Einheitsvektoren

← Zurück: Einführung in die Vektorrechnung

Übersicht: Vektorrechnung

Vorwärts: Einfache Rechenoperationen mit Vektoren →

Zu diesem Thema stehen Aufgaben zur Selbstkontrolle zur Verfügung.

Einheitsvektor

Unter einem Einheitsvektor versteht man allgemein einen Vektor mit dem Betrag beziehungsweise der Länge 1. Der Einheitsvektor $\vec{\textbf{e}}_{a}$ zu einem gegebenen Vektor $\vec{\textbf{a}}$ lässt sich dadurch bestimmen, dass man den gegebenen Vektor durch seinen Betrag $|\vec{\textbf{a}}|$ dividiert:

$\vec{\textbf{e}}_{a} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{|\vec{\textbf{a}}|} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}} = \frac{1}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}} \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z \end{bmatrix}$

Der Vektor $\vec{\textbf{e}}_{a}$ hat die Länge 1 (es gilt also $|\vec{\textbf{e}}_{a}| = 1$) und zeigt in Richtung des Vektors $\vec{\textbf{a}}$. Auf diese Weise lässt sich jeder Vektor als Produkt aus seinem Betrag (also einer skalarwertigen Größe) und dem dazugehörigen Einheitsvektor angeben. Der Vektor $\vec{\textbf{a}}$ kann somit auch wie folgt dargestellt werden:

$\vec{\textbf{a}} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{|\vec{\textbf{a}}|} |\vec{\textbf{a}}| = \vec{\textbf{e}}_{a} |\vec{\textbf{a}}|$

Beispiel: Richtungsangabe von Kräften Beobachtet man die Wirkung von Ladungen aufeinander, so lässt sich feststellen, dass diese Kräfte aufeinander ausüben. Werden nun zwei Punktladungen $Q_1$ und $Q_2$ im Abstand $r$ zueinander positioniert (siehe Abbildung), so herrscht zwischen ihnen eine Kraft $F$ gemäß dem Coulombschen Gesetz: $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r} \cdot \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$ Bei der Kraft handelt es sich um eine gerichtete und damit vektorielle Größe, die in diesem Fall ausschließlich vom Abstand der Ladungen abhängt. In der Gleichung fehlt aber noch die Richtungsinformation über die Kraftwirkung. Diese muss in der Gleichung derart berücksichtigt werden, dass sich der Betrag der Kraft nicht ändert. Zu diesem Zweck kann ein Einheitsvektor $\vec{\textbf{e}}_{r}$ in Richtung des Abstandsvektors $\vec{\textbf{r}}$ eingeführt werden, der diese Information angibt: $\vec{\textbf{e}}_{r} = \frac{\vec{\textbf{r}}}{r}$ Damit kann die Gleichung für die Coulombkraft in vektorieller Form wie folgt angegeben werden: $\vec{\textbf{F}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r} \cdot \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \cdot \frac{\vec{\textbf{r}}}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r} \cdot \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \cdot \vec{\textbf{e}}_{r}$ Zur Verdeutlichung dieser Zusammenhänge steht ein Applet zur Verfügung.

Beispiel: Bestimmung des Einheitsvektors zu einem gegebenen Vektor Gegeben ist der Vektor $\vec{\textbf{b}} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \end{bmatrix}^\text{T}$ (das $^\text{T}$ steht für Transposition und ermöglicht die Schreibweise des Spaltenvektors als Zeilenvektor), zu dem der zugehörige Einheitsvektor bestimmt werden soll. In diesem Fall folgt: $\vec{\textbf{e}}_{b} = \frac{\vec{\textbf{b}}}{|\vec{\textbf{b}}|} = \frac{1}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2}} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{25}} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5}\\ 0\\ \frac{4}{5} \end{bmatrix}$ Das dieser Vektor tatsächlich die Länge 1 hat, lässt sich leicht durch die Bestimmung des Betrags überprüfen: $|\vec{\textbf{e}}_{b}| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = \sqrt{1} = 1$

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
• Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)