Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht
To-do:
- Formulierungen überarbeiten (insbes. fett und diejenigen in der Tabelle)
- Angeben, dass kartesisches System immer als Referenz dient
- Beschreibung von Teilelementen, die sich ja nach Intervall der einzelnen Koordinaten ergeben
- Einführung überarbeiten.
- Texte in Übersicht Ok.
- Johanna: Grafiken durch eigene Skriptgrafiken austauschen
Einführung [neu]
Koordinatensysteme werden zur eindeutigen Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen (z. B. Ladungen oder stromführende Leiter) im Raum verwendet. Weiterhin lassen sich ortsabhängige Größen wie beispielsweise elektrische und magnetische Felder beschreiben. In der Lehrverstaltung sind neben den bekannten kartesischen Koordinaten vor allem Zylinder- und Kugelkoordinaten von Bedeutung. In der Regel ist es vorteilhaft, ein auf die jeweilige Problemstellung „zugeschnittenes“ Koordinatensystem zu verwenden. Das elektrische Feld einer Punktladung ist beispielsweise radialsymmetrisch und der Betrag hängt ausschließlich vom Abstand
ab, so dass sich die Verwendung von Kugelkoordinaten anbietet. Mit Hilfe eines entsprechenden Einheitsvektors lässt sich die elektrische Feldstärke wie folgt angeben:
Die äquivalente Beschreibung in kartesischen Koordinaten ist weniger kompakt und lautet wie folgt (vgl. Formelsammlung Koordinatensysteme):
Mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen können auch die aus dem Kugelkoordinatensystem stammenden Winkel und
ersetzt werden, so dass die Gleichung nur noch von
,
und
abhängt. Dadurch wird der Ausdruck noch umfangreicher. Eine „geschickte“ Wahl des Koordinatensystems kann außerdem zu erheblichen Vereinfachungen führen, beispielsweise bei der Bestimmung von Feldgrößen auf Basis von Mehrfachintegralen.
Einführung [alt]
Da unterschiedliche Problemstellungen unterschiedlich komplexe Darstellungen erfordern, ist es sinnvoll verschiedene Koordinatensysteme zu verwenden (Argumentation unschlüssig). Möchte man beispielsweise die Kraftwirkung mehrerer Punktladungen aufeinander berechnen, verwendet man ein Koordinatensystem, um die Punktladungen in relativer Position zueinander angeben zu können (besser: die Positionen werden relativ zueinander angegeben, nicht die Punktladungen selbst). Dafür wird, egal (besser: unabhängig davon) welches Koordinatensystem verwendet wird, immer ein fester Bezugspunkt gewählt. An welcher Stelle sich der Bezugspunkt befindet ist willkürlich. Wählt man diesen Bezugspunkt geschickt, vereinfacht sich dadurch jedoch die anschließende Berechnung (und wann liegt eine geschickte Wahl vor? -> z. B. wenn im Ursprung).
Mithilfe von Koordinatensystemen kann die Position von einem Punkt P durch einen Vektor beschrieben werden, der ausgehend von einem gewählten Bezugspunkt zu diesem Punkt P zeigt. Der Vektor wird dann entweder mit Hilfe der Koordinatendarstellung oder der Komponentendarstellung beschrieben. Die Komponenten werden dabei in der Regel so gewählt, dass sie zueinander orthogonal sind, also senkrecht aufeinander stehen (richtig?).
Bei den drei in den folgenden Abschnitten betrachteten Fällen, nämlich den kartesischen Koordinaten, den Zylinderkoordinaten und den Kugelkoordinaten, handelt es sich um orthogonale Koordinatensysteme. Dabei stehen die Einheitsvektoren ,
,
senkrecht aufeinander und weisen immer in die Richtung wachsender Koordinatenwerte. Setzt man die Einheitsvektoren in das Skalarprodukt ein, ergibt sich durch die Orthogonalität automatisch (Formulierung):
Außerdem sind die hier (wo ist hier?) behandelten Koordinatensysteme so genannte Rechtssysteme, das heißt, dass das Vektorprodukt zweier aufeinander folgender Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor ergeben muss, dies kann auch durch die Rechte Hand Regel1 veranschaulicht werden:
Übersicht
Kartesische Koordinaten
Bei dem kartesischen Koordinatensystem wird ein Punkt |
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Zylinderkoordinaten
Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt |
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Kugelkoordinaten
Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt |
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