Einführung in die Vektorrechnung

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Zu diesem Thema stehen Aufgaben zur Selbstkontrolle zur Verfügung.

Eine ganze Reihe physikalischer Größen lässt sich bereits durch die Angabe eines Zahlenwertes und der dazugehörigen Einheit vollständig beschreiben. Solche Größen nennt man skalare Größen oder kurz Skalare, gängige Beispiele sind die Masse eines Körpers (zum Beispiel $m = 5\,\text{kg}$) oder die Temperatur in einem Punkt im Raum (zum Beispiel $\vartheta = 20\,^\circ\text{C}$ oder $\vartheta = -42\,^\circ\text{C}$). Andere physikalische Größen sind gerichtet, so dass zur vollständigen Beschreibung zusätzlich die Angabe einer Richtung erforderlich ist. In diesem Fall spricht man von vektoriellen Größen. Bekannte Beispiele hierfür sind die Geschwindigkeit und alle Arten von Kräften.

Gleiche und entgegengesetzt gleiche Vektoren

Zur Unterscheidung von skalaren und vektoriellen Größen werden letztere häufig mit einem Pfeil (zum Beispiel $\vec{\textbf{a}}$) gekennzeichnet. Physikalische Zusammenhänge mit vektoriellen Größen lassen sich dann durch Größengleichungen beschreiben, deren mathematische Behandlung nach den Regeln der Vektorrechnung erfolgt. Weiterhin erfüllen die Größengleichungen die Gleichheitsbeziehung jeweils für die Zahlenwerte, Einheiten und Richtungen.

Zur graphischen Darstellung von Vektoren werden Pfeile verwendet, deren Richtung die Orientierung eines Vektors angibt und deren Länge dem jeweiligen Betrag entspricht. Der Betrag $|\vec{\textbf{a}}|$ eines Vektors $\vec{\textbf{a}} = \begin{bmatrix} a_x & a_y & a_z \end{bmatrix}^\text{T}$ (das $^\text{T}$ steht für Transposition und ermöglicht die Schreibweise des Spaltenvektors als Zeilenvektor) lässt sich wie folgt bestimmen:

$|\vec{\textbf{a}}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

Da die vorgestellte Schreibweise für den Betrag vergleichsweise aufwändig ist, schreibt man häufig einfach $a$ statt $|\vec{\textbf{a}}|$. Der Vektor $-\vec{\textbf{a}}$ hat den gleichen Betrag wie der Vektor $\vec{\textbf{a}}$, jedoch zeigt dieser in die entgegengesetzte Richtung. Zwei oder mehr Vektoren nennt man gleich, wenn deren Beträge und Richtungen übereinstimmen. Ein spezieller Vektor ist der Nullvektor $\vec{\textbf{0}}$ mit unbestimmter Richtung und dem Betrag 0.

Beispiel: Bewegung eines Flugkörpers Betrachtet man die Bewegung eines Flugkörpers, so hat dieser zu jedem Zeitpunkt $t$ nicht nur eine aktuelle Geschwindigkeit $v(t)$, sondern zusätzlich eine Bewegungsrichtung. Folglich handelt es sich bei der Geschwindigkeit um eine vektorielle Größe, das heißt es gilt $\vec{\textbf{v}}(t)$. Die zugehörige gerichtete Strecke ergibt sich dann aus dem Produkt dieser Größe und der Zeit: $\vec{\textbf{s}}(t) = \vec{\textbf{v}}(t) \cdot t$

Beispiel: Kraftwirkung auf eine Punktladung im elektrischen Feld Befindet sich eine punktförmige Ladung mit der Ladungsmenge $Q$ in einem elektrischen Feld $\vec{\textbf{E}}$, so wirkt eine Kraft $\vec{\textbf{F}}$ auf diese Ladung. Ein elektrisches Feld bildet sich zum Beispiel zwischen zwei positiv und negativ geladenen Platten aus (siehe nachfolgende Abbildung eines Kondensators). Die zugehörige vektorielle Größengleichung lautet wie folgt: $\vec{\textbf{F}} = Q \vec{\textbf{E}}$ Die Ladungsmenge $Q$ ist dabei eine skalare Größe und kann sowohl negativ als auch positiv sein, die Richtung der Kraftwirkung ergibt sich also ausschließlich durch das Vorzeichen von $Q$ und der Richtung des elektrischen Feldes. Ein negatives Vorzeichen von $Q$ führt zu einem Kraftvektor mit entgegengesetzer Richtung. Dies ist auch aus physikalischer Sicht plausibel, da eine negative Ladung von der positiven Kondensatorplatte angezogen und von der negativ geladenen Platte abgestoßen wird. Der vektorielle Charakter der Kraft wird weiterhin deutlich, wenn man den Kondensator gedanklich dreht und die Punktladung an ihrer Position belässt: Durch die Drehung des Kondensators ändert sich auch die Richtung des elektrischen Feldes, folglich muss auch die Kraft in eine andere Richtung wirken.

Charakterisierung von Vektoren

Abhängig von den jeweiligen Eigenschaften lassen sich Vektoren u. a. wie folgt charakterisieren:

• Freier Vektor: Freie Vektoren können beliebig im Raum verschoben werden und sind nicht an einen festen Anfangspunkt gebunden. In diesem Fall lassen sich gleiche Vektoren durch Parallelverschiebung zur Deckung bringen.
• Gebundener Vektor: Gebundene Vektoren können nicht verschoben werden und besitzen einen festen Angriffspunkt. Betrachtet man beispielsweise eine ortsabhängige elektrische Feldstärke, so sind Richtung und Betrag der entsprechenden Vektoren bestimmten Punkten im Raum zugeordnet.
• Ortsvektor: Ortsvektoren beginnen in der Regel im Ursprung eines gegebenen Koordinatensystems und sind in diesem Sinne gebundene Vektoren. Hinzu kommt, dass Ortsvektoren ausgehend vom Ursprung auf bestimmte Punkte (Orte), z. B. auf die Position einer Punktladung, im dreidimensionalen Raum zeigen.

Multimediale Lehrmaterialien

http://www.walter-fendt.de/html5/mde/line3d_de.htm Applet: Vektorgleichung einer Geraden im dreidimensionalen Raum

Hilfreiche Links

http://www.mathe-online.at/mathint/vect1/i.html Allgemeine Einführung in die Vektorrechnung http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_3/basics/m3_1_1.html Übersicht zur Vektorrechnung

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
• Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)