Kartesische Koordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

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Das kartesische Koordinatensystem ist das bekannteste Koordinatensystem. Dabei werden die '''geradlinig''' und '''orthogonal''' (rechtwinklig) zueinander verlaufenden Koordinatenachsen als <math>x</math>-, <math>y</math>- und <math>z</math>-Achse bezeichnet. Den Schnittpunkt dieser Achsen nennt man Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Die Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}</math> verlaufen jeweils parallel zu den zugehörigen Achsen und zeigen in Richtung wachsender Koordinatenwerte. Im Gegensatz zu [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] (dabei handelt es sich um krummlinige orthogonale Koordinatensysteme) zeigen die Einheitsvektoren unabhängig vom betrachteten Punkt im Raum immer in dieselbe Richtung.
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Das kartesische Koordinatensystem ist das bekannteste Koordinatensystem. Dabei werden die '''geradlinig''' und '''orthogonal''' (rechtwinklig) zueinander verlaufenden Koordinatenachsen als <math>x</math>-, <math>y</math>- und <math>z</math>-Achse bezeichnet. Den Schnittpunkt dieser Achsen nennt man Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Die [[Einheitsvektoren]] <math>\vec{\textbf{e}}_x</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_y</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_z</math> verlaufen jeweils parallel zu den zugehörigen Achsen und zeigen in Richtung wachsender Koordinatenwerte. Im Gegensatz zu [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] (dabei handelt es sich um krummlinige orthogonale Koordinatensysteme) zeigen die Einheitsvektoren ''unabhängig vom betrachteten Punkt'' im Raum immer in dieselbe Richtung.
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Eine wichtige Eigenschaft des kartesischen Koordinatensystems besteht darin, dass die [[Einheitsvektoren]] ein Rechtssystem bilden, also gemäß der [[Rechte-Hand-Regel|Rechten-Hand-Regel-II]] miteinander verknüpft sind. Dies trifft auch auf [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] zu.
  
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Eine wichtige Eigenschaft des kartesischen Koordinatensystems besteht darin, dass die Einheitsvektoren ein Rechtssystem bilden, also gemäß der [[Rechte-Hand-Regel|Rechten-Hand-Regel-II]] miteinander verknüpft sind. Dies trifft auch auf [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] zu.
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Das kartesische Koordinatensystem wird nicht nur zur Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen im Raum, sondern auch zur Darstellung von Funktionsverläufen verwendet. So kann zum Beispiel der zeitliche Verlauf einer Spannung dadurch dargestellt werden, dass diese auf der Ordinate (entspricht der <math>y</math>-Achse) und die zugehörige Zeit auf der Abszisse (entspricht der <math>x</math>-Achse) angegeben wird.
  
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Das kartesische Koordinatensystem wird nicht nur zur Beschreibung von Punkten oder Objekten im Raum, sondern auch zur Darstellung von Funktionsverläufen verwendet. So kann zum Beispiel der zeitliche Verlauf einer Spannung dadurch dargestellt werden, dass diese auf der Ordinate (<math>y</math>-Achse) und die zugehörige Zeit auf der Abszisse (<math>x</math>-Achse) angegeben wird.
 
 
Hält man jeweils eine Koordinate konstant und lässt die anderen beiden beliebige Werte annehmen, so erhält man die orthogonal zueinander angeordneten Ebenen der jeweils verbleibenden Koordinatenachsen:
 
Hält man jeweils eine Koordinate konstant und lässt die anderen beiden beliebige Werte annehmen, so erhält man die orthogonal zueinander angeordneten Ebenen der jeweils verbleibenden Koordinatenachsen:
 
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Der [[Ortsvektor]] <math>\vec{\textbf{r}}</math> des Raumpunkts ''P'' wird, bezogen auf den Koordinatenursprung 0, mit Hilfe der [[Einführung in die Vektorrechnung|Länge]] <math>r = \left| \vec{\textbf{r}} \right|</math> beschrieben:
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Zur Beschreibung eines Punktes <math>P</math> im Raum kann ein [[Ortsvektor]] <math>\vec{\textbf{r}}</math> verwendet werden, der die Position des Punktes in Bezug zum Koordinatenursprung angibt (siehe Abbildung). Der Ortsvektor hat die Länge <math>r = \left| \vec{\textbf{r}} \right|</math> und wird wie folgt beschrieben:
 
