Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 20. August 2012, 21:40 Uhr

To-do:

• Formulierungen überarbeiten (insbes. fett und diejenigen in der Tabelle)
• Angeben, dass kartesisches System immer als Referenz dient
• Beschreibung von Teilelementen, die sich ja nach Intervall der einzelnen Koordinaten ergeben, z. B. Kugelausschnitt -> In die Einzelartikel! -> Applets!
• Einführung überarbeiten.
• Texte in Übersicht Ok.
• Johanna: Grafiken durch eigene Skriptgrafiken austauschen

Einführung

Koordinatensysteme werden zur eindeutigen Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen (z. B. Ladungen oder stromführende Leiter) im Raum verwendet und ermöglichen erst die eindeutige Formulierung von Vektoren. Weiterhin lassen sich ortsabhängige Größen wie beispielsweise elektrische und magnetische Felder beschreiben. In der Lehrverstaltung sind neben den bekannten kartesischen Koordinaten besonders Zylinder- und Kugelkoordinaten von Bedeutung. In der Regel ist es vorteilhaft, ein auf die jeweilige Problemstellung „zugeschnittenes“ Koordinatensystem zu verwenden. Das elektrische Feld einer Punktladung ist beispielsweise radialsymmetrisch und der Betrag hängt ausschließlich vom Abstand ab, so dass sich die Verwendung von Kugelkoordinaten anbietet. Mit Hilfe eines entsprechenden Einheitsvektors lässt sich die elektrische Feldstärke wie folgt angeben:

Die äquivalente Beschreibung in kartesischen Koordinaten ist weniger kompakt und lautet wie folgt (vgl. Formelsammlung Koordinatensysteme):

Mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen können auch die aus dem Kugelkoordinatensystem stammenden Winkel und ersetzt werden, so dass die Gleichung nur noch von , und abhängt. Dadurch wird der Ausdruck noch umfangreicher. Eine „geschickte“ Wahl des Koordinatensystems kann außerdem zu erheblichen Vereinfachungen führen, beispielsweise bei der Bestimmung von Feldgrößen auf Basis von Mehrfachintegralen. Diesbezüglich ist es oft vorteilhaft, wenn der Koordinatenursprung – sofern frei wählbar – passend zu den Symmetrieeigenschaften einer Anordnung positioniert wird.

Bei den vorgestellten Koordinatensystemen handelt es sich um orthogonale Koordinatensysteme. Dabei stehen die in Richtung wachsender Koordinatenwerte zeigenden Einheitsvektoren senkrecht aufeinander. Werden diese allgemein mit , und bezeichnet, so folgt mit dem Skalarprodukt:

Da die Koordinatenlinien bei den Zylinder- und Kugelkoordinaten nicht geradlinig verlauf, werden diese als krummlinige orthogonale Koordinatensysteme bezeichnet. Bei dem kartesischen Koordinatensystem handelt es sich also um ein geradliniges orthogonales Koordinatensystem. Darüber hinaus handelt es sich in der Lehrveranstaltung um Rechtssystem (prinzipiell sind auch andere Konventionen möglich), so dass das Vektorprodukt von zwei aufeinander folgenden Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor liefert:

Da unterschiedliche Problemstellungen unterschiedlich komplexe Darstellungen erfordern, ist es sinnvoll verschiedene Koordinatensysteme zu verwenden (Argumentation unschlüssig). Möchte man beispielsweise die Kraftwirkung mehrerer Punktladungen aufeinander berechnen, verwendet man ein Koordinatensystem, um die Punktladungen in relativer Position zueinander angeben zu können (besser: die Positionen werden relativ zueinander angegeben, nicht die Punktladungen selbst). Dafür wird, egal (besser: unabhängig davon) welches Koordinatensystem verwendet wird, immer ein fester Bezugspunkt gewählt. An welcher Stelle sich der Bezugspunkt befindet ist willkürlich. Wählt man diesen Bezugspunkt geschickt, vereinfacht sich dadurch jedoch die anschließende Berechnung (und wann liegt eine geschickte Wahl vor? -> z. B. wenn im Ursprung).

Mithilfe von Koordinatensystemen kann die Position von einem Punkt P durch einen Vektor beschrieben werden, der ausgehend von einem gewählten Bezugspunkt zu diesem Punkt P zeigt. Der Vektor wird dann entweder mit Hilfe der Koordinatendarstellung oder der Komponentendarstellung beschrieben. Die Komponenten werden dabei in der Regel so gewählt, dass sie zueinander orthogonal sind, also senkrecht aufeinander stehen (richtig?).

Bei den drei in den folgenden Abschnitten betrachteten Fällen, nämlich den kartesischen Koordinaten, den Zylinderkoordinaten und den Kugelkoordinaten, handelt es sich um orthogonale Koordinatensysteme. Dabei stehen die Einheitsvektoren , , senkrecht aufeinander und weisen immer in die Richtung wachsender Koordinatenwerte. Setzt man die Einheitsvektoren in das Skalarprodukt ein, ergibt sich durch die Orthogonalität automatisch (Formulierung):

Außerdem sind die hier (wo ist hier?) behandelten Koordinatensysteme so genannte Rechtssysteme, das heißt, dass das Vektorprodukt zweier aufeinander folgender Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor ergeben muss, dies kann auch durch die Rechte Hand Regel1 veranschaulicht werden:

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Übersicht

Kartesische Koordinaten Bei dem kartesischen Koordinatensystem wird ein Punkt im Raum durch die drei Koordinaten , und beschrieben. Die Koordinatenachsen sind geradlinig und orthogonal zueinander angeordnet, so dass diese ein Rechtssystem bilden. Der Schnittpunkt der Achsen wird Koordinatenursprung genannt. Die Einheitsvektoren zeigen immer in die Richtung der jeweils zugehörigen Achse und in Richtung wachsender Koordinatenwerte.		Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt im Raum durch die drei Koordinaten , und beschrieben. Dabei bleibt die -Achse des kartesischen Koordinatensystems erhalten. (je nach Quelle auch als bezeichnet) gibt den Abstand zur -Achse an und bezeichnet den Winkel zum betrachteten Punkt. Dabei wird ausgehend von der positiven -Achse in Richtung der positiven -Achse gezählt. Die Richtung der Einheitsvektoren und hängt von der Position des betrachteten Punktes ab. Betrachtet man ausschließlich die --Ebene ohne die -Achse, so handelt es sich um Polarkoordinaten.		Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt im Raum durch die drei Koordinaten , und beschrieben. Dabei bezeichnet den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. Der Winkel wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt, also ausgehend von der positiven -Achse in Richtung der positiven -Achse. gibt den Winkel zwischen der positiven -Achse und dem vom Urpsprung zum betrachteten Punkt zeigenden Ortsvektor an. Die Richtung der Einheitsvektoren , und hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Alle Punkte mit identischem liegen auf einem „Längengrad” und Punkte mit identischem liegen auf einem „Breitengrad“.		Kugelkoordinaten