Kartesische Koordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

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Das Kartesische Koordinatensystem

Vektorielles Wegelement

Das kartesische Koordinatensystem ist das bekannteste Koordinatensystem. Dabei werden die geradlinig und orthogonal (rechtwinklig) zueinander verlaufenden Koordinatenachsen als $x$ -, $y$ - und $z$ -Achse bezeichnet. Den Schnittpunkt dieser Achsen nennt man Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Die Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_x$ , $\vec{\textbf{e}}_y$ , $\vec{\textbf{e}}_z$ verlaufen jeweils parallel zu den zugehörigen Achsen und zeigen in Richtung wachsender Koordinatenwerte. Im Gegensatz zu Zylinder- und Kugelkoordinaten (dabei handelt es sich um krummlinige orthogonale Koordinatensysteme) zeigen die Einheitsvektoren unabhängig vom betrachteten Punkt im Raum immer in dieselbe Richtung.

Eine wichtige Eigenschaft des kartesischen Koordinatensystems besteht darin, dass die Einheitsvektoren ein Rechtssystem bilden, also gemäß der Rechten-Hand-Regel-II miteinander verknüpft sind. Dies trifft auch auf Zylinder- und Kugelkoordinaten zu.

Das kartesische Koordinatensystem wird nicht nur zur Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen im Raum, sondern auch zur Darstellung von Funktionsverläufen verwendet. So kann zum Beispiel der zeitliche Verlauf einer Spannung dadurch dargestellt werden, dass diese auf der Ordinate (entspricht der $y$ -Achse) und die zugehörige Zeit auf der Abszisse (entspricht der $x$ -Achse) angegeben wird.

Hält man jeweils eine Koordinate konstant und lässt die anderen beiden beliebige Werte annehmen, so erhält man die orthogonal zueinander angeordneten Ebenen der jeweils verbleibenden Koordinatenachsen:

x = \text{konstant} \Rightarrow y\text{-}z\text{-Ebene}

y = \text{konstant} \Rightarrow x\text{-}z\text{-Ebene}

z = \text{konstant} \Rightarrow x\text{-}y\text{-Ebene}

Zur Beschreibung eines Punktes $P$ im Raum kann ein Ortsvektor $\vec{\textbf{r}}$ verwendet werden, der die Position des Punktes in Bezug zum Koordinatenursprung angibt (siehe Abbildung). Der Ortsvektor hat die Länge $r = \left| \vec{\textbf{r}} \right|$ und wird wie folgt beschrieben:

\begin{align} \vec{\textbf{r}} & = \vec{\textbf{e}}_x x + \vec{\textbf{e}}_y y + \vec{\textbf{e}}_z z && \text{mit} & r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{align}

Eine differentielle (infinitesimale) Änderung des Ortsvektors $\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}$ ausgehend vom Punkt $P$ um die Strecken $\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z$ wird wie folgt beschrieben (vgl. Abbildung):

\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_x \mathrm{d}x + \vec{\textbf{e}}_y \mathrm{d}y + \vec{\textbf{e}}_z \mathrm{d}z

Die Beschreibung solcher Wegelemente ist zum Beispiel bei der Berechnung von Linienintegralen erforderlich.

Die Länge des Wegelements ergibt sich durch die Berechnung des zugehörigen Betrags:

\left| \mathrm{d} \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2}

Die Koordinaten und Einheitsvektoren der verschiedenen Koordinatensysteme können ineinander umgerechnet werden, siehe hierzu Formelsammlung Koordinatensysteme. Das kartesische Koordinatensystem wird immer auch als Referenz (Bezug) bei der Verwendung von Zylinder- und Kugelkoordinaten verwendet. So wird beispielsweise der Winkel $\varphi$ in Zylinderkoordinaten ausgehend von der positiven $x$ -Achse in Richtung der positiven $y$ -Achse gezählt.

Hilfreiche Links

http://cnx.org/content/m13600/latest/ Übersicht zu verschiedenen Koordinatensystemen (engl.)

