Skalarprodukt

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Zu diesem Thema stehen Aufgaben zur Selbstkontrolle zur Verfügung.

Skalarprodukt

Bei der Multiplikation zweier Vektoren handelt es sich entweder um das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) oder aber um das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt liefert als Ergebnis ein Skalar, das Vektorprodukt hingegen liefert als Ergebnis wieder einen Vektor. Betrachtet man zwei Vektoren $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$, so ist das zugehörige Skalarprodukt wie folgt definiert:

$\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} = a \vec{\textbf{e}}_{a} \cdot b\vec{\textbf{e}}_{b} = a b \cos \alpha$

Dabei bezeichnet $\alpha$ den Winkel, der von den beiden Vektoren eingeschlossen wird und Werte zwischen $0$ und $\pi$ annehmen kann (siehe Abbildung). Der Einfachheit halber lässt man den Punkt zur Kennzeichnung des Skalarprodukts häufig weg, da bei der Multiplikation zweier Vektoren nur das Skalarprodukt und das Vektorprodukt in Frage kommen und letzteres ohnehin durch ein Kreuz (also zum Beispiel $\vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}}$) gekennzeichnet wird.

Betrachtet man nun die rechte Seite der oben angegebenen Beziehung zur Bestimmung des Skalarprodukts und die zugehörige Abbildung, so lässt sich der folgende Zusammenhang feststellen: Projiziert man den Vektor $\vec{\textbf{b}}$ auf die Richtung des Vektors $\vec{\textbf{a}}$, so erhält man hierbei gerade die Strecke $b\cos\alpha$. Daraus folgt, dass das Ergebnis des Skalarprodukts als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b\cos\alpha$ aufgefasst werden kann. Die Projektion kann auch in umgekehrter Reihenfolge (Projektion des Vektors $\vec{\textbf{a}}$ auf die Richtung des Vektors $\vec{\textbf{b}}$) ausgeführt werden, so dass man die Strecke $a\cos\alpha$ erhält. Die Multiplikation dieses Terms mit $b$ führt zu einem Rechteck mit identischem Flächeninhalt aber einem anderen Seitenverhältnis (siehe Abbildung).

Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung des Skalarprodukts ist dadurch gegeben, dass man zunächst die korrespondierenden Komponenten multipliziert und anschließend aufsummiert:

$\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} = a b\cos\alpha = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Ganz allgemein - zum Beispiel wenn man es nicht mit Vektoren aus dem kartesischen Koordinatensystem zu tun hat - lässt sich das Skalarprodukt wie folgt bestimmen:

$\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} = a b \cos\alpha = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$

Anhand der beschriebenen Zusammenhänge zeigt sich, dass das Skalarprodukt dem Kommutativgesetz genügt. Somit gilt:

$\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{b}} \cdot \vec{\textbf{a}}$

Weiterhin ergeben sich einige Sonderfälle, die im technischen Kontext häufig zu Vereinfachungen führen:

$\begin{align} \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} &= ab& &\text{wenn}& \vec{\textbf{a}} & \upuparrows \vec{\textbf{b}}& &(\text{da} \cos(0) = 1)\\ \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} &= 0& &\text{wenn}& \vec{\textbf{a}} &\perp \vec{\textbf{b}}& &(\text{da} \cos(\frac{\pi}{2}) = 0)\\ \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} &= -ab& &\text{wenn}& \vec{\textbf{a}} &\downarrow\uparrow \vec{\textbf{b}}& &(\text{da} \cos(\pi) = -1) \end{align}$

Beispiel: Arbeit im elektrischen Feld Ein häufiger Anwendungsfall des Skalarprodukts ergibt sich bei dem Begriff der Arbeit. Bewegt man beispielsweise eine Punktladung $Q$ in einem homogenen elektrischen Feld $\vec{\textbf{E}}$ entlang einer geraden Strecke $\vec{\textbf{s}}$ von einem Punkt $A$ zu einem Punkt $B$, so lässt sich die dabei aufgewendete Arbeit mit Hilfe des Skalarprodukts wie folgt bestimmen: $W_{AB} = \vec{\textbf{F}} \cdot \vec{\textbf{s}}$ Bei der Verschiebung der Ladung muss die Coulomb-Kraft $\vec{\textbf{F}} = Q\vec{\textbf{E}}$ aufgebracht werden, das heißt in diesem Fall ergibt sich der folgende Zusammenhang: $W_{AB} = Q\vec{\textbf{E}} \cdot \vec{\textbf{s}} = Q E \cos{\alpha}$ Allgemein, also wenn die elektrische Feldstärke nicht homogen und der Weg der Verschiebung von $A$ nach $B$ keine gerade Strecke ist, gilt: $W_{AB} = \int_{A}^{B} \vec{\textbf{F}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = Q \int_{A}^{B} \vec{\textbf{E}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/DotProduct/ Applet: Skalarprodukt zweier Vektoren (engl./ free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/Vectors/skalarprodukt_zweier_vektoren.htm Erläuterung zum Skalarprodukt

Literatur

• Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)