Das Flächenintegral

To-do:

• Ausführung von Mehrfachintegralen (Integrationsreihenfolge usw.) ausführlicher beschreiben, ggf. eigenen Abschnitt einfügen
• "Vor das Integral schreiben" statt ziehen
• Einleitung plausibler!!!
• Unterschied zwischen geschlossener und offener Hüllfläche grafisch darstellen

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Das Flächen- oder Oberflächenintegral beschreibt eine Integration über eine (gerichtete) Fläche. Da in diesem Fall eine Schachtelung von zwei Integrationsintervallen betrachtet wird, gibt es auch zwei Integrationsvariablen. Handelt es sich zum Beispiel um eine Fläche in der $x$-$y$-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems, so ist das Differential durch $\mathrm{d}\vec{\textbf{A}} = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\vec{\textbf{e}}_z$ gegeben (Flächennormale zeigt hier in Richtung $\vec{\textbf{e}}_z$). Handelt es sich um eine geschlossene Fläche (= Hüllfläche), so wird das Integral als Hüllflächenintegral bezeichnet und das Integralzeichen wird mit einem Ring dargestellt.

Fluss durch eine ebene Fläche

Zur Verdeutlichung der Bedeutung des Flächenintegrals wird ein physikalisches Beispiel herangezogen. Betrachtet wird eine Flüssigkeit, die sich homogen und mit einer konstanten Geschwindigkeit $\vec{\textbf{v}} = v_x \vec{\textbf{e}}_x$ durch eine Ebene Fläche bewegt (siehe Abbildung). Die Fläche ist dabei durch ein Rechteck mit den Kantenlängen $a$ und $h$ gegeben, welches im Winkel $\alpha$ (siehe Flächennormale $\vec{\textbf{n}}$) zur Bewegungsrichtung der Flüssigkeit steht. Es soll nun die Frage beantwortet werden, wie viel Flüssigkeit $V$ pro Zeitintervall durch die Fläche strömt.

Zunächst lässt sich festhalten, dass die Flüssigkeit in einem Zeitintervall $\Delta t$ die Strecke $s=v_x \Delta t$ (Geschwindigkeit=Strecke/Zeit, dieser Zusammenhang muss lediglich umgestellt werden) zurücklegt. Platziert man weiterhin eine Fläche senkrecht zur Bewegungsrichtung der Flüssigkeit, die im Vergleich zur gekippten Fläche den gleichen Bereich abdeckt, so lässt sich folgender Zusammenhang feststellen: Durch die senkrechte Fläche tritt die gleiche Menge an Flüssigkeit wie durch die gekippte Fläche. Damit entspricht die Flüssigkeitsmenge, die durch diese Flächen tritt, dem Volumen des Quaders mit den Grundseiten $s$ und $b$ sowie der Höhe $h$ (vgl. Abbildung). Für die Länge der Grundseite $b$ folgt mit Hilfe trigonometrischer Funktionen:

$b = a\cos\alpha$

Damit folgt für die Flüssigkeitsmenge:

$V = s\,b\,h = (v_x \Delta t)\,(a\cos\alpha)\,h$

In dieser Gleichung entspricht $A=a\,h$ dem Flächeninhalt der gekippten Fläche, daher gilt:

$V = v_x\,A\,\cos\alpha\Delta t$

Die Flüssigkeitsmenge $V$, die pro Zeitintervall $\Delta t$ durch die Fläche tritt, wird als Fluss $\Psi$ bezeichnet:

$\Psi = \frac{V}{\Delta t} = v_x\,A\,\cos\alpha$

Die in der Gleichung vorkommende Kosinus-Funktion lässt bereits auf einen Zusammenhang zum Skalarprodukt schließen. Damit lässt sich die Gleichung nämlich auch wie folgt formulieren:

$\Psi = \vec{\textbf{v}}\cdot\vec{\textbf{A}} = v_x \vec{\textbf{e}}_x \cdot \vec{\textbf{n}} A = v_x\,A |\vec{\textbf{e}}_x ||\vec{\textbf{n}}| = v_x\,A\,\cos\alpha$

Der Fluss entspricht damit der Flüssigkeitsmenge, die in einem Zeitintervall durch die gesamte Fläche tritt. Um eine von der Größe der Fläche unabhängige Größe zu erhalten, wird die Flussdichte $\vec{\textbf{B}}$ (Fluss pro Fläche) eingeführt:

$\vec{\textbf{B}} = v_x \vec{\textbf{e}}_x$

Fluss durch eine gekrümmte Fläche

Im allgemeinen Fall hat man es nicht mit einer ortsunabhängigen (konstanten) Fließgeschwindigkeit zu tun. Weiterhin können die betrachteten Flächen beliebige Formen annehmen (siehe Abbildung).

