Volumenelemente: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 29. August 2012, 22:51 Uhr

Infinitesimale Volumenelemente sind beliebig kleine Teilelemente eines Volumens, das meist mit $V$ bezeichnet wird. Volumenelemente werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Volumenintegralen benötigt. Prinzipiell handelt es sich um eine konsequente Fortsetzung der Beschreibung infinitesimaler Weg- und Flächenelemente. Infinitesimale Volumenelemente werden meist mit $\mathrm{d}V$ bezeichnet.

Da einem Volumen keine Richtung zugeordnet werden kann, tritt dieses Element immer nur als Betrag auf.

Ein infinitesimales Volumenelement ergibt sich gemäß der bekannten Regel „Grundfläche multipliziert mit der Höhe“, wobei die Grundfläche nun ein infinitesimales Flächenelement und die Höhe ein infinitesimales Wegelement darstellt. Somit ergibt sich ein infinitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten wie folgt:

\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

In der nachfolgenden Abbildung wird die Bestimmung eines infinitesimalen Volumenelements in Zylinderkoordinaten verdeutlicht:

Im Artikel Flächenelemente wurde bereits die Bestimmung einer infinitesimalen Kreisringfläche beschrieben. Die Fläche muss nun noch mit dem infinitesimalen Wegstück $\mathrm{d}z$ (entspricht der „Höhe“) multipliziert werden, so dass hier folgt:

\mathrm{d}V=\underbrace{\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\rho}_{\mathrm{d}A}\mathrm{d}z

Ein Volumenelement in Kugelkoordinaten ergibt sich durch eine analoge Vorgehensweise, wobei hier nun mehrere gekrümmte Konturelemente zu berücksichtigen sind. Die nachfolgende Grafik verdeutlicht die Vorgehensweise:

Eine Übersicht dieser und weiterer Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der Formelsammlung Koordinatensysteme.

Beispiel: Bestimmung der Gesamtladung bei gegebener Raumladungsdichte

Volumenelement in kartesischen Koordinaten

In diesem Beispiel ist eine konstante Raumladungsdichte $\rho$ in einem Quader mit den Kantenlängen $a$ , $b$ und $c$ gegeben. Die Raumladungsdichte beschreibt die Ladungsmenge pro Volumen. Daher muss, um die Gesamtladung $Q$ zu bestimmen, über das Volumen des Quaders integriert werden:

Q=\int_V\rho\mathrm{d}V

Ein Volumenelement in kartesischen Koordinaten wird wie folgt beschrieben:

\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

Es kann direkt in die Gleichung eingesetzt und das Integral gelöst werden. Da die Raumladungsdichte $\rho$ hier konstant ist, kann $\rho$ vor das Integral geschrieben werden:

Q=\int_0^a\int_0^b\int_0^c \rho\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\rho\int_0^a\int_0^b\int_0^c\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

Damit folgt für die Gesamtladung:

Q=\rho\cdot a\cdot b\cdot c=\rho\cdot V

Beispiel: Volumenelement einer Kugel

Raumladung einer Kugel

Im zweiten Beispiel wird eine eine kugelförmige und konstante Raumladungsdichte $\rho$ mit dem Radius $R$ betrachtet. Um in diesem Fall die Gesamtladung $Q$ bestimmen zu können, muss über das Volumen der Kugel integriert werden. In diesem Fall bietet sich aufgrund der Symmetrie die Berechnung in Kugelkoordinaten an:

Q=\int_V\rho\,\mathrm{d}V

Um über das gesamte Kugelvolumen zu integrieren, müssen die Integrationsgrenzen wie folgt gewählt werden (vgl. Kugelkoordinaten).

0\leq r \leq R

0\leq\varphi\leq 2\pi

0\leq\vartheta\leq\pi

Außerdem muss das Differntial in Kugelkoordinaten angegeben werden:

\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r

Durch Einsetzen folgt:

Q=\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot \tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta

Da es sich bei $\rho$ um eine konstante handelt, kann man diese Größe vor das Integral geschrieben werden und es folgt:

Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^3}{3}\right|_0^R=\rho\underbrace{\frac{4\pi R^3}{3}}_{V_{\text{Kugel}}}

Somit wird die Raumladungsdichte einfach mit dem Volumen einer Kugel mit dem Radius $R$ multipliziert. Weitere Hinweise zur Lösung solcher Integrale finden sich im Artikel zur Lösung von Mehrfachintegralen.