Literatur

Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)

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+{{Navigation|before=[[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht]]|overview=[[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Orthogonale Koordinatensysteme]]|next=[[Zylinderkoordinaten]]}}
-* Formulierungen überarbeiten
+[[Image:Kartesische Koordinaten.png|miniatur|<caption>Das Kartesische Koordinatensystem</caption>]]
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+[[Image:Koordinatensysteme_Vektorielles Wegelement.jpg|miniatur|<caption>Vektorielles Wegelement</caption>]]
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-Das kartesische Koordinatensystem ist das bekannteste Koordinatensystem. Dabei werden die '''geradlinig''' und '''orthogonal''' (rechtwinklig) zueinander verlaufenden Koordinatenachsen als <math>x</math>-, <math>y</math>- und <math>z</math>-Achse bezeichnet. Den Schnittpunkt dieser Achsen nennt man Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Die Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}</math> verlaufen jeweils parallel zu den zugehörigen Achsen und zeigen in Richtung wachsender Koordinatenwerte.
+Das kartesische Koordinatensystem ist das bekannteste Koordinatensystem. Dabei werden die '''geradlinig''' und '''orthogonal''' (rechtwinklig) zueinander verlaufenden Koordinatenachsen als <math>x</math>-, <math>y</math>- und <math>z</math>-Achse bezeichnet. Den Schnittpunkt dieser Achsen nennt man Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Die [[Einheitsvektoren]] <math>\vec{\textbf{e}}_x</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_y</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_z</math> verlaufen jeweils parallel zu den zugehörigen Achsen und zeigen in Richtung wachsender Koordinatenwerte. Im Gegensatz zu [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] (dabei handelt es sich um krummlinige orthogonale Koordinatensysteme) zeigen die Einheitsvektoren ''unabhängig vom betrachteten Punkt'' im Raum immer in dieselbe Richtung.
-Möchte man das elektrische Feld zwischen zwei Platten eines Plattenkondensators '''darstellen''', verwendet man, wie bei anderen geradlinigen Anordnungen, die kartesischen Koordinaten. Sie werden nicht nur bei räumlichen Darstellung von Problemen genutzt, sondern auch bei abstrakten Größen. So kann der zeitliche Verlauf einer Spannung im kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden, dabei ist die Spannung als zeitveränderliche Größe auf der Ordinate (y-Achse) und die Zeit auf der Abszisse (x-Achse) dargestellt.
+Eine wichtige Eigenschaft des kartesischen Koordinatensystems besteht darin, dass die [[Einheitsvektoren]] ein Rechtssystem bilden, also gemäß der [[Rechte-Hand-Regel|Rechten-Hand-Regel-II]] miteinander verknüpft sind. Dies trifft auch auf [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] zu.
-Eine der wichtigsten Eigenschaften des kartesischen Koordinatensystems ist, dass die Koordinatenachsen, die häufig auch als x-, y-, und z-Achse beschrieben werden, orthogonal zueinander stehen. Im Vergleich zu anderen Koordinatensystemen zeigen hier die [[Einheitsvektoren]] <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}</math> immer in die selbe Richtung und sind parallel zu den Achsen. Außerdem bilden die Achsen zueinander ein ''Rechtssystem''.
+Das kartesische Koordinatensystem wird nicht nur zur Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen im Raum, sondern auch zur Darstellung von Funktionsverläufen verwendet. So kann zum Beispiel der zeitliche Verlauf einer Spannung dadurch dargestellt werden, dass diese auf der Ordinate (entspricht der <math>y</math>-Achse) und die zugehörige Zeit auf der Abszisse (entspricht der <math>x</math>-Achse) angegeben wird.
-Zur Beschreibung eines Rechtssystems gibt es verschiedene Merkregeln, zum Beispiel: Hält man die Hand in den Koordinatenursprung (dort, wo sich die Koordinatenachsen schneiden), kann man mit Hilfe der [[Rechten Handregel1]] die Richtungen der Einheitsvektoren bestimmen. Oder man nutzt die '''Rechtsschraubenregel''', um die Position der Einheitsvektoren zu veranschaulichen, indem man die positive x-Achse auf dem kürzesten Weg in Richtung der positiven y-Achse dreht (d. h. gegen den Uhrzeigersinn). Verschiebt man gleichzeitig die Richtung in die positive z-Achse, erhält man eine Rechtsschraube.
+Hält man jeweils eine Koordinate konstant und lässt die anderen beiden beliebige Werte annehmen, so erhält man die orthogonal zueinander angeordneten Ebenen der jeweils verbleibenden Koordinatenachsen:
+:<math>
+x = \text{konstant} \Rightarrow y\text{-}z\text{-Ebene}
+</math>
+:<math>
+y = \text{konstant} \Rightarrow x\text{-}z\text{-Ebene}
