Das Linienintegral: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 30. August 2012, 19:57 Uhr

To-do:

Einleitung etwas plausibler (es gibt doch genügend Beispiele)
Formulierungen überarbeiten (insbes. fett)
Grafik Spannungsberechnung in einem homogenen elektrischen Feld: Größe, Richtung von phi fehlt
In der Einleitung sollte auf die Unterabschnitte verwiesen werden
Das Erscheinungsbild dieser Seite ist nicht zufriedenstellend -> zu unübersichtlich, zu viel Inhalt
Irgendwo sollte etwas zu den Namen stehen (Linien = Kurvenintegrale)

Inhaltsverzeichnis

1 Das Linienintegral einer skalaren Größe
2 Das Linienintegral einer vektoriellen Größe
3 Literatur

Das Linienintegral einer skalaren Größe

Näherung für die Herleitung des Linienintegrals

Das Linien- oder Kurvenintegral beschreibt eine Integration entlang einer (gerichteten) Kontur $C$ , z. B. von einem Anfangspunkt $P_A$ bis zu einem Endpunkt $P_B$ . Dabei gibt es nur eine Integrationsvariable. Bei einer Integration entlang der $x$ -Achse ist das zugehörige Differential beispielsweise durch $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}=\mathrm{d}x\,\vec{\textbf{e}}_x$ gegeben. Handelt es sich bei dem Integrationsweg $C$ um eine geschlossene Kontur, d. h. der Anfangs- und Endpunkt fallen zusammen $(P_A = P_B)$ , wird das Linienintegral als Ring- oder Umlaufintegral bezeichnet und das Integralzeichen wird mit einem Ring dargestellt.

Das Linienintegral wird benötigt, wenn eine (ggf. vektorielle) Funktion von mehreren Variablen abhängt und entlang einer (im Allgemeinen nicht geradlinigen) Kontur zu integrieren ist. Dies ist zum Beispiel beim Durchflutungsgesetz (vgl. Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht) der Fall. Prinzipiell handelt es sich um eine Erweiterung der Integralrechnung mit einer skalaren Funktion und nur einer Integrationsvariablen.

Zur Herleitung des Linienintegrals wird exemplarisch eine von zwei Variablen abhängige Funktion $f(x,y)$ betrachtet, die entlang einer Kurve zwischen den Punkten $P_A$ und $P_B$ integriert werden soll (siehe Abbildung). Hierzu wird die Kontur zunächst in $n$ Teilstücke zerlegt. Dabei wird die Länge des $i$ -ten Teilstücks mit $\Delta s_i$ bezeichnet. Auf einem solchen $i$ -ten Teilstück kann der jeweilige Funktionswert $f(x_i,y_i)$ als näherungsweise konstant angenommen werden. Dadurch lässt sich ein Näherungswert für das Linienintegral dadurch angeben, dass die Produkte der Funktionswerte mit den Längen der Teilstücke aufsummiert werden:

\int\limits_{P_A}^{P_B} f(x, y) \mathrm{d}s \approx \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta s_i

Es wurde bereits beschrieben, dass die Funktionswerte $f(x_i,y_i)$ auf den Teilstücken als näherungsweise konstant angenommen werden können. Die Näherung ist dabei umso genauer, je kleiner die Teilstücke gewählt werden. Daher wird zu infinitesimal kleinen Teilstücken ( $\Delta s_i\to 0$ ) übergangen, von denen es dann unendlich viele gibt ( $n\to\infty$ ). Auf diese Weise erhält man das entsprechende Linienintegral:

\int\limits_{P_A}^{P_B} f(x, y) \mathrm{d}s = \lim_{n\to\infty,\,\Delta s_i \to 0}\sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta s_i .

Für eine möglichst einfache Lösung der Integrale bietet sich die Verwendung eines auf den jeweiligen Anwendungsfall „zugeschnittenen“ Koordinatensystems an.

Beispiel: Berechnung der Gesamtladung einer Linienladung

Linienladung entlang der

x

-Achse

In diesem Beispiel werden verschiedene Fälle einer gegebenen Linienladung betrachtet. Bei einer Linienladung handelt es sich um eine Ladungsanordnung entlang einer Kontur. Dabei gibt die Linienladungsdichte $\lambda$ die Ladungsmenge pro Streckenabschnitt an. Um die gesamte Ladung entlang einer Kontur berechnen zu können, muss die Linienladungsdichte entlang der jeweiligen Kontur integriert werden:

Q=\int_C\lambda\cdot\mathrm{d}s

Fall 1: Konstante und geradlinig angeordnete Linienladung

Bei einer konstanten und entlang der $x$ -Achse geradlinig angeordneten Linienladung berechnet sich die Gesamtladung mit $\mathrm{d}s = \mathrm{d}x$ (vgl. Wegelemente) wie folgt:

Q=\int_0^l\lambda\cdot\mathrm{d}x=\left.\lambda\cdot s\right|_0^l=\lambda\cdot l

Aufgrund der konstanten Linienladungsdichte kann die Gesamtladung folglich auch sofort ohne die Integration angegeben werden.