:<math>
 
:<math>
 
\begin{align}
 
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\vec{\textbf{r}} & =
 
\vec{\textbf{r}} & =
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\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \mathrm{x} +
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\vec{\textbf{e}}_x x +
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\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \mathrm{y} +
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\vec{\textbf{e}}_y y +
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\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}
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\vec{\textbf{e}}_z z
 
&& \text{mit}  
 
&& \text{mit}  
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& r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{\mathrm{x}^2 + \mathrm{y}^2 + \mathrm{z}^2}
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& r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}
 
\end{align}
 
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Für die meisten Kurvenintegrale wird das [[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente|differentielle Wegelement]] <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}</math> benötigt. Dabei ist das differentielle Wegelement, die differentielle Änderung des Ortsvektors beim Fortschreiten vom Punkt P(x,y,z) um die elementaren Strecken dx, dy, dz. Dadurch wird die ''Richtung'' der Kurve in einem bestimmten Punkt angegeben.  
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Eine differentielle ([[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente|infinitesimale]]) Änderung des Ortsvektors <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}</math> ausgehend vom Punkt <math>P</math> um die Strecken <math>\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z</math> wird wie folgt beschrieben (vgl. Abbildung):
 
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\mathrm{d} \vec{\textbf{r}} =
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\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} =
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\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \mathrm{dx} +
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\vec{\textbf{e}}_x \mathrm{d}x +
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\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \mathrm{dy} +
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\vec{\textbf{e}}_y \mathrm{d}y +
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\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{dz}
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\vec{\textbf{e}}_z \mathrm{d}z
 
</math>
 
</math>
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Die Beschreibung solcher Wegelemente ist zum Beispiel bei der Berechnung von [[Das Linienintegral|Linienintegralen]] erforderlich.
  
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Die Länge des Wegelements ergibt sich durch die Berechnung des Betrags des differentiellen Wegelements:
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Die Länge des Wegelements ergibt sich durch die Berechnung des zugehörigen Betrags:
 
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\left| \mathrm{d} \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{(\mathrm{dx})^2 + (\mathrm{dy})^2 + (\mathrm{dz})^2}
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\left| \mathrm{d} \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2}
 
</math>
 
</math>
  
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Die Umrechnung der Koordinaten und Einheitsvektoren zwischen den verschiedenen Koordinatensystemen sind in der [[Formelsammlung Koordinatensysteme]] angegeben. Das kartesische Koordinatensystem wird immer auch als Referenz (Bezug) bei der Verwendung von [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] verwendet. So wird beispielsweise der Winkel <math>\varphi</math> in Zylinderkoordinaten ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse gezählt.
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Die Koordinaten und [[Einheitsvektoren]] der verschiedenen Koordinatensysteme können ineinander umgerechnet werden, siehe hierzu [[Formelsammlung Koordinatensysteme]]. Das kartesische Koordinatensystem wird immer auch als Referenz (Bezug) bei der Verwendung von [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] verwendet. So wird beispielsweise der Winkel <math>\varphi</math> in Zylinderkoordinaten ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse gezählt.
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http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/applet_b_kartes.html '''Applet''': Kartesische Koordinaten im zweidimensionalem Raum
 
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http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/applet_b_schief.html '''Applet''': Schiefwinkliges Koordinatensystem im zweidimensionalem Raum
 
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http://www.kleemannschule.de/de/unterricht/mathematik/punkt3D.html '''Applet''': Ein Punkt im dreidimensionalem Raum mit seinen Ortsvektoren
 
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{{Link|Links=
 
{{Link|Links=
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http://cnx.org/content/m13600/latest/ Übersicht zu verschiedenen Koordinatensystemen
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http://cnx.org/content/m13600/latest/ Übersicht zu verschiedenen Koordinatensystemen (engl.)
 
