Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente

To-do:

• Einleitung etwas plausibler (es gibt doch genügend Beispiele)
• Formulierungen überarbeiten (insbes. fett)
• Hinweise zur Integrationsrichtung einfügen
• x-Achse im Bild "Raumladung einer Kugel" verlängern (sieht sonst perspektivisch falsch aus) und Farbton ändern
• Integration über Stromdichte mit zum Durchflutungsgesetz schreiben und darauf eingehen, da dann sowohl ein Kontur und ein Flächenintergral abgedeckt wird.
• Angeben, warum eine Richtungsangabe bei Volumenelementen keinen Sinn macht
• Verbesserung der Beispiele
• Grafik "Volumenelement in kartesischen Koordinaten" perspektivisch verbessern
• Grafik "Volumenelement in Kugelkoordinaten" perspektivisch verbessern
• Formelsammlung/Tabelle hinzufügen
• Teilartikel trennen ok.

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Infinitesimale (von lateinisch infinitus = unbegrenzt, hier sinngemäß: beliebig klein) Weg-, Flächen-, und Volumenelemente spielen eine zentrale Rolle in der Differential- und Integralrechnung. So treten in der Lehrveranstaltung zum Beispiel verschiedene vektorielle Mehrfachintegrale auf, in denen diese Elemente verwendet werden.

Die Spannung $U_{12}$ zwischen zwei Punkten $P_1$ und $P_2$ in einem elektrischen Feld $\vec{\textbf{E}}$ lässt sich unter anderem wie folgt bestimmen:

$U_{12} = \int_{P_1}^{P_2} \vec{\textbf{E}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$

In diesem Fall wird über eine beliebige Kontur, die am Punkt $P_1$ beginnt und am Punkt $P_2$ endet, integriert. Dabei beschreibt $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ ein infinitesimales (d. h. beliebig kleines) gerichtetes Teilstück (gerichtet da vektoriell) dieser Kontur.

Die nachfolgende Übersicht zeigt typische Varianten von infinitesimalen Elementen, die auf Artikel mit ausführlicheren Erklärungen verweisen. Eine Übersicht verschiedener Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der Formelsammlung Koordinatensysteme.

Übersicht

Wegelemente Für die meisten Linienintegrale wird das differenzielle Wegelement $\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}$ benötigt. Es enthält die wichtige Information über die Richtung der Kurve in einem bestimmten Punkt, also die Richtung der Tangente in diesem Kurvenpunkt. Beim Arbeitsintegral ist es wichtig zu wissen, wie der Weg zur Kraftrichtung verläuft. Das differenzielle Wegelement lässt sich durch Differenziation in die drei Koordinatenrichtungen ermitteln.
Flächenelemente Für die meisten Flächenintegrale wird das differenzielle Flächenelement $\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}$ benötigt. Es enthält die wichtige Information über Größe und „Richtung“ des Flächenelementes an einem bestimmten Punkt der Fläche.
Volumenelemente Das differenzielle Volumenelement $\mathrm{d}V$ wird benötigt zur Beschreibung des Volumens und zur Lösung des Volumenintegrals.

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
• Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
• Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
• Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
• Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg