Volumenelemente: Unterschied zwischen den Versionen

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Betrachtet man das Volumenelement in kartesischen Koordinaten ändert sich nicht viel im vergleich zu dem Flächenelement in kartesischen Koordinaten ('''GEHT GAR NICHT!!!'''). Es muss nur auch noch die Ausdehnung in z-Richtung berücksichtigt werden. Also ergibt sich ein infitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten zu:
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{{Navigation|before=[[Flächenelemente]]|overview=[[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente]]|next=[[Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht|Übersicht Erweiterung der Integralrechnung]]}}
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Infinitesimale Volumenelemente sind beliebig kleine Teilelemente eines Volumens, das meist mit <math>V</math> bezeichnet wird. Volumenelemente werden zum Beispiel im Zusammenhang mit [[Das Volumenintegral|Volumenintegralen]] benötigt. Prinzipiell handelt es sich um eine konsequente Fortsetzung der Beschreibung [[Wegelemente|infinitesimaler Weg-]] und [[Flächenelemente]]. Infinitesimale Volumenelemente werden meist mit <math>\mathrm{d}V</math> bezeichnet.
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Da einem Volumen keine Richtung zugeordnet werden kann, tritt dieses Element immer nur als Betrag auf.
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Ein infinitesimales Volumenelement ergibt sich gemäß der bekannten Regel „Grundfläche multipliziert mit der Höhe“, wobei die Grundfläche nun ein infinitesimales Flächenelement und die Höhe ein infinitesimales Wegelement darstellt. Somit ergibt sich ein infinitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten wie folgt:
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\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z
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Im Artikel [[Flächenelemente]] wurde bereits die Bestimmung einer infinitesimalen Kreisringfläche beschrieben. Die Fläche muss nun noch mit dem infinitesimalen Wegstück <math>\mathrm{d}z</math> (entspricht der „Höhe“) multipliziert werden, so dass hier folgt:
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\mathrm{d}V=\underbrace{\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\rho}_{\mathrm{d}A}\mathrm{d}z
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Ein Volumenelement in Kugelkoordinaten ergibt sich durch eine analoge Vorgehensweise, wobei hier nun mehrere gekrümmte Konturelemente zu berücksichtigen sind. Die nachfolgende Grafik verdeutlicht die Vorgehensweise:
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Eine Übersicht dieser und weiterer Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der [[Formelsammlung Koordinatensysteme]].
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Betrachtet man das Volumenelement in kartesischen Koordinaten ändert sich nicht viel im vergleich zu dem Flächenelement in kartesischen Koordinaten ('''GEHT GAR NICHT!!!'''). Es muss nur auch noch die Ausdehnung in z-Richtung berücksichtigt werden. Also ergibt sich ein infinitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten zu:
 
:<math>\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z</math>
 
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Aus ähnlichen Betrachtungen ergeben sich die Volumenelemente, die in den Abbildungen zu sehen sind:
 
Aus ähnlichen Betrachtungen ergeben sich die Volumenelemente, die in den Abbildungen zu sehen sind:
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:<math>\mathrm{d}V=\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\rho\mathrm{d}z</math>
 
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Das Volumenelement ('''gibt es denn nur eins?''') der ('''in!''') Kugelkoordinaten ergibt sich aus der Symmetrie einer Kugel ('''hä?'''). Wie in der Abbildung zu sehen kann man die verschiedenen Kanten des Volumenelementes mit den Koordinatenabhängigkeiten beschreiben. So ergibt beisielsweise die Höhen Seite <math>r\mathrm{d}\vartheta</math> aus den Zusammenhängen, die schon bei den kreisförmigen Wegelementen beschreiben wurden. Multipliziert man alle Abhängigkeiten auf ergibt sich das Volumenelement zu ('''gibt es denn nur eins?'''):
 