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<noinclude>==Literatur==
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* Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
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[[Kategorie:Artikel]]
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[[Kategorie:Feedback]]

Aktuelle Version vom 9. November 2017, 15:57 Uhr

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Das Kartesische Koordinatensystem
Vektorielles Wegelement

Das kartesische Koordinatensystem ist das bekannteste Koordinatensystem. Dabei werden die geradlinig und orthogonal (rechtwinklig) zueinander verlaufenden Koordinatenachsen als x-, y- und z-Achse bezeichnet. Den Schnittpunkt dieser Achsen nennt man Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Die Einheitsvektoren \vec{\textbf{e}}_x, \vec{\textbf{e}}_y, \vec{\textbf{e}}_z verlaufen jeweils parallel zu den zugehörigen Achsen und zeigen in Richtung wachsender Koordinatenwerte. Im Gegensatz zu Zylinder- und Kugelkoordinaten (dabei handelt es sich um krummlinige orthogonale Koordinatensysteme) zeigen die Einheitsvektoren unabhängig vom betrachteten Punkt im Raum immer in dieselbe Richtung.

Eine wichtige Eigenschaft des kartesischen Koordinatensystems besteht darin, dass die Einheitsvektoren ein Rechtssystem bilden, also gemäß der Rechten-Hand-Regel-II miteinander verknüpft sind. Dies trifft auch auf Zylinder- und Kugelkoordinaten zu.

Das kartesische Koordinatensystem wird nicht nur zur Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen im Raum, sondern auch zur Darstellung von Funktionsverläufen verwendet. So kann zum Beispiel der zeitliche Verlauf einer Spannung dadurch dargestellt werden, dass diese auf der Ordinate (entspricht der y-Achse) und die zugehörige Zeit auf der Abszisse (entspricht der x-Achse) angegeben wird.

Hält man jeweils eine Koordinate konstant und lässt die anderen beiden beliebige Werte annehmen, so erhält man die orthogonal zueinander angeordneten Ebenen der jeweils verbleibenden Koordinatenachsen:

x = \text{konstant} \Rightarrow y\text{-}z\text{-Ebene}
y = \text{konstant} \Rightarrow x\text{-}z\text{-Ebene}
z = \text{konstant} \Rightarrow x\text{-}y\text{-Ebene}

Zur Beschreibung eines Punktes P im Raum kann ein Ortsvektor \vec{\textbf{r}} verwendet werden, der die Position des Punktes in Bezug zum Koordinatenursprung angibt (siehe Abbildung). Der Ortsvektor hat die Länge r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| und wird wie folgt beschrieben:

\begin{align} \vec{\textbf{r}} & = \vec{\textbf{e}}_x x + \vec{\textbf{e}}_y y + \vec{\textbf{e}}_z z && \text{mit} & r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{align}

Eine differentielle (infinitesimale) Änderung des Ortsvektors \mathrm{d}\vec{\textbf{r}} ausgehend vom Punkt P um die Strecken \mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z wird wie folgt beschrieben (vgl. Abbildung):

\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_x \mathrm{d}x + \vec{\textbf{e}}_y \mathrm{d}y + \vec{\textbf{e}}_z \mathrm{d}z

Die Beschreibung solcher Wegelemente ist zum Beispiel bei der Berechnung von Linienintegralen erforderlich.

Die Länge des Wegelements ergibt sich durch die Berechnung des zugehörigen Betrags:

\left| \mathrm{d} \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2}

Die Koordinaten und Einheitsvektoren der verschiedenen Koordinatensysteme können ineinander umgerechnet werden, siehe hierzu Formelsammlung Koordinatensysteme. Das kartesische Koordinatensystem wird immer auch als Referenz (Bezug) bei der Verwendung von Zylinder- und Kugelkoordinaten verwendet. So wird beispielsweise der Winkel \varphi in Zylinderkoordinaten ausgehend von der positiven x-Achse in Richtung der positiven y-Achse gezählt.

Hilfreiche Links

Link.png

http://cnx.org/content/m13600/latest/ Übersicht zu verschiedenen Koordinatensystemen (engl.)

Literatur

  • Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
Abgerufen von „https://getwww.uni-paderborn.de/wiki/geta/index.php?title=Kartesische_Koordinaten&oldid=7066“