Das Linienintegral
To-do:
- Einleitung etwas plausibler (es gibt doch genügend Beispiele)
- Formulierungen überarbeiten (insbes. fett)
- Grafik Spannungsberechnung in einem homogenen elektrischen Feld: Größe, Richtung von phi fehlt
- In der Einleitung sollte auf die Unterabschnitte verwiesen werden
- Das Erscheinungsbild dieser Seite ist nicht zufriedenstellend -> zu unübersichtlich, zu viel Inhalt
- Irgendwo sollte etwas zu den Namen stehen (Linien = Kurvenintegrale)
Inhaltsverzeichnis
Das Linienintegral einer skalaren Größe
Das Linien- oder Kurvenintegral beschreibt eine Integration entlang einer (gerichteten) Kontur , z. B. von einem Anfangspunkt bis zu einem Endpunkt . Dabei gibt es nur eine Integrationsvariable. Bei einer Integration entlang der -Achse ist das zugehörige Differential beispielsweise durch gegeben. Handelt es sich bei dem Integrationsweg um eine geschlossene Kontur, d. h. der Anfangs- und Endpunkt fallen zusammen , wird das Linienintegral als Ring- oder Umlaufintegral bezeichnet und das Integralzeichen wird mit einem Ring dargestellt.
Das Linienintegral wird benötigt, wenn eine (ggf. vektorielle) Funktion von mehreren Variablen abhängt und entlang einer (im Allgemeinen nicht geradlinigen) Kontur zu integrieren ist. Dies ist zum Beispiel beim Durchflutungsgesetz (vgl. Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht) der Fall. Prinzipiell handelt es sich um eine Erweiterung der Integralrechnung mit einer skalaren Funktion und nur einer Integrationsvariablen.
Zur Herleitung des Linienintegrals wird exemplarisch eine von zwei Variablen abhängige Funktion betrachtet, die entlang einer Kurve zwischen den Punkten und integriert werden soll (siehe Abbildung). Hierzu wird die Kontur zunächst in Teilstücke zerlegt. Dabei wird die Länge des -ten Teilstücks mit bezeichnet. Auf einem solchen -ten Teilstück kann der jeweilige Funktionswert als näherungsweise konstant angenommen werden. Dadurch lässt sich ein Näherungswert für das Linienintegral dadurch angeben, dass die Produkte der Funktionswerte mit den Längen der Teilstücke aufsummiert werden:
Es wurde bereits beschrieben, dass die Funktionswerte auf den Teilstücken als näherungsweise konstant angenommen werden können. Die Näherung ist dabei umso genauer, je kleiner die Teilstücke gewählt werden. Daher wird zu infinitesimal kleinen Teilstücken () übergangen, von denen es dann unendlich viele gibt (). Auf diese Weise erhält man das entsprechende Linienintegral:
Für eine möglichst einfache Lösung der Integrale bietet sich die Verwendung eines auf den jeweiligen Anwendungsfall „zugeschnittenen“ Koordinatensystems an.
Beispiel: Berechnung der Gesamtladung einer Linienladung
In diesem Beispiel werden verschiedene Fälle einer gegebenen Linienladung betrachtet. Bei einer Linienladung handelt es sich um eine Ladungsanordnung entlang einer Kontur. Dabei gibt die Linienladungsdichte die Ladungsmenge pro Streckenabschnitt an. Um die gesamte Ladung entlang einer Kontur berechnen zu können, muss die Linienladungsdichte entlang der jeweiligen Kontur integriert werden: Fall 1: Konstante und geradlinig angeordnete Linienladung Bei einer konstanten und entlang der -Achse geradlinig angeordneten Linienladung berechnet sich die Gesamtladung mit (vgl. Wegelemente) wie folgt: Aufgrund der konstanten Linienladungsdichte kann die Gesamtladung folglich auch sofort ohne die Integration angegeben werden. 2.Fall: Ortsabhängige und geradlinig angeordnete Linienladung Etwas schwieriger wird es, wenn nicht konstant, sondern eine Funktion ist, die von der Integrationsvariable (in diesem Fall x) abhängt. Gegeben sei: Dadurch muss die Funktion über die Länge der Linienladung integriert werden, um den Wert der Gesamtladung zu ermitteln. Formal wird dabei einfach die Funktion für eingesetzt und integriert, dabei kann a als Faktor vor das Integral gezogen werden: 3.Fall Nun betrachtet man eine Linienladung in der Form eines Viertelkreisbogens. Es sei nun wieder anzunehmen, dass die Linienladung konstant ist. Man hat nun zwei Möglichkeiten, um durch Integration die Gesamtladung zu ermitteln, da so, wie die Funktion in der Abbildung dargestellt ist, sie sowohl von x als auch von y abhängt. Zunächst kann man das Parametrisieren verwenden. Dabei beschreibt man x und y durch eine einzelne neue Variable. Dies ist allerdings etwas aufwendiger, daher verwenden wir hier die Zylinderkoordinaten bzw. die Polarkoordinaten, um das System zu beschreiben, weil die Linienladung dann entlang der Koordinaten verläuft, und der Viertelkreisbogen nur noch von einer Koordinate abhängig ist. So wird die Rechnung durch Verwenden des neuen Koordinatensystems stark vereinfacht: Als ersten Schritt stellt man also den Viertelkreisbogen in Polarkoordinaten dar. Wir integrieren also, wie in der Abbildung zu sehen ist, von der positiven x-Achse, also bis zur positiven y-Achse, also . Anschließend muss das Wegelement an die neuen Koordinaten angepasst werden, da nun nicht mehr nach x integriert wird, sondern nach . Hier ergibt es sich zu: Diese Umformung ist ebenso für die Einheit wichtig. Die Ladung hat die Einheit . Weil die Linienladung aber die Einheit hat, muss die integrierte Größe die Einheit besitzen, damit die Gleichung stimmt. An vielen Stellen werden Winkel wie jedoch in Grad angegeben. Damit hier die richtige Einheit verwendet wird, benutzt man hier das Bogenmaß: Das Bogenmaß eines Winkels ist definiert als das Verhältnis der Länge des Kreisbogens b (die zu integrierende Länge) zum Radius : Mit diesen Vorbetrachten lässt sich folgendes Integral aufstellen: |
Das Linienintegral einer vektoriellen Größe
Im vorherigen ging es um die Integration skalarer Größen. Hat man aber beispielsweise ein elektrisches Feld angelegt, betrachtet man nicht nur die Stärke, sondern auch die Richtung des Feldes im Raum. Um das berücksichtigen zu können, muss die Form des Linienintegrals angepasst werden. Deswegen hat man sowohl bei der Funktion als auch bei dem Wegelement eine vektorielle Größe, da es in diesem Beispiel den Unterschied zwischen einer positiven, negativen oder gar keiner Spannung machen kann.