Das Volumenelement ('''gibt es denn nur eins?''') der ('''in!''') Kugelkoordinaten ergibt sich aus der Symmetrie einer Kugel ('''hä?'''). Wie in der Abbildung zu sehen kann man die verschiedenen Kanten des Volumenelementes mit den Koordinatenabhängigkeiten beschreiben. So ergibt beisielsweise die Höhen Seite <math>r\mathrm{d}\vartheta</math> aus den Zusammenhängen, die schon bei den kreisförmigen Wegelementen beschreiben wurden. Multipliziert man alle Abhängigkeiten auf ergibt sich das Volumenelement zu ('''gibt es denn nur eins?'''):
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In diesem Beispiel ist eine homogene Raumladungsdichte <math>\rho</math> in einem Quader mit den Kantenlängen a, b und c ('''einzeichnen!''') gegeben. Die Raumladungsdichte '''ist bestimmt als''' Ladung pro Volumen, daher muss, um die Gesamtladung zu bestimmen, über das Volumen des Quaders integriert werden:
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In diesem Beispiel ist eine konstante Raumladungsdichte <math>\rho</math> in einem Quader mit den Kantenlängen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> gegeben. Bei der Raumladungsdichte handelt es sich um eine analoge Größe zur Dichte eines Körpers, die die Masse pro Volumen beschreibt. Daher muss, um die Gesamtladung <math>Q</math> zu bestimmen, über das Volumen des Quaders integriert werden:
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:<math>Q=\int_V\rho\mathrm{d}V</math>
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Q=\int_V\rho\,\mathrm{d}V
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Das Volumenelement der kartesischen Koordinaten lautet ('''besser: ein infinitessimal kleines VElement in kart. Koord. lässt sich wie folgt beschreiben -> siehe oben (Link)'''):
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Ein Volumenelement in kartesischen Koordinaten wird wie folgt beschrieben:
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:<math>\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z</math>
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\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z
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Es kann direkt in die Gleichung eingesetzt und das Integral gelöst werden. Da die Raumladungsdichte <math>\rho</math> homogen ist, ist sie in dem gesamten Integrationsgebiet konstant und kann vor das Integral geschrieben werden:
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Es kann direkt in die Gleichung eingesetzt und das Integral gelöst werden. Da die Raumladungsdichte <math>\rho</math> hier konstant ist, kann <math>\rho</math> vor das Integral geschrieben werden (bei einer ortsabhängigen Raumladungsdichte wäre dies nicht mehr möglich):
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:<math>
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:<math>Q=\int_a\int_b\int_c \rho \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\rho\int_a\int_b\int_c\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z</math>
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Q=\int_0^c\int_0^b\int_0^a \rho\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\rho\int_0^c\int_0^b\int_0^a\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z
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:<math>Q=\rho\cdot a\cdot b\cdot c=\rho\cdot V</math>
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Damit folgt für die Gesamtladung:
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:<math>Q=\rho\cdot a\cdot b\cdot c=\rho\cdot V
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Aufgrund der konstanten Raumladungsdichte kann die Gesamtladung folglich auch sofort ohne die Integration angegeben werden.
 
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[[Datei:Raumladung_einer_Kugel.svg|250px|thumb|right|Raumladung einer Kugel]]
 
[[Datei:Raumladung_einer_Kugel.svg|250px|thumb|right|Raumladung einer Kugel]]
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Im zweiten Beispiel wird eine eine kugelförmige, konstante Raumladungsdichte <math>\rho</math> mit Radius '''R''' betrachtet. Um nun die gesamte Ladung zu bestimmen, muss über das Volumen der Kugel integriert werden. In diesem Fall bietet sich aufgrund der Symmetrie die Berechnung in [[Kugelkoordinaten]] an:
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Im zweiten Beispiel wird eine eine kugelförmige und konstante Raumladungsdichte <math>\rho</math> mit dem Radius <math>R</math> betrachtet. Um in diesem Fall die Gesamtladung <math>Q</math> bestimmen zu können, muss über das Volumen der Kugel integriert werden. Aufgrund der Symmetrie bietet sich die Verwendung von [[Kugelkoordinaten]] an. Wie im vorherigen Beispiel gilt zunächst:
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:<math>
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:<math>Q=\int_V\rho\mathrm{d}V</math>
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Q=\int_V\rho\,\mathrm{d}V
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Um über die gesamte Kugel zu integrieren, muss man die Integrationsgrenzen korrekt wählen. Da die gesamte Kugel betrachtet wird, muss die maximalen Ausdehnungen der Kugelkoordinaten für die Winkel <math>\theta</math> und <math>\varphi</math> gewählt werden, der Radius ergibt sich aus der Anordnung zu <math> r_{max}=R</math>:
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</math>
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Um über das gesamte Kugelvolumen zu integrieren, müssen die Integrationsgrenzen wie folgt gewählt werden (vgl. [[Kugelkoordinaten]]):
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:<math>0\leq r \leq R</math>
 