Möchte man in diesem Fall den Fluss bestimmen, so muss die ortsabhängige Flussdichte über die Fläche aufsummiert (integriert) werden. Dazu kann diese zunächst in $n$ sehr kleine Teilstücke zerlegt werden, wobei das $i$-te Teilstück mit $\Delta \vec{\textbf{A}}_i$ bezeichnet wird. Damit kann jedem Teilstück eine näherungsweise konstante Flächennormale $\vec{\textbf{n}}$ sowie eine näherungsweise konstante Flussdichte $\vec{\textbf{B}}_i$ zugeordnet werden. Die Flächennormale gibt dabei vor, in welche Richtung der Fluss positiv zu zählen ist. Somit folgt:

$\Psi \approx \sum_{i=1}^n \vec{\textbf{B}}_i\cdot\vec{\textbf{A}}_i$

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In einem Zeitintervall $\Delta t$ legt die Flüssigkeit die Strecke $c=v_x \Delta t$ zurück.

Die in diesem Zeitintervall durch die Fläche strömende Flüssigkeitsmenge entspricht damit dem Volumen des entsprechenden Prismas (siehe Abbildung). Dieses Volumen $V$ ergibt sich gemäß der bekannten Regel

In vielen Fällen interessiert es nicht nur, welchen Betrag eine Integration über eine Kontur ergibt, sondern über eine ganze Fläche (Fragwürdige Aussage). Um die Problematik zu veranschaulichen, kann man zunächst ein Wasserrohr betrachten. Die Fläche des Rohres dient als begrenzender Parameter für den maximalen Durchsatz, also wieviel Wasser pro Zeit maximal hindurchfließen kann (Plausibilität? Je höher der Druck, desto mehr Wasser geht doch auch hindurch. Warum sollte die Fläche hier begrenzend wirken?). Hat man also ein Wasserrohr mit relativ kleinem Querschnitt, so wird weniger Wasser pro Zeit hindurchfließen können als bei einem Rohr mit größerem Querschnitt. Außerdem sollte man berücksichtigen, dass das Wasser in der Mitte des Rohres unter Umständen schneller strömen kann als am Rand, welches einem inhomogenem Durchsatz der Fläche entspricht. Analog zu dem Wasserrohr kann man sich auch ein stromdurchflossenes Kabel vorstellen (oder den magnetischen Fluss durch eine Leiterschleife). Auch der maximale Stromdurchsatz wird durch die Fläche des Kabels begrenzt (falsch!!!). Durch materialabhängige Unterschiede kann es zu unterschiedlichen Leitfähigkeiten im Kabel kommen, dies würde einem inhomogenen Durchsatz entsprechen (unverständlich). Damit diese Faktoren geeignet berücksichtigt werden können, verwendet man bei solchen Beispielen das Flächenintegral, da hier auch gekrümmte Flächen und inhomogene Durchsätze betrachtet werden können. Argumentationskette besser wie folgt: Möchte man den Durchsatz durch eine beliebige Fläche berechnen -> Verwendung des Flächenintegrals.

Fluss durch eine ebene Fläche

Im Gegensatz zum Linienintegral wird beim Flächenintegral die Funktion nicht nur von einer Integrationsvariable bestimmt, sondern von zweien. Alternativ zur ersten Schreibweise

$\int\limits_A\vec{\textbf{B}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{A}}$

kann für das Flächenintegral auch diese Schreibweise verwendet werden:

$\int\limits_{x_1}^{x_2}\int\limits_{y_1}^{y_2}\vec{\textbf{B}}\cdot \vec{\mathbf{n}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Allerdings wird die zweite Schreibweise hier weniger Verwendung finden (Formulierung).

Es wird generell zwischen einem skalaren und einem vektoriellen Flächenintegral unterschieden, je nach Form des Integranden. Bei einem vektoriellen Flächenintegral muss, ähnlich wie beim Linienintegral, das Skalarprodukt gebildet werden:

Während die Richtung der Funktion meist durch die Aufgabe gegeben ist, muss bei der Fläche die Flächennormale bestimmt werden. Dazu wird ein Einheitsvektor $\vec{\textbf{n}}$ verwendet, der senkrecht auf der Fläche A steht. So erhält die Fläche die Richtung$\vec{\textbf{A}}=\vec{\textbf{n}}A$. Nun nimmt man die Funktion, die einen Fluss oder eine Flussdichte darstellt (im oberen Beispiel wäre das etwa die Wasserdichte, die pro Zeiteinheit durch das Rohr strömt oder man wählt ein eher elektrotechnisches Beispiel wie die magnetische Flussdichte im Durchflutungssatz) und bildet das Skalarprodukt zwischen dem gerichteten Fluss und der Flächennormale.

