Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. August 2012, 18:09 Uhr

To-do:

Einleitung etwas plausibler (es gibt doch genügend Beispiele)
Formulierungen überarbeiten (insbes. fett)
Hinweise zur Integrationsrichtung einfügen
x-Achse im Bild "Raumladung einer Kugel" verlängern (sieht sonst perspektivisch falsch aus) und Farbton ändern
Integration über Stromdichte mit zum Durchflutungsgesetz schreiben und darauf eingehen, da dann sowohl ein Kontur und ein Flächenintergral abgedeckt wird.
Angeben, warum eine Richtungsangabe bei Volumenelementen keinen Sinn macht
Verbesserung der Beispiele
Grafik "Volumenelement in kartesischen Koordinaten" perspektivisch verbessern
Grafik "Volumenelement in Kugelkoordinaten" perspektivisch verbessern
Formelsammlung/Tabelle hinzufügen
Teilartikel trennen ok.

Infinitesimale (von lateinisch infinitus = unbegrenzt, hier sinngemäß: beliebig/unbegrenzt klein) Weg-, Flächen-, und Volumenelemente spielen eine zentrale Rolle in der Differential- und Integralrechnung. So treten in der Lehrveranstaltung zum Beispiel verschiedene vektorielle Mehrfachintegrale auf, in denen diese Elemente verwendet werden.

Die Spannung $U_{12}$ zwischen zwei Punkten $P_1$ und $P_2$ in einem elektrischen Feld $\vec{\textbf{E}}$ lässt sich unter anderem wie folgt bestimmen:

U_{12} = \int_{P_1}^{P_2} \vec{\textbf{E}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}

In diesem Fall wird über eine beliebige Kontur, die am Punkt $P_1$ beginnt und am Punkt $P_2$ endet, integriert. Dabei beschreibt $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ ein infinitesimales (d. h. beliebig kleines) gerichtetes Teilstück (gerichtet da vektoriell) dieser Kontur (siehe auch Linienintegral).

Die nachfolgende Übersicht zeigt typische Varianten von infinitesimalen Elementen, die auf Artikel mit ausführlicheren Erklärungen und Beispielen verweisen. Eine Übersicht verschiedener Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der Formelsammlung Koordinatensysteme.

Übersicht

Wegelemente Infinitesimale Wegelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Kontur, die meist mit $C$ bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Linienintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit $\mathrm{d}s$ beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ bezeichnet. Die Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten Tangente.
Flächenelemente Infinitesimale Flächenemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Fläche, die meist mit $A$ bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Flächenintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit $\mathrm{d}A$ beziehungsweise bei einer gerichteten Fläche mit $\mathrm{d}\vec{\textbf{A}}$ bezeichnet. Die Richtung in einem bestimmten Teilelement der Fläche entspricht dabei einem darauf senkrecht stehenden Einheitsvektor (= Flächennormalenvektor oder kurz Normalenvektor).
Volumenelemente Das differenzielle Volumenelement $\mathrm{d}V$ wird benötigt zur Beschreibung des Volumens und zur Lösung des Volumenintegrals.

Literatur

Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg

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 |style="background-color:#dde6f3;"|[[Wegelemente]]
-Infinitesimale Wegelemente (d. h. Teilelemente einer Kontur, die meist mit <math>C</math> bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit [[Das Linienintegral|Linienintegralen]] benötigt. Die Elemente werden meist mit <math>\mathrm{d}s</math> beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}</math> bezeichnet. Die Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten Tangente.
+Infinitesimale Wegelemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Kontur, die meist mit <math>C</math> bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit [[Das Linienintegral|Linienintegralen]] benötigt. Die Elemente werden meist mit <math>\mathrm{d}s</math> beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}</math> bezeichnet. Die Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten Tangente.
 |style="background-color:#c9d7ec;"|[[Image:Linienladung_Gerade.svg|220px|miniatur|center]]
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 |style="background-color:#dde6f3"|[[Flächenelemente]]
-Für die meisten [[das Flächenintegral|Flächenintegrale]] wird das differenzielle
+Infinitesimale Flächenemente (d. h. beliebig kleine Teilelemente einer Fläche, die meist mit <math>A</math> bezeichnet wird) werden zum Beispiel im Zusammenhang mit [[Das Flächenintegral|Flächenintegralen]] benötigt. Die Elemente werden meist mit <math>\mathrm{d}A</math> beziehungsweise bei einer gerichteten Fläche mit <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{A}}</math> bezeichnet. Die Richtung in einem bestimmten Teilelement der Fläche entspricht dabei einem darauf senkrecht stehenden Einheitsvektor (= Flächennormalenvektor oder kurz '''Normalenvektor''').
-Flächenelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}</math> benötigt.
-Es enthält die wichtige Information über Größe und „Richtung“
-des Flächenelementes an einem bestimmten Punkt der
-Fläche.
 |style="background-color:#c9d7ec;"|[[Image:Flaechenelement.svg|220px|miniatur|center]]
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