Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente: Unterschied zwischen den Versionen

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Das Durchflutungsgesetz in der Elektrotechnik lautet:
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{{Navigation|before=[[Differentialquotient]]|overview=[[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente]]|next=[[Wegelemente]]}}
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{{Aufgabe|Selbsttest:Infinitesimale_Weg-,_Flächen-_und_Volumenelemente}}
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==Einführung==
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Infinitesimale (von lateinisch ''infinitus'' = unbegrenzt, hier sinngemäß: beliebig/unbegrenzt klein) Weg-, Flächen-, und Volumenelemente spielen eine zentrale Rolle in der [[Differentialquotient|Differential-]] und Integralrechnung. So treten in der Lehrveranstaltung zum Beispiel verschiedene [[Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht|vektorielle Mehrfachintegrale]] auf, in denen diese Elemente verwendet werden.
  
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:<math>\oint_C \vec{\mathbf{H}}\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}=I</math>
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Die Spannung <math>U_{12}</math> zwischen zwei Punkten <math>P_1</math> und <math>P_2</math> in einem elektrischen Feld <math>\vec{\textbf{E}}</math> lässt sich unter anderem wie folgt bestimmen:
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:<math>
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U_{12} = \int_{P_1}^{P_2} \vec{\textbf{E}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}
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</math>
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In diesem Fall wird über eine beliebige Kontur, die am Punkt <math>P_1</math> beginnt und am Punkt <math>P_2</math> endet, integriert. Dabei beschreibt <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}</math> ein '''infinitesimales''' (d. h. beliebig kleines) '''gerichtetes Teilstück''' (gerichtet da vektoriell) dieser Kontur (siehe auch [[Das Linienintegral|Linienintegral]]). Der Ausdruck <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}</math> wird '''Differential''' genannt und entsprechend spricht man auch von einer '''differentiellen Wegänderung'''.
  
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Inhaltlich wird dabei die magnetische Feldstärke <math>\vec{\mathbf{H}}</math> über eine geschlossene Kontur ''C'' integriert, um den durch diese Kontur eingeschlossene Strom ''I'' zu bestimmen. Weitere Informationen zur Integration sind bei der [[Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht|Erweiterung der Integralrechnung]] zu finden. Hier soll es jedoch unter anderem um das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math> gehen.
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Die nachfolgende Übersicht zeigt typische Varianten von infinitesimalen Elementen, die auf Artikel mit ausführlicheren Erklärungen und Beispielen verweisen. Eine Übersicht verschiedener Elemente in verschiedenen [[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Koordinatensystemen]] findet sich in der [[Formelsammlung Koordinatensysteme]].
  
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Um in den jeweiligen Integralen deutlich zu machen, dass man über einen Weg, eine Fläche oder ein Volumen integriert, wird an das Integral ein '''Differential''' <math>\mathrm{d}s</math>,<math>\mathrm{d}A</math> oder <math>\mathrm{d}V</math> angehängt.
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==Übersicht==
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|style="background-color:#dde6f3;"|[[Wegelemente]]
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Infinitesimale Wegelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Kontur, die meist mit <math>C</math> bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit [[Das Linienintegral|Linienintegralen]] benötigt. Die Elemente werden meist mit <math>\mathrm{d}s</math> beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}</math> bezeichnet. Die Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten Tangente.
  
