, dass die Krümmung des einzelnen Wegstücks vernachlässigbar wird.
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| − | In den nebenstehenden Abbildungen ('''nebenstehend sind keine Abbildungen''') sind zwei beispielhafte Verläufe einer Linienladung dargestellt. Im ersten Fall verläuft die Linienladung nur entlang der x-Achse. Das Wegelement kann hier also mit dem Differential <math>\mathrm{d}x</math> dargestellt ('''wirklich dargestellt?''') werden, da die zu integrierenden Funktion <math>f(x)</math> nur von ''x'' abhängt.
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| − | Ist jedoch der Kurvenverlauf aus der zweiten Abbildung gegeben, ist die Funktion von x und y abhängig <math>f(x,y)</math>. Nun kann man nicht einfach nach <math>\mathrm{d}x</math> '''und''' <math>\mathrm{d}y</math> integrieren, weil so eine Fläche aufgespannt wird und man so ein Flächenelement <math>\mathrm{d}A</math> erhält ('''Argumentation des letzten Satzes unschlüssig'''). Da hier ein Kreisbogen betrachtet wird, bietet sich die Verwendung von [[Zylinderkoordinaten|Polarkoordinaten]], da so der Kreisbogen nur noch von einner Koordinaten <math>\varphi</math> abhängt ('''1. Du sprechen Deutsch? 2. "Der Kreisbogen" ist doch Quatsch. Ist die LÄNGE DES KREISBOGENS gemeint?''').
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| − | [[Datei: Wegelement_Kreis.svg|300px|Wegelement auf einer Kreisbahn]]
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| − | Es muss darauf geachtet werden, dass '''vor allem''' bei den gekrümmten orthogonalen Koordinaten '''oft''' Korrekturfaktoren ('''Man weiß doch gar nicht, was Korrekturfaktoren sein sollen!''') bei infinitesimalen Elementen zu berücksichtigen sind. Hier ist die Koordinate <math>\varphi</math> auch vom Radius r abhängig. Dies entspricht einer Umfangsberechnung des Kreises. Der Kreis hat einen Gesamtumfang von <math>2\pi r</math>. Betrachtet man ein kleines Teilstück des Kreises folgt: <math>r\mathrm{d}\varphi</math> ('''In Grafik untereinander darstellen''').
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| − | In dieser Vorlesung werden '''nur einfache Verläufe''' entlang der Koordinatenachsen uns bekannter [[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Koordinatensysteme]] verwendet (''stimmt nicht!!!''). Für kompliziertere Verläufe gibt es ('''besser: existieren''') mathematische Hilfsmittel, auf die hier aber nicht näher eingegangen werden soll ('''wird!'''). Es werden hauptsächlich für Wegelemente in den kartesischen Koordinaten <math>\mathrm{d}x</math>,<math>\mathrm{d}y</math> oder <math>\mathrm{d}z</math>, in den Zylinderkoordinaten <math>\mathrm{d}\rho</math> oder <math>\mathrm{d}\varphi</math> und in den Kugelkoordinaten <math>\mathrm{d}r</math> verwendet ('''Du sprechen Deutsch?''').
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| − | ==Flächenelemente== | |
| − | [[Datei:Flaechenelement.svg|400px|Flächenelement in kartesischen Koordinaten]]
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| − | Im einfachsten Fall sind die zu bestimmenden Flächenelemente in kartesischen Koordinaten gegeben ('''wenn sie gegeben sind, müssen sie wohl nicht mehr bestimmt werden'''). Zunächst ist '''hier''' eine Integrationsfläche ('''was soll denn eine Integrationsfläche sein?''') zu sehen, die sich in x-und y-Richtung ausbreitet. Ein infinitesimales Teilstück dieser Fläche muss dem zufolge auch in beide Richtungen ausgedehnt sein, um die gesamte Fläche beschreiben zu können ('''Argumentation unschlüssig'''). Eine Integration über <math>\mathrm{d}A</math>, kann dann auch als Integration über beide Wegelemente <math>\mathrm{d}x</math> und <math>\mathrm{d}y</math> beschrieben werden, wie auch bei nicht infinitesimal kleinen Objekten sich die Fläche aus dem Produkt der Seiten x und y bestimmt.
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| − | Es muss bei der [[Vektorrechnung:Übersicht| vektoriellen]] Integration auch auf die Orientierung der Fläche geachtet werden. Dazu '''definiert''' man eine Flächennormale ('''man weiß nicht, was das ist'''), die orthogonal auf dem Flächenstück steht.