Fall 2: Ortsabhängige und geradlinig angeordnete Linienladung

Handelt es sich bei der Linienladungsdichte um eine ortsabhängige Größe, so kann das Ergebnis nicht einfach durch die Multiplikation dieser Größe mit der Strecke angegeben werden. Betrachtet wird zum Beispiel eine linear zunehmende Linienladungsdichte:

\lambda(x) = \eta_0\,x

Linienladung entlang eines Viertelkreisbogens

Dabei ist $\eta_0$ eine Konstante mit der Einheit $\mathrm{As}/\mathrm{m}^2$ (ansonsten hätte $\lambda(x)$ keine zu einer Linienladungsdichte passende Einheit $\mathrm{As}/\mathrm{m}$ ). Die Linienladungsdichte wird also entlang der $x$ -Achse größer. Setzt man diese ortsabhängige Linienladungsdichte in das Integral ein, so folgt:

Q=\int_0^l \eta_0\,x\,\mathrm{d}x = \eta_0 \int_0^l x\,\mathrm{d}x = \eta_0 \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^l = \eta_0\frac{l^2}{2}

Fall 3: Konstante und krummlinig angeordnete Linienladung

In diesem Fall wird eine Linienladung in Form eines Viertelkreisbogens betrachtet. Da die Linienladungsdichte wieder konstant ist, muss diese zur Bestimmung der Gesamtladung lediglich mit der Länge dieses Viertelkreisbogens multipliziert werden. Dazu ist ein Übergang zu den Zylinderkoordinaten zweckmäßig. Mit $\mathrm{d}s = \rho\mathrm{d}\varphi$ (vgl. Wegelemente) folgt:

Q = \int_0^{\pi/2} \lambda\,\rho\mathrm{d}\varphi = \lambda\rho\frac{\pi}{2}

Das verwendete Integral dient der Anschauung, alternativ kann die Länge des Viertelkreisbogens auch direkt als ein Viertel des Kreisumfangs angegeben werden.

Das Linienintegral einer vektoriellen Größe

Linienintegrale treten häufig auch in vektorieller Form auf. Dabei ist eine vektorielle Funktion, z. B. $\vec{\textbf{E}}(x,y,z)$ , entlang einer ebenfalls gerichteten Kontur mit den Wegelementen $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ zu integrieren. Im Vergleich zum skalarwertigen Linienintegral ist also zusätzlich das Skalarprodukt $\vec{\textbf{E}}\cdot\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ für jedes Wegelement $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ zu bestimmen. Aufgrund der Projektionseigenschaft das Skalarprodukts wird nur die jeweils tangential zum Wegelement verlaufende Kompotente des Vektors $\vec{\textbf{E}}$ integriert. Für die weitere Herleitung wird ansonsten wie im skalarwertigen Fall verfahren.

Die Kontur wird nun in $n$ vektorielle Teilstücke zerlegt, wobei das $i$ -te Teilelement mit $\Delta \vec{\textbf{s}}_i$ bezeichnet wird. Auf einem solchen <amth>i</math>-ten Teilstück kann der jeweilige Funktionswert $\vec{\textbf{E}}(x_i,y_i,z_i)$ als näherungsweise konstant angenommen werden. Damit gilt für das Skalarprodukt bezogen auf das $i$ -te Teilstück:

\vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i) \cdot\Delta\vec{\textbf{s}}_i = \left| \vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i) \right| \left|\Delta\vec{\textbf{s}}_i\right|\cos(\alpha_i)

Damit folgt für das Linienintegral:

\int\limits_{P_A}^{P_B}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = \lim_{n\to\infty,\,\Delta s_i \to 0}\sum_{i=1}^n \left|\vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i)\right|\left|\Delta\vec{\textbf{s}}_i\right|\cos(\alpha_i)

Spezialfälle beschreiben!!! Im vorherigen ging es um die Integration skalarer Größen. Hat man aber beispielsweise ein elektrisches Feld $\vec{\mathbf{E}}(x, y, z)$ angelegt, betrachtet man nicht nur die Stärke, sondern auch die Richtung des Feldes im Raum. Um das berücksichtigen zu können, muss die Form des Linienintegrals angepasst werden. Deswegen hat man sowohl bei der Funktion $\vec{\textbf{E}}(x, y, z)$ als auch bei dem Wegelement $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ eine vektorielle Größe, da es in diesem Beispiel den Unterschied zwischen einer positiven, negativen oder gar keiner Spannung machen kann.