Multimediale Lehrmaterialien

http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073451342/student_view0/chapter13/section6/cylindrical_coordinates__app_.html Darstellung von infinitesimalen Volumenelementen in Zylinderkoordinaten (engl.)

Hilfreiche Links

http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.)

Literatur

Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg

← Zurück: Flächenelemente

Übersicht: Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente

Vorwärts: Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente →

@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 [[Datei:Volumenelement_Kugel.svg|600px|Volumenelement einer Kugel]]
 Eine Übersicht dieser und weiterer Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der [[Formelsammlung Koordinatensysteme]].
@@ Zeile 68: / Zeile 67: @@
 |Inhalt=
 [[Datei:Raumladung_einer_Kugel.svg|250px|thumb|right|Raumladung einer Kugel]]
-Im zweiten Beispiel wird eine eine kugelförmige, konstante Raumladungsdichte <math>\rho</math> mit Radius '''R''' betrachtet. Um nun die gesamte Ladung zu bestimmen, muss über das Volumen der Kugel integriert werden. In diesem Fall bietet sich aufgrund der Symmetrie die Berechnung in [[Kugelkoordinaten]] an:
+Im zweiten Beispiel wird eine eine kugelförmige und konstante Raumladungsdichte <math>\rho</math> mit dem Radius <math>R</math> betrachtet. Um in diesem Fall die Gesamtladung <math>Q</math> bestimmen zu können, muss über das Volumen der Kugel integriert werden. In diesem Fall bietet sich aufgrund der Symmetrie die Berechnung in [[Kugelkoordinaten]] an:
+:<math>
-:<math>Q=\int_V\rho\mathrm{d}V</math>
+Q=\int_V\rho\,\mathrm{d}V
-Um über die gesamte Kugel zu integrieren, muss man die Integrationsgrenzen  korrekt wählen. Da die gesamte Kugel betrachtet wird, muss die maximalen Ausdehnungen der Kugelkoordinaten für die Winkel <math>\theta</math> und <math>\varphi</math> gewählt werden, der Radius ergibt sich aus der Anordnung zu <math> r_{max}=R</math>:
+</math>
+Um über das gesamte Kugelvolumen zu integrieren, müssen die Integrationsgrenzen wie folgt gewählt werden (vgl. [[Kugelkoordinaten]]).
+:<math>0\leq r \leq R</math>
 :<math>0\leq\varphi\leq 2\pi</math>
 :<math>0\leq\vartheta\leq\pi</math>
-Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinaten verwendet werden. Dies ergibt sich aus der Symmetrie, zu:
+Außerdem muss das Differntial in Kugelkoordinaten angegeben werden:
+:<math>
+\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r
+</math>
-:<math>\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r</math>
+Durch Einsetzen folgt:
+:<math>
+Q=\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot \tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta
+</math>
+Da es sich bei <math>\rho</math> um eine konstante handelt, kann man diese Größe vor das Integral geschrieben werden und es folgt:
-Eingesetzt folgt daraus:
+:<math>
-:<math>Q=\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot \tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta</math>
+Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^3}{3}\right|_0^R=\rho\underbrace{\frac{4\pi R^3}{3}}_{V_{\text{Kugel}}}
+</math>
-Da <math>\rho</math> homogen ist, also unabhängig von dem Ort, kann man die Konstante vor das Integral ziehen und das Integral dann lösen:
+Somit wird die Raumladungsdichte einfach mit dem Volumen einer Kugel mit dem Radius <math>R</math> multipliziert. Weitere Hinweise zur Lösung solcher Integrale finden sich im Artikel zur [[Lösung vektorieller Mehrfachintegrale|Lösung von Mehrfachintegralen]].
-:<math>Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^3}{3}\right|_0^R=\rho\frac{4\pi R^3}{3}</math>
-Dies enspricht abgesehen von der Konstante  <math>\rho</math>  dem Volumen einer Kugel.
 }}

Volumenelemente: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 29. August 2012, 22:51 Uhr

Literatur

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Mehr

Suche

Navigation

Werkzeuge