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| − | Wenn die Flächenelemente gekrümmt sind, dann müssen zur Berechnung der Flächenelemente ('''des Flächeninhalts?''') so genannte ''Korrekturfaktoren'' eingeführt werden. Als Beispiel betrachtet man eine Kreisringfläche in der x-y Ebene. Möchte man dort ein infinitesimales Flächenelement beschreiben, so reicht es nicht aus einfach <math>\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math> zu verwenden. Durch die Krümmung der Fläche würde der Fehler sehr groß werden ('''Argumentation unschlüssig'''). Es bietet sich eine Koordinatentransformation in [[Zylinderkoordinaten|Polarkoordinaten]] an. Auf diese Weise kann entlang der Koordinatenlinien integriert werden.
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| − | '''dA = ??? Der Grafik hinzufügen!'''
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| − | [[Datei:Flaechenelement_Kreis.svg|300px|Flächenelement in Polarkoordinaten]]
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| − | Zur Bestimmung des ''Korrekturfaktors'' oder auch [[Zylinderkoordinaten|Metrikkoeffizienten]] betrachtet man nun ein Flächenelement des Kurvenstücks (vgl. Abbildung). Die Seitenlänge des Flächenelements entlang der r-Koordinate ist nicht gekrümmt und kann daher als <math>\mathrm{d}r</math> angenommen werden ('''Formulierung'''). Die <math>\varphi</math>-Koordinate hängt auch von dem Radius r ab. Deshalb ('''unklar''') ist das infinitesimale Flächenelement einer Kreisfläche <math>\mathrm{d}A=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi</math>.
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| − | ==Volumenelemente==
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| − | Betrachtet man das Volumenelement in kartesischen Koordinaten ändert sich nicht viel im vergleich zu dem Flächenelement in kartesischen Koordinaten ('''GEHT GAR NICHT!!!'''). Es muss nur auch noch die Ausdehnung in z-Richtung berücksichtigt werden. Also ergibt sich ein infitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten zu:
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| − | :<math>\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z</math>
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| − | Aus ähnlichen Betrachtungen ergeben sich die Volumenelemente, die in den Abbildungen zu sehen sind:
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| − | Das Flächenelement einer Kreisfläche wurde schon besprochen ('''Lieber im nachfolgenden Satz ausgehend vom Flächenelement auf den oberen Teil verweisen'''). Bei dem Volumenelement in Zylinderkoordinaten wird zu diesem Flächenelement, wie in der Abbildung zu sehen, noch eine Höhenkomponente ('''Begriff fragwürdig''') in z-Richtung ('''Was bedeutet in z-Richtung multiplizieren?''') multipliziert. Daher lautet das Volumenelement:
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| − | :<math>\mathrm{d}V=\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\rho\mathrm{d}z</math>
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| − | [[Datei:Volumenelement_Zylinder.svg|600px|Volumenelement eines Zylinders]]
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| − | Das Volumenelement der Kugelkoordinaten ergibt sich aus der Symmetrie einer Kugel. Wie in der Abbildung zu sehen kann man die verschiedenen Kanten des Volumenelementes mit den Koordinatenabhängigkeiten beschreiben. So ergibt beisielsweise die Höhen Seite <math>r\mathrm{d}\vartheta</math> aus den Zusammenhängen, die schon bei den kreisförmigen Wegelementen beschreiben wurden. Multipliziert man alle Abhängigkeiten auf ergibt sich das Volumenelement zu:
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| − | :<math>\mathrm{d}V=r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r</math>
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| − | [[Datei:Volumenelement_Kugel.svg|600px|Volumenelement einer Kugel]]
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| − | {{Beispiel
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| − | |Titel=Volumenelement in kartesischen Koordinaten
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| − | |Inhalt=
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| − | [[Datei:Volumenelement_kartesisch.svg|300px|thumb|right|Volumenelement in kartesischen Koordinaten]]
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| − | In diesem Beispiel ist eine homogene Raumladungsdichte <math>\rho</math> in einem Quader mit den Kantenlängen a, b und c gegeben. Die Raumladungsdichte ist bestimmt als Ladung pro Volumen, daher muss, um die Gesamtladung zu bestimmen, über das Volumen des Quaders integriert werden:
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| − | :<math>Q=\int_V\rho\mathrm{d}V</math>
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| − | Das Volumenelement der kartesischen Koordinaten lautet:
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| − | :<math>\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z</math>
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| − | Es kann direkt in die Gleichung eingesetzt und das Integral gelöst werden. Da die Raumladungsdichte <math>\rho</math> homogen ist, ist sie in dem gesamten Integrationsgebiet konstant und kann vor das Integral geschrieben werden:
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| − | :<math>Q=\int_a\int_b\int_c \rho \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\rho\int_a\int_b\int_c\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z</math>
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| − | :<math>Q=\rho\cdot a\cdot b\cdot c=\rho\cdot V</math>
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| − | }}
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| − | {{Beispiel
