Kartesische Koordinaten

To-do:

• Formulierungen überarbeiten

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Vektorielles Wegelement

Das Kartesische Koordinatensystem

Das kartesische Koordinatensystem ist das bekannteste Koordinatensystem. Dabei werden die geradlinig und orthogonal (rechtwinklig) zueinander verlaufenden Koordinatenachsen als $x$-, $y$- und $z$-Achse bezeichnet. Den Schnittpunkt dieser Achsen nennt man Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Die Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}$, $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}$, $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}$ verlaufen jeweils parallel zu den zugehörigen Achsen und zeigen in Richtung wachsender Koordinatenwerte. Im Gegensatz zu Zylinder- und Kugelkoordinaten (dabei handelt es sich um krummlinige orthogonale Koordinatensysteme) zeigen die Einheitsvektoren unabhängig vom betrachteten Punkt im Raum immer in dieselbe Richtung.

Eine wichtige Eigenschaft des kartesischen Koordinatensystems besteht darin, dass die Einheitsvektoren ein Rechtssystem bilden, also gemäß der Rechten-Hand-Regel-II miteinander verknüpft sind. Dies trifft auch auf Zylinder- und Kugelkoordinaten zu.

Das kartesische Koordinatensystem wird nicht nur zur Beschreibung von Punkten oder Objekten im Raum, sondern auch zur Darstellung von Funktionsverläufen verwendet. So kann der zeitliche Verlauf einer Spannung dadurch dargestellt werden, dass diese auf der Ordinate ($y$-Achse) und die Zeit auf der Abszisse ($x$-Achse) angegeben wird.

Eine der wichtigsten Eigenschaften des kartesischen Koordinatensystems ist, dass die Koordinatenachsen, die häufig auch als x-, y-, und z-Achse beschrieben werden, orthogonal zueinander stehen. Im Vergleich zu anderen Koordinatensystemen zeigen hier die Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}$, $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}$, $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}$ immer in die selbe Richtung und sind parallel zu den Achsen. Außerdem bilden die Achsen zueinander ein Rechtssystem.

Zur Beschreibung eines Rechtssystems gibt es verschiedene Merkregeln, zum Beispiel: Hält man die Hand in den Koordinatenursprung (dort, wo sich die Koordinatenachsen schneiden), kann man mit Hilfe der Rechten Handregel1 die Richtungen der Einheitsvektoren bestimmen. Oder man nutzt die Rechtsschraubenregel, um die Position der Einheitsvektoren zu veranschaulichen, indem man die positive x-Achse auf dem kürzesten Weg in Richtung der positiven y-Achse dreht (d. h. gegen den Uhrzeigersinn). Verschiebt man gleichzeitig die Richtung in die positive z-Achse, erhält man eine Rechtsschraube.

Als Koordinatenflächen erhält man die drei orthogonal zueinander angeordneten Ebenen x = const. (entspricht der y-z-Ebene), y = const. (entspricht der x-z-Ebene) und z = const. (entspricht der x-y-Ebene).

Der Ortsvektor $\vec{\textbf{r}}$ des Raumpunkts P wird, bezogen auf den Koordinatenursprung 0, mit Hilfe der Länge $r = \left| \vec{\textbf{r}} \right|$ beschrieben:

$\begin{align} \vec{\textbf{r}} & = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \mathrm{x} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \mathrm{y} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z} && \text{mit} & r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{\mathrm{x}^2 + \mathrm{y}^2 + \mathrm{z}^2} \end{align}$

Für die meisten Kurvenintegrale wird das differentielle Wegelement $\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}$ benötigt. Dabei ist das differentielle Wegelement, die differentielle Änderung des Ortsvektors beim Fortschreiten vom Punkt P(x,y,z) um die elementaren Strecken dx, dy, dz. Dadurch wird die Richtung der Kurve in einem bestimmten Punkt angegeben.

$\mathrm{d} \vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \mathrm{dx} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \mathrm{dy} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{dz}$

Die Länge des Wegelements ergibt sich durch die Berechnung des Betrags des differentiellen Wegelements:

$\left| \mathrm{d} \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{(\mathrm{dx})^2 + (\mathrm{dy})^2 + (\mathrm{dz})^2}$

Für Umrechnungen zwischen den verschiedenen Koordinatensystemen siehe Formelsammlung Koordinatensysteme.

Multimediale Lehrmaterialien

http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/applet_b_kartes.html Applet: Kartesische Koordinaten im zweidimensionalem Raum http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/applet_b_schief.html Applet: Schiefwinkliges Koordinatensystem im zweidimensionalem Raum http://www.kleemannschule.de/de/unterricht/mathematik/punkt3D.html Applet: Ein Punkt im dreidimensionalem Raum mit seinen Ortsvektoren

Hilfreiche Links

http://cnx.org/content/m13600/latest/ Übersicht zu verschiedenen Koordinatensystemen

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