Ist die Fläche A gebogen und die Dichte ortsabhängig, wird sie in viele Teilstücke $\Delta A_i$ mit i=1,...n unterteilt, sodass die Krümmung dieser Teilstücke vernachlässigt werden kann (vgl. Infinitesimale Volumenelemente). Da man nun keine einheitliche Normale mehr hat, muss für jedes Flächenstück die Flächennormale $\vec{\textbf{n}}_i$ bestimmt werden. Idealerweise kann man sich die Flächenstücke als kleine ebene Teilflächen vorstellen. Anschließend wird analog zum vektoriellem Linienintegral ein Punkt $P_i$ auf der Fläche gewählt und der dazugehörige Funktionswert $\vec{\textbf{B}}_i$ für dieses Flächenstück bestimmt. Nun bildet man das Skalarprodukt zwischen der jeweiligen Flächennormalen und dem Funktionswert.

$\Delta \Psi_i = \vec{\textbf{B}}_i \cdot\Delta \vec{\textbf{A}}_i$

Dabei muss der Winkel $\alpha_i$ zwischen den Funktionsparametern und der Flächennormalen betrachtet werden. Den maximalen Fluss erhält man nach Definition des Skalarprodukts bei $\cos 0$, welches zwei parallelen Vektoren entspricht. Dies korreliert auch mit den Alltagserfahrungen: Wenn das Wasserohr senkrecht gestellt ist, liegen Flussrichtung und Öffnung des Rohres in der selben Richtung und der Wasserdurchsatz wird maximal.

Summiert man alle einzelnen Teilstückchen auf, erhält man die folgende Darstellung des Flächenintegrals:

$\Psi\approx\sum_{i=1}^n \Delta \Psi = \sum_{i=1}^n \vec{\textbf{B}}_i \cdot\Delta \vec{\textbf{A}}_i .$

Fluss durch eine gekrümmte Fläche

Allerdings ist dies wiederum nur eine Approximation, daher muss auch hier der Grenzwert gebildet werden, in dem die Teilflächenanzahl gegen unendlich geht, während ihre Flächen infinitesimal klein werden. Aus diesem Grenzwert der Summe entsteht das Oberflächenintegral über die Fläche A, also der Fluss durch diese Fläche. Zur Berechnung des Flächenintegrals verwendet man folgende Form:

$\Psi = \int\limits_A\vec{\textbf{B}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{A}} = \lim{\Delta A_i \to 0} \sum_{i=1}^n \vec{\textbf{B}}_i\cdot\Delta \vec{\textbf{A}}_i .$

Anschließend seien zwei Sonderfälle genannt, die häufig auftreten und den Rechenaufwand verkleinern:

1.Fall Ist der eingeschlossene Winkel $\alpha$ Null, also wenn die beiden Vektoren $\vec{\textbf{B}}$ und $\vec{\textbf{n}}$ überall parallel sind, dann folgt:

$\Psi = \iint\limits_{A} D\mathrm{d}A .$

Die Paramater müssen nun nicht mehr als Vektoren angesehen werden.

2.Fall Wenn außerdem B über die ganze Fläche A konstant ist, folgt:

$\Psi = B \iint\limits_{A} \mathrm{d}A = B A .$

Die Integration geht dann in eine einfache Multiplikation der Flussdichte B mit dem Flächeninhalt A über.

Beispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung Ein Beispiel zur Verwendung des Flächenintegrals findet sich im Artikel zur Lösung vektorieller Mehrfachintegrale.

Multimediale Lehrmaterialien

http://www.surendranath.org/Applets/Electricity/BSLMFACC/BSL.html Applet zum Darstellen des Magnetischen Feldes http://susannealbers.de/pk_applets/efeld/06wissen-physik-efeld.html Applet zu Punktladung und deren Feldlinien und Potenziale http://www.slu.edu/classes/maymk/banchoff/FluxIntegral.html Applet zur Oberflächenintegration (engl.) http://demonstrations.wolfram.com/DoubleIntegralForVolume/ Applet: Doppelintegral über ein Volumen mit Hilfe von Unter und Obersummen (engl./ free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/oberflaechenintegral.pdf Bebilderte Beschreibung zu Oberflächenintegralen http://math.intelarts.com/doubint1.htm Bebilderte Erläuterung zum Doppelintegral http://www-hm.ma.tum.de/integration/course/html/ch2/t/t_parent.htm Verschiedene Anwendungen der Integration http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/oberflaechenintegral2.pdf Detaillierte Beschreibung zum Oberflächenintegral mit Beispielrechnung http://www.hoever.fh-aachen.de/SS06/mathe/skript/Mathe2-2.pdf Erklärung zum mehrdimensionalen Integrieren http://mathworld.wolfram.com/SurfaceIntegral.html Formeln und kurze Erklärung zur Oberflächenintegration (engl.) http://www.ltcconline.net/greenl/courses/117/DoubIntProb/Volume.htm Erklärung zum Doppelintegral (engl.)

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
• Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
• Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
• Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg

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