:<math>0\leq\varphi\leq 2\pi</math>
 
:<math>0\leq\varphi\leq 2\pi</math>
 
:<math>0\leq\vartheta\leq\pi</math>
 
:<math>0\leq\vartheta\leq\pi</math>
  
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Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinaten verwendet werden. Dies ergibt sich aus der Symmetrie, zu:
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Außerdem muss das Differntial in Kugelkoordinaten angegeben werden:
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:<math>
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\mathrm{d}V=r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r
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</math>
  
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:<math>\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r</math>
+
Durch Einsetzen folgt:
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:<math>
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Q=\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\cdot r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d} r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta
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</math>
  
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Da es sich hier bei <math>\rho</math> um eine Konstante handelt, kann diese Größe vor das Integral geschrieben werden und es folgt:
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:<math>
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Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{r^3}{3}\right|_0^R=\rho\underbrace{\frac{4\pi R^3}{3}}_{V_{\text{Kugel}}}
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</math>
 +
Somit wird die Raumladungsdichte mit dem Volumen einer Kugel mit dem Radius <math>R</math> multipliziert.
  
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Eingesetzt folgt daraus:
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Weitere Hinweise finden sich im Artikel zur [[Lösung vektorieller Mehrfachintegrale|Lösung von Mehrfachintegralen]].
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:<math>Q=\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot \tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta</math>
 
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Da <math>\rho</math> homogen ist, also unabhängig von dem Ort, kann man die Konstante vor das Integral ziehen und das Integral dann lösen:
 
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:<math>Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^3}{3}\right|_0^R=\rho\frac{4\pi R^3}{3}</math>
 
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Dies enspricht abgesehen von der Konstante  <math>\rho</math>  dem Volumen einer Kugel.
 
 
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<noinclude>==Literatur==
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http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.)
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* Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
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* Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, ''Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung'', 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
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* Klaus Jänich, ''Mathematik 1 Geschrieben für Physiker'', 2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
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* Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, ''Mathematik für Naturwissenschaftler'', 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
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* Dr. Thomas Hempel, ''Mathematische Grundlagen'', Linienintegral, Vorlesungsskript, Universität Magdeburg, 2010
  
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==Literatur==
 
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* Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
 
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* Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, ''Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung'', 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
 
−
* Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
 
−
* Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, ''Mathematik für Naturwissenschaftler'', 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
 
−
* Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg
 
  
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[[Kategorie:Feedback]]

Aktuelle Version vom 9. November 2017, 16:59 Uhr

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Infinitesimale Volumenelemente sind beliebig kleine Teilelemente eines Volumens, das meist mit V bezeichnet wird. Volumenelemente werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Volumenintegralen benötigt. Prinzipiell handelt es sich um eine konsequente Fortsetzung der Beschreibung infinitesimaler Weg- und Flächenelemente. Infinitesimale Volumenelemente werden meist mit \mathrm{d}V bezeichnet.

Da einem Volumen keine Richtung zugeordnet werden kann, tritt dieses Element immer nur als Betrag auf.