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Betrachtet man in der Abbildung das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math>, so fällt auf, dass es in beliebige Richtungen zeigt, ebenso wie auch die Kontur im Durchflutungssatz eine beliebige Form annehmen kann. Wichtig ist hierbei, dass das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math> als '''infinitesimales''' Wegstück aufgefasst werden soll. Es ist also ein winzigkleines Wegstück, so klein, dass die Krümmung des einzelnen Wegstücks vernachlässigbar wird. So können alle Wegstücke aufsummiert werden und man erhält wie bei der Herleitung des Integrals die gesamte Kontur C. Anschließend muss nur noch darauf geachtet werden, dass der Weg richtig ausgedrückt wird. In dieser Vorlesung werden dabei nur einfache Verläufe entlang der Koordinatenachsen uns bekannter [[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Koordinatensysteme]] verwendet. Für kompliziertere Verläufe gibt es mathematische Hilfsmittel auf die hier aber nicht näher eingegangen werden soll.
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|style="background-color:#c9d7ec;"|[[Image:Linienladung_Gerade.svg|220px|miniatur|center]]
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Vergleicht man nun aber  das Differential einer Fläche oder eines Volumen, so ist deren Bedeutung etwas schwieriger zu fassen und auch die Transformation in verschiedene [[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Koordinatensysteme]] ist nicht unbedingt trivial.
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|style="background-color:#dde6f3"|[[Flächenelemente]]
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Infinitesimale Flächenelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Fläche, die meist mit <math>A</math> bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit [[Das Flächenintegral|Flächenintegralen]] benötigt. Die Elemente werden meist mit <math>\mathrm{d}A</math> beziehungsweise bei einer gerichteten Fläche mit <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{A}}</math> bezeichnet. Die Richtung eines bestimmten Teilelements der Fläche entspricht dabei einem darauf senkrecht stehenden Einheitsvektor (=Flächennormalenvektor oder kurz '''Normalenvektor''').
  
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Im einfachsten Fall sind die zu bestimmenden Flächen- oder Volumenelemente in kartesischen Koordinaten gegeben. Zunächst ist hier eine Integrationsfläche zu sehen, die sich in x-und y-Richtung ausbreitet. Ein infinitesimales Teilstück dieser Fläche muss dem zufolge auch in beide Richtungen ausgedehnt sein, um die gesamte Fläche beschreiben zu können. Eine Integration über <math>\mathrm{d}A</math>, kann dann auch als Integration über beide Wegelemente <math>\mathrm{d}x</math> und <math>\mathrm{d}y</math> beschrieben werden, wie auch bei nicht infinitesimal kleinen Objekten die Fläche sich aus dem Produkt der Seiten x und y bestimmt.  
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|style="background-color:#c9d7ec;"|[[Image:Flaechenelement.svg|220px|miniatur|center]]
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|style="background-color:#dde6f3"|[[Volumenelemente]]
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Infinitesimale Volumenelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente eines Volumens, das meist mit <math>V</math> bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit [[Das Volumenintegral|Volumenintegralen]] benötigt. Die Elemente werden meist mit <math>\mathrm{d}V</math> bezeichnet. Da einem Volumen keine Richtung zugeordnet werden kann, tritt dieses Element immer nur als Betrag auf.
  
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|style="background-color:#c9d7ec;"|[[Image:Volumenelement Zylinder.svg|220px|miniatur|center]]
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|}
  
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Bei Volumen ist es im Grunde dasselbe, es muss nur auch noch die Ausdehnung in z-Richtung berücksichtigt werden. Also ergibt sich ein infitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten zu:
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=== Video zu den Elementen in verschiedenen Koordinatensystemen ===
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:<math>\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z</math>
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<youtube width="560" height="315">7VMsSM5mAX0</youtube>
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Schwieriger wird es, wenn die Wegelemente nicht mehr geradlinig verlaufen, dann müssen zur Berechnung der Flächen- und Volumenelemente so genannte ''Korrekturfaktoren'' eingeführt werden. Als Beispiel betrachtet man einen Kreisbogen in der x-y Ebene. Möchte man dort ein infinitesimales Flächenelement bestimmen so reicht es nicht aus einfach <math>\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math> zu verwenden. Durch die Krümmung der Fläche würde der Fehler der dabei gemacht würde zu groß werden. Es bietet sich eine Koordinatentransformation in [[Zylinderkoordinaten|Polarkoordinaten]] an. Auf diese Weise kann entlang der Koordinatenlinien integriert werden, und man macht keinen Fehler. Zur Bestimmung des ''Korrekturfaktors'' oder auch [[Zylinderkoordinaten|Metrikkoeffizienten]] betrachtet man nun ein Flächenelement des Kurvenstücks (vgl. Abbildung). Die Seitenlänge des Flächenelements entlang der r-Koordinate ist nicht gekrümmt und kann daher einfach als <math>\mathrm{d}r</math> angenommen werden. Betrachtet man jedoch die <math>\varphi</math>-Abhängigkeit so sieht man das die Krümmung des Kreisbogens nicht nur  von <math>\varphi</math> abhängt sondern auch von dem Radius r. Dies entspricht einer Umfangberechnung des Kreises. Der Gesamtumfang eines Kreises hat <math>2\pi r</math> betrachtet man allerdings nur ein kleines Teilstück des Kreises folgt: <math>\mathrm{d}\varphi r</math>. Aus dieser Überlegung folgt, dass das infinitesimale Flächenelement einer Kreisfläche sich zu <math>\mathrm{d}A=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi</math>.
 