+</math>
+:<math>
+z = \text{konstant} \Rightarrow x\text{-}y\text{-Ebene}
+</math>
-Als Koordinatenflächen erhält man die drei orthogonal zueinander angeordneten Ebenen x = const. (entspricht der y-z-Ebene), y = const. (entspricht der x-z-Ebene) und z = const. (entspricht der x-y-Ebene).
+Zur Beschreibung eines Punktes <math>P</math> im Raum kann ein [[Ortsvektor]] <math>\vec{\textbf{r}}</math> verwendet werden, der die Position des Punktes in Bezug zum Koordinatenursprung angibt (siehe Abbildung). Der Ortsvektor hat die Länge <math>r = \left| \vec{\textbf{r}} \right|</math> und wird wie folgt beschrieben:
-Der [[Ortsvektor]] <math>\vec{\textbf{r}}</math> des Raumpunkts ''P'' wird, bezogen auf den Koordinatenursprung 0, mit Hilfe der [[Einführung in die Vektorrechnung|Länge]] <math>r = \left| \vec{\textbf{r}} \right|</math> beschrieben:
 :<math>
 \begin{align}
 \vec{\textbf{r}} & =
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \mathrm{x} +
+\vec{\textbf{e}}_x x +
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \mathrm{y} +
+\vec{\textbf{e}}_y y +
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}
+\vec{\textbf{e}}_z z
 && \text{mit}
-& r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{\mathrm{x}^2 + \mathrm{y}^2 + \mathrm{z}^2}
+& r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}
 \end{align}
 </math>
-Für die meisten Kurvenintegrale wird das [[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente|differentielle Wegelement]] <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}</math> benötigt. Dabei ist das differentielle Wegelement, die differentielle Änderung des Ortsvektors beim Fortschreiten vom Punkt P(x,y,z) um die elementaren Strecken dx, dy, dz. Dadurch wird die ''Richtung'' der Kurve in einem bestimmten Punkt angegeben.
+Eine differentielle ([[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente|infinitesimale]]) Änderung des Ortsvektors <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}</math> ausgehend vom Punkt <math>P</math> um die Strecken <math>\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z</math> wird wie folgt beschrieben (vgl. Abbildung):
 :<math>
-\mathrm{d} \vec{\textbf{r}} =
+\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} =
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \mathrm{dx} +
+\vec{\textbf{e}}_x \mathrm{d}x +
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \mathrm{dy} +
+\vec{\textbf{e}}_y \mathrm{d}y +
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{dz}
+\vec{\textbf{e}}_z \mathrm{d}z
 </math>
+Die Beschreibung solcher Wegelemente ist zum Beispiel bei der Berechnung von [[Das Linienintegral|Linienintegralen]] erforderlich.
-Die Länge des Wegelements ergibt sich durch die Berechnung des Betrags des differentiellen Wegelements:
+Die Länge des Wegelements ergibt sich durch die Berechnung des zugehörigen Betrags:
 :<math>
-\left| \mathrm{d} \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{(\mathrm{dx})^2 + (\mathrm{dy})^2 + (\mathrm{dz})^2}
+\left| \mathrm{d} \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2}
 </math>
-Für Umrechnungen zwischen den verschiedenen Koordinatensystemen siehe [[Formelsammlung Koordinatensysteme]].
+Die Koordinaten und [[Einheitsvektoren]] der verschiedenen Koordinatensysteme können ineinander umgerechnet werden, siehe hierzu [[Formelsammlung Koordinatensysteme]]. Das kartesische Koordinatensystem wird immer auch als Referenz (Bezug) bei der Verwendung von [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] verwendet. So wird beispielsweise der Winkel <math>\varphi</math> in Zylinderkoordinaten ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse gezählt.
-{{Multimedia|Links=
-http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/applet_b_kartes.html '''Applet''': Kartesische Koordinaten im zweidimensionalem Raum
-http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/applet_b_schief.html '''Applet''': Schiefwinkliges Koordinatensystem im zweidimensionalem Raum
-http://www.kleemannschule.de/de/unterricht/mathematik/punkt3D.html '''Applet''': Ein Punkt im dreidimensionalem Raum mit seinen Ortsvektoren
-}}
 {{Link|Links=
-http://cnx.org/content/m13600/latest/ Übersicht zu verschiedenen Koordinatensystemen
+http://cnx.org/content/m13600/latest/ Übersicht zu verschiedenen Koordinatensystemen (engl.)
 }}
+<noinclude>==Literatur==
+* Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
+</noinclude>
+[[Kategorie:Artikel]]
-{{Navigation|before=[[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht]]|overview=[[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Orthogonale Koordinatensysteme]]|next=[[Zylinderkoordinaten]]}}
+[[Kategorie:Feedback]]

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