Ein infinitesimales Volumenelement ergibt sich gemäß der bekannten Regel „Grundfläche multipliziert mit der Höhe“, wobei die Grundfläche nun ein infinitesimales Flächenelement und die Höhe ein infinitesimales Wegelement darstellt. Somit ergibt sich ein infinitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten wie folgt:

\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

In der nachfolgenden Abbildung wird die Bestimmung eines infinitesimalen Volumenelements in Zylinderkoordinaten verdeutlicht:

Volumenelement eines Zylinders

Im Artikel Flächenelemente wurde bereits die Bestimmung einer infinitesimalen Kreisringfläche beschrieben. Die Fläche muss nun noch mit dem infinitesimalen Wegstück \mathrm{d}z (entspricht der „Höhe“) multipliziert werden, so dass hier folgt:

\mathrm{d}V=\underbrace{\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\rho}_{\mathrm{d}A}\mathrm{d}z

Ein Volumenelement in Kugelkoordinaten ergibt sich durch eine analoge Vorgehensweise, wobei hier nun mehrere gekrümmte Konturelemente zu berücksichtigen sind. Die nachfolgende Grafik verdeutlicht die Vorgehensweise:

Volumenelement einer Kugel

Eine Übersicht dieser und weiterer Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der Formelsammlung Koordinatensysteme.

Beispiel: Volumenelemente in kartesischen Koordinaten
Volumenelement in kartesischen Koordinaten

In diesem Beispiel ist eine konstante Raumladungsdichte \rho in einem Quader mit den Kantenlängen a, b und c gegeben. Bei der Raumladungsdichte handelt es sich um eine analoge Größe zur Dichte eines Körpers, die die Masse pro Volumen beschreibt. Daher muss, um die Gesamtladung Q zu bestimmen, über das Volumen des Quaders integriert werden:

Q=\int_V\rho\,\mathrm{d}V

Ein Volumenelement in kartesischen Koordinaten wird wie folgt beschrieben:

\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

Es kann direkt in die Gleichung eingesetzt und das Integral gelöst werden. Da die Raumladungsdichte \rho hier konstant ist, kann \rho vor das Integral geschrieben werden (bei einer ortsabhängigen Raumladungsdichte wäre dies nicht mehr möglich):

Q=\int_0^c\int_0^b\int_0^a \rho\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\rho\int_0^c\int_0^b\int_0^a\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

Damit folgt für die Gesamtladung:

Q=\rho\cdot a\cdot b\cdot c=\rho\cdot V

Aufgrund der konstanten Raumladungsdichte kann die Gesamtladung folglich auch sofort ohne die Integration angegeben werden.

Beispiel: Volumenelemente in Kugelkoordinaten
Raumladung einer Kugel

Im zweiten Beispiel wird eine eine kugelförmige und konstante Raumladungsdichte \rho mit dem Radius R betrachtet. Um in diesem Fall die Gesamtladung Q bestimmen zu können, muss über das Volumen der Kugel integriert werden. Aufgrund der Symmetrie bietet sich die Verwendung von Kugelkoordinaten an. Wie im vorherigen Beispiel gilt zunächst:

Q=\int_V\rho\,\mathrm{d}V

Um über das gesamte Kugelvolumen zu integrieren, müssen die Integrationsgrenzen wie folgt gewählt werden (vgl. Kugelkoordinaten):

0\leq r \leq R
0\leq\varphi\leq 2\pi
0\leq\vartheta\leq\pi

Außerdem muss das Differntial in Kugelkoordinaten angegeben werden:

\mathrm{d}V=r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r

Durch Einsetzen folgt:

Q=\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\cdot r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d} r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta

Da es sich hier bei \rho um eine Konstante handelt, kann diese Größe vor das Integral geschrieben werden und es folgt:

Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{r^3}{3}\right|_0^R=\rho\underbrace{\frac{4\pi R^3}{3}}_{V_{\text{Kugel}}}

Somit wird die Raumladungsdichte mit dem Volumen einer Kugel mit dem Radius R multipliziert.

Weitere Hinweise finden sich im Artikel zur Lösung von Mehrfachintegralen.

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073451342/student_view0/chapter13/section6/cylindrical_coordinates__app_.html Darstellung von infinitesimalen Volumenelementen in Zylinderkoordinaten (engl.)

Literatur

  • Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
  • Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
  • Klaus Jänich, Mathematik 1 Geschrieben für Physiker, 2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
  • Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
  • Dr. Thomas Hempel, Mathematische Grundlagen, Linienintegral, Vorlesungsskript, Universität Magdeburg, 2010
Abgerufen von „https://getwww.uni-paderborn.de/wiki/geta/index.php?title=Volumenelemente&oldid=7080“