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Aus ähnlichen Betrachtungen ergeben sich die Volumenelemente, die in den Abbildungen zu sehen sind:
 
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{{Beispiel
 
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|Titel=Volumenelement in kartesischen Koordinaten
 
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|Inhalt=
 
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Um das Volumenelement anzuwenden betrachtet man eine Integration über ein Volumen, zunächst in kartesischen Koordinaten. Dazu sei eine homogene Raumladung  <math>\rho</math> in einem Quader mit den Kantenlängen a, b und c gegeben.
 
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Um die Gesamtladung zu bestimmen, integriert man über das gesamte Volumen des Quaders:
 
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:<math>Q=\int_V\rho\mathrm{d}V</math>
 
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Da hier keine gekrümmten Flächen existieren, kann hier direkt das Volumenelement der kartesischen Koordinaten eingesetzt und das Integral gelöst werden:
 
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:<math>Q=\int_a\int_b\int_c \rho \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z</math>
 
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:<math>Q=\rho\cdot a\cdot b\cdot c=\rho\cdot V</math>
 
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}}
 
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{{Beispiel
 
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|Titel=
 
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|Inhalt=
 
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Um das Volumenelement anzuwenden betrachtet man eine Integration über ein Volumen hier in Kugelkoordinaten. Dazu sei hier eine homogene Raumladung <math>\rho</math> und eine Kugel mit Radius R gegeben. Führt man nun die Integration aus ergibt sich die Ladung:
 
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:<math>Q=\int_V\rho\mathrm{d}V</math>
 
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Dazu muss über das gesamte Volumen der Kugel integriert werden. Die Grenzen sind also die maximalen Ausdehnungen der Kugelkoordinaten, insbesondere für die Winkel <math>\theta</math> und <math>\varphi</math>:
 
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:<math>0\leq\varphi\leq 2\pi</math>
 
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:<math>0\leq\vartheta\leq\pi</math>
 
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Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinaten verwendet werden. Dies ergibt sich aus der Symmetrie, zu:
 
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:<math>\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r</math>
 
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Da aus der Abbildung folgt das für die Fläche eines infinitesimalen Stücks folgt, das nicht nur die Abhängigkeit in r-Richtung als auch die trigonometrischen Funktionen des Sinus und Cosinus folgen müssen.
 
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Eingesetzt folgt daraus:
 
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:<math>Q=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot \tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta</math>
 
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Da <math>\rho</math> homogen ist, also unabhängig von dem Ort,kann man die Konstante vor das Integral ziehen und das Integral dann lösen:
 
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:<math>Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^3}{3}\right|_0^r=\rho\frac{4\pi r^3}{3}</math>
 
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Dies enspricht abgesehen von der Konstante  <math>\rho</math> dem Volumen einer Kugel, daher macht das eingesetzte Volumenelement einen Sinn, da mit den Grenzen der gesamten Kugel auch eine vollständige Kugel herauskommt.
 