Linienintegral einer vektoriellen Größe

Zur Bestimmung des Linienintegrals einer vektoriellen Größe kann ebenso wie bei skalaren Größen das Integral über die infinitesimalen Wegelemente berechnet werden. Man verwendet nun wieder eine Kontur C, die zwischen den Punkten $P_A$ und $P_B$ verläuft. Allerdings sind diesmal, die Wegelemente $\Delta\vec{\textbf{s}}_i$ gerichtete Größen. Auch hier wird die Kontur in n Teilstücke $\Delta\vec{\textbf{s}}_i$ mit i = 1 ... n unterteilt und ein Punkt $P_i$ mit den Koordinaten $x_i , y_i , z_i$ einer vektoriellen Größe $\vec{\mathbf{E}}(x_i, y_i, z_i)$ zugeordnet. Um nun das Linienintegral berechnen zu können, muss das Skalarprodukt zwischen jedem Wegelement, dem dazugehörigen Funktionswert und dem eingeschlossenem Winkel $\alpha_i$ gebildet werden.

\vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i) \cdot\Delta\vec{\textbf{s}}_i = \left| \vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i) \right| \left|\Delta\vec{\textbf{s}}_i\right|\cos(\alpha_i)

Summiert man nun ebenfalls alle Skalarprodukte auf und bildet gemäß der Gleichung des Linienintegrals der skalaren Größen den Grenzwert, erhält man für das Linienintegral einer vektoriellen Größe folgende Form:

\int\limits_{P_A}^{P_B}\vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = \lim_{\Delta s_i \to 0}\sum_{i=1}^n \left|\vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i)\right|\left|\Delta\vec{\textbf{s}}_i\right|\cos(\alpha_i) .

Beispiel: Spannung im elektrischen Feld

Ein häufiger Anwendungsfall des Linienintegrals ergibt sich bei der Bestimmung der Spannung im elektrischen Feld. Bildet man beispielsweise eine Kontur gemäß der Abbildung in einem homogenen, gleichgerichtetem elektrischen Feld erhält man folgendes Ringintegral: $U=\oint\limits_C\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}$

Spannungsberechnung in einem homogenen elektrischen Feld

‎

Um dieses Integral zu lösen, können wir vier Fälle unterscheiden:
Die Strecke $P_1$ bis $P_2$ , die mit dem Elektrischen Feld verläuft.
Die Strecke $P_3$ bis $P_4$ , die entgegen dem Elektrischen Feld verläuft.
Und die Strecken $P_2$ bis $P_3$ und $P_4$ bis $P_1$ , die senkrecht zu dem elektrischen Feld verlaufen.

Nun unterteilt man das Integral in diese vier Bereiche und bildet jeweils das Skalarprodukt:

U=\int\limits_{P_1}^{P_2}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}+\int\limits_{P_2}^{P_3}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}+\int\limits_{P_3}^{P_4}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}+\int\limits_{P_4}^{P_1}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}

Daraus folgt:

U=|\vec{\textbf{E}}|\cdot |(P_2-P_1)|\cdot \underbrace{\cos{0}}_{=1}+|\vec{\textbf{E}}|\cdot|P_3-P_2|\cdot\underbrace{\cos{\frac{\pi}{2}}}_{=0}+|\vec{\textbf{E}}|\cdot|P_3-P_4|\cdot\underbrace{\cos{\pi}}_{=-1}+|\vec{\textbf{E}}|\cdot|P_1-P_4|\cdot\underbrace{\cos{\frac{\pi}{2}}}_{=0}

Durch die eingeschlossenen Rechten Winkel in zwei Fällen ergibt das Skalarprodukt Null und es bleibt nur noch übrig:

U=|\vec{\textbf{E}}|\cdot |(P_2-P_1)|-|\vec{\textbf{E}}|\cdot|P_3-P_4|

Da hier die Strecken zwischen $P_1$ und $P_2$ und $P_3$ und $P_4$ betragsmäßig gleich sind, folgt aus dieser Betrachtung:

U= 0

Dies ist eine wichtige Erkenntnis im elektrostatischen Feld: Das Ringintegral über ein homogenes, elektrisches Feld ergibt immer Null.