Zur Bestimmung des Linienintegrals einer vektoriellen Größe kann ebenso wie bei skalaren Größen das Integral über die infinitesimalen Wegelemente berechnet werden. Man verwendet nun wieder eine Kontur C, die zwischen den Punkten und verläuft. Allerdings sind diesmal, die Wegelemente gerichtete Größen. Auch hier wird die Kontur in n Teilstücke mit i = 1 ... n unterteilt und ein Punkt mit den Koordinaten einer vektoriellen Größe zugeordnet. Um nun das Linienintegral berechnen zu können, muss das Skalarprodukt zwischen jedem Wegelement, dem dazugehörigen Funktionswert und dem eingeschlossenem Winkel gebildet werden.
Summiert man nun ebenfalls alle Skalarprodukte auf und bildet gemäß der Gleichung des Linienintegrals der skalaren Größen den Grenzwert, erhält man für das Linienintegral einer vektoriellen Größe folgende Form:
Beispiel: Spannung im elektrischen Feld
Ein häufiger Anwendungsfall des Linienintegrals ergibt sich bei der Bestimmung der Spannung im elektrischen Feld. Bildet man beispielsweise eine Kontur gemäß der Abbildung in einem homogenen, gleichgerichtetem elektrischen Feld erhält man folgendes Ringintegral: Um dieses Integral zu lösen, können wir vier Fälle unterscheiden: Nun unterteilt man das Integral in diese vier Bereiche und bildet jeweils das Skalarprodukt: Daraus folgt: Durch die eingeschlossenen Rechten Winkel in zwei Fällen ergibt das Skalarprodukt Null und es bleibt nur noch übrig: Da hier die Strecken zwischen und und und betragsmäßig gleich sind, folgt aus dieser Betrachtung: Dies ist eine wichtige Erkenntnis im elektrostatischen Feld: Das Ringintegral über ein homogenes, elektrisches Feld ergibt immer Null. |
Beispiel: Rollende Kugel in einer Laufrinne
Gesucht ist die Arbeit
die an einer Kugel verichtet wird, welche infolge einer Kraft eine Laufrinne hinunterrollt. Die Laufrinne ist halbkreisförmig und spannt sich vom Anfangspunkt bis zum Endpunkt . Dabei wirkt eine ortsunabhängige, konstante Kraft in Richtung der Verbindungslinie der beiden Punkte und . Der Bewegungsvorgang wird im zylindrischen Koordinatensystem mit dem Ursprung im Mittelpunkt des Kreises beschrieben, dadurch bewegt sich die Kugel in Richtung wachsender -Werte auf einem Halbkreis mit konstantem Radius . So ist auf dem Halbkreis der Winkel zwischen der Bewegungsrichtung und der Kraftrichtung bekannt, da die vorgegebene Kraft sich am einfachsten mit einer kartesischen Komponente beschreiben lässt. Um die geleistete Arbeit W zu bestimmen, muss die Kraft in Komponenten zerlegt werden, da nur die in Richtung der Bewegung wirkende Kraftkomponente einen Beitrag zur Arbeit leistet. Eine Komponente wirkt in Richtung und eine weitere senkrecht dazu in Richtung . Nun benötigt man das Skalarprodukt aus der vektoriellen Kraft und dem gerichteten Wegelement, dessen Integration vom Anfangspunkt bis zum Endpunkt mit der obigen Gleichung das Ergebnis liefert: |
Multimediale Lehrmaterialien
http://www.dangries.com/Flash/IntegralSketch/IntegralSketch.html Applet zum Verständnis von Integralen http://www.uni-due.de/~matj00/bauws10/VorlBau100518.html Applet zum Verständnis von Integralen http://mathdl.maa.org/images/upload_library/4/vol4/kaskosz/antapp.html Applet: verschiedener Kurvenbeispiele und ihre Integrale (engl.) |
Hilfreiche Links
http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Interaktives Arbeitsblatt zur Integration http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.) |
Literatur
- Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
- Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
- Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
- Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg
- TU Freiberg, "Parameter- und Kurvenintegrale", Script, 2010
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