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| − | |Titel=Volumenelement einer Kugel
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| − | |Inhalt=
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| − | [[Datei:Raumladung_einer_Kugel.svg|250px|thumb|right|Raumladung einer Kugel]]
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| − | Im zweiten Beispiel wird eine eine kugelförmige, konstante Raumladungsdichte <math>\rho</math> mit Radius '''R''' betrachtet. Um nun die gesamte Ladung zu bestimmen, muss über das Volumen der Kugel integriert werden. In diesem Fall bietet sich aufgrund der Symmetrie die Berechnung in [[Kugelkoordinaten]] an:
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| − | :<math>Q=\int_V\rho\mathrm{d}V</math>
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| − | Um über die gesamte Kugel zu integrieren, muss man die Integrationsgrenzen korrekt wählen. Da die gesamte Kugel betrachtet wird, muss die maximalen Ausdehnungen der Kugelkoordinaten für die Winkel <math>\theta</math> und <math>\varphi</math> gewählt werden, der Radius ergibt sich aus der Anordnung zu <math> r_{max}=R</math>:
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| − | :<math>0\leq\varphi\leq 2\pi</math>
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| − | :<math>0\leq\vartheta\leq\pi</math>
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| − | Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinaten verwendet werden. Dies ergibt sich aus der Symmetrie, zu:
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| − | :<math>\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r</math>
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| − | Eingesetzt folgt daraus:
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| − | :<math>Q=\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot \tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta</math>
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| − | Da <math>\rho</math> homogen ist, also unabhängig von dem Ort, kann man die Konstante vor das Integral ziehen und das Integral dann lösen:
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| − | :<math>Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^3}{3}\right|_0^R=\rho\frac{4\pi R^3}{3}</math>
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| − | Dies enspricht abgesehen von der Konstante <math>\rho</math> dem Volumen einer Kugel.
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| − | }}
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| − | {{Multimedia|Links=
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| − | http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073451342/student_view0/chapter13/section6/cylindrical_coordinates__app_.html
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| − | Darstellung von infinitesimalen Volumenelementen in Zylinderkoordinaten
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| − | (engl.)
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| − | }}
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| − | {{Link|Links=
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| − | http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.)
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| − | }}
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| | <noinclude>==Literatur== | | <noinclude>==Literatur== |
| | * Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011) | | * Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011) |
| − | * Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, ''Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung'', 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001) | + | * Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, ''Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung'', 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001) |
| − | * Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005) | + | * Klaus Jänich, ''Mathematik 1 Geschrieben für Physiker'', 2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005) |
| − | * Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, ''Mathematik für Naturwissenschaftler'', 1. Auflage (Pearson Studium, 2007) | + | * Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, ''Mathematik für Naturwissenschaftler'', 1. Auflage (Pearson Studium, 2007) |
| − | * Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg | + | * Dr. Thomas Hempel, ''Mathematische Grundlagen'', Linienintegral, Vorlesungsskript, Universität Magdeburg, 2010 |
| | </noinclude> | | </noinclude> |
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| | + | [[Kategorie:Artikel]] |
| | + | [[Kategorie:Feedback]] |
Die nachfolgende Übersicht zeigt typische Varianten von infinitesimalen Elementen, die auf Artikel mit ausführlicheren Erklärungen und Beispielen verweisen. Eine Übersicht verschiedener Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der Formelsammlung Koordinatensysteme.
zwischen zwei Punkten 
und 
in einem elektrischen Feld 
lässt sich unter anderem wie folgt bestimmen:
ein infinitesimales (d. h. beliebig kleines) gerichtetes Teilstück (gerichtet da vektoriell) dieser Kontur (siehe auch Linienintegral). Der Ausdruck 
bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit 
beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit 
bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit 
beziehungsweise bei einer gerichteten Fläche mit 
bezeichnet. Die Richtung eines bestimmten Teilelements der Fläche entspricht dabei einem darauf senkrecht stehenden Einheitsvektor (=Flächennormalenvektor oder kurz Normalenvektor).
bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit 
bezeichnet. Da einem Volumen keine Richtung zugeordnet werden kann, tritt dieses Element immer nur als Betrag auf.