Beispiel: Rollende Kugel in einer Laufrinne

Gesucht ist die Arbeit

W=\int\limits_{P_A}^{P_B}\vec{\textbf{F}}\cdot d\vec{\textbf{s}}

,

die an einer Kugel verichtet wird, welche infolge einer Kraft $\vec{\textbf{F}}$ eine Laufrinne hinunterrollt. Die Laufrinne ist halbkreisförmig und spannt sich vom Anfangspunkt $P_A$ bis zum Endpunkt $P_B$ . Dabei wirkt eine ortsunabhängige, konstante Kraft $\vec{\textbf{F}}$ in Richtung der Verbindungslinie der beiden Punkte $P_A$ und $P_B$ .

Bewegungsvorgang im Kraftfeld

Der Bewegungsvorgang wird im zylindrischen Koordinatensystem mit dem Ursprung im Mittelpunkt des Kreises beschrieben, dadurch bewegt sich die Kugel in Richtung wachsender $\varphi$ -Werte auf einem Halbkreis mit konstantem Radius $\rho = a$ . So ist auf dem Halbkreis der Winkel $\alpha$ zwischen der Bewegungsrichtung $\vec{\textbf{e}}_\alpha$ und der Kraftrichtung $\vec{\textbf{e}}_y$ bekannt, da die vorgegebene Kraft sich am einfachsten mit einer kartesischen Komponente $\vec{\textbf{F}} = \vec{\textbf{e}}_y F_Y$ beschreiben lässt.

Um die geleistete Arbeit W zu bestimmen, muss die Kraft in Komponenten zerlegt werden, da nur die in Richtung der Bewegung wirkende Kraftkomponente einen Beitrag zur Arbeit leistet. Eine Komponente wirkt in Richtung $\vec{\textbf{e}}_\alpha$ und eine weitere senkrecht dazu in Richtung $\vec{\textbf{e}}_\rho$ . Nun benötigt man das Skalarprodukt aus der vektoriellen Kraft und dem gerichteten Wegelement, dessen Integration vom Anfangspunkt $P_A$ bis zum Endpunkt $P_B$ mit der obigen Gleichung das Ergebnis liefert:

W = \int\limits_{P_A}^{P_B}\vec{\textbf{F}}\cdot d\vec{\textbf{s}} = \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\vec{\textbf{e}}_yF_y\cdot \vec{\textbf{e}}_\alpha a d\varphi = aF_y \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}(\vec{\textbf{e}}_\rho\sin\alpha+\vec{\textbf{e}}_\alpha\cos\alpha)\cdot\vec{\textbf{e}}_\alpha d\varphi = aF_y \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi d\varphi = 2aF_y .

Multimediale Lehrmaterialien

http://www.dangries.com/Flash/IntegralSketch/IntegralSketch.html Applet zum Verständnis von Integralen

http://www.uni-due.de/~matj00/bauws10/VorlBau100518.html Applet zum Verständnis von Integralen

http://mathdl.maa.org/images/upload_library/4/vol4/kaskosz/antapp.html Applet: verschiedener Kurvenbeispiele und ihre Integrale (engl.)

Hilfreiche Links

http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Interaktives Arbeitsblatt zur Integration

http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.)

Literatur

Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg
TU Freiberg, "Parameter- und Kurvenintegrale", Script, 2010

← Zurück: Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht

Übersicht: Erweiterung der Integralrechnung

Vorwärts: Das Flächenintegral →

Das Linienintegral: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 30. August 2012, 19:57 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Das Linienintegral einer skalaren Größe

Das Linienintegral einer vektoriellen Größe

Literatur

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Mehr

Suche

Navigation

Werkzeuge

@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
 Damit folgt für das Linienintegral:
 :<math>
-\int\limits_{P_A}^{P_B}\vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = \lim_{n\to\infty,\,\Delta s_i \to 0}\sum_{i=1}^n \left|\vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i)\right|\left|\Delta\vec{\textbf{s}}_i\right|\cos(\alpha_i)
+\int\limits_{P_A}^{P_B}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = \lim_{n\to\infty,\,\Delta s_i \to 0}\sum_{i=1}^n \left|\vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i)\right|\left|\Delta\vec{\textbf{s}}_i\right|\cos(\alpha_i)
 </math>