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}}
 
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{{Multimedia|Links=
 
−
http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073451342/student_view0/chapter13/section6/cylindrical_coordinates__app_.html
 
−
Darstellung von infinitesimalen Volumenelementen in Zylinderkoordinaten
 
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(engl.)
 
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}}
 
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{{Link|Links=
 
−
 
 
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http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.)
 
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}}
 
  
 
<noinclude>==Literatur==
 
<noinclude>==Literatur==
 
* Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
 
* Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
−
* Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, ''Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung'', 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
+
* Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, ''Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung'', 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
−
* Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
+
* Klaus Jänich, ''Mathematik 1 Geschrieben für Physiker'', 2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
−
* Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, ''Mathematik für Naturwissenschaftler'', 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
+
* Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, ''Mathematik für Naturwissenschaftler'', 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
−
* Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg
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* Dr. Thomas Hempel, ''Mathematische Grundlagen'', Linienintegral, Vorlesungsskript, Universität Magdeburg, 2010
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Aktuelle Version vom 4. Dezember 2018, 19:58 Uhr

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Review.png

Zu diesem Thema stehen Aufgaben zur Selbstkontrolle zur Verfügung.

Einführung

Infinitesimale (von lateinisch infinitus = unbegrenzt, hier sinngemäß: beliebig/unbegrenzt klein) Weg-, Flächen-, und Volumenelemente spielen eine zentrale Rolle in der Differential- und Integralrechnung. So treten in der Lehrveranstaltung zum Beispiel verschiedene vektorielle Mehrfachintegrale auf, in denen diese Elemente verwendet werden.

Die Spannung U_{12} zwischen zwei Punkten P_1 und P_2 in einem elektrischen Feld \vec{\textbf{E}} lässt sich unter anderem wie folgt bestimmen:

U_{12} = \int_{P_1}^{P_2} \vec{\textbf{E}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}

In diesem Fall wird über eine beliebige Kontur, die am Punkt P_1 beginnt und am Punkt P_2 endet, integriert. Dabei beschreibt \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} ein infinitesimales (d. h. beliebig kleines) gerichtetes Teilstück (gerichtet da vektoriell) dieser Kontur (siehe auch Linienintegral). Der Ausdruck \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} wird Differential genannt und entsprechend spricht man auch von einer differentiellen Wegänderung.

Die nachfolgende Übersicht zeigt typische Varianten von infinitesimalen Elementen, die auf Artikel mit ausführlicheren Erklärungen und Beispielen verweisen. Eine Übersicht verschiedener Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der Formelsammlung Koordinatensysteme.

Übersicht

Wegelemente

Infinitesimale Wegelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Kontur, die meist mit C bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Linienintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit \mathrm{d}s beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} bezeichnet. Die Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten Tangente.

Linienladung Gerade.svg
Flächenelemente

Infinitesimale Flächenelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Fläche, die meist mit A bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Flächenintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit \mathrm{d}A beziehungsweise bei einer gerichteten Fläche mit \mathrm{d}\vec{\textbf{A}} bezeichnet. Die Richtung eines bestimmten Teilelements der Fläche entspricht dabei einem darauf senkrecht stehenden Einheitsvektor (=Flächennormalenvektor oder kurz Normalenvektor).

Flaechenelement.svg
Volumenelemente

Infinitesimale Volumenelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente eines Volumens, das meist mit V bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Volumenintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit \mathrm{d}V bezeichnet. Da einem Volumen keine Richtung zugeordnet werden kann, tritt dieses Element immer nur als Betrag auf.

Volumenelement Zylinder.svg

Video zu den Elementen in verschiedenen Koordinatensystemen

Literatur

  • Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
  • Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
  • Klaus Jänich, Mathematik 1 Geschrieben für Physiker, 2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
  • Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
  • Dr. Thomas Hempel, Mathematische Grundlagen, Linienintegral, Vorlesungsskript, Universität Magdeburg, 2010
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