Das Volumenintegral

To-do:

Ausführung von Mehrfachintegralen (Integrationsreihenfolge usw.) ausführlicher beschreiben, ggf. eigenen Abschnitt einfügen
"Vor das Integral schreiben" statt ziehen
Einleitung plausibler!!!
Grafik im Beispiel: Masse eines Zylinders: ??? Guck doch mal das phi an!! Außerdem einfärben.
Formulierungen wie "gegeben sei" durch "gegeben ist" ersetzen

Das Volumenintegral beschreibt eine Integration über ein Volumen. Damit handelt es sich um eine Schachtelung von drei Integrationsintervallen, so dass es auch genau drei Integrationsvariablen gibt. Das Differential $\mathrm{d}V$ ist immer eine skalarwertige Größe, da einem Volumenelement keine Richtung zugeordnet werden kann. Soll zum Beispiel über ein Volumen innerhalb eines kartesischen Koordinatensystems integriert werden, so ist das zugehörige Differential durch $\mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$ gegeben. Entsprechende Differentiale in anderen Koordinatensystemen sind in der Formelsammlung Koordinatensysteme angegeben.

Ein häufiger Anwendungsfall des Volmenintegrals ist die Bestimmung der Gesamtladung bei vorgegebener Raumladungsdichte (siehe Beispiel unten).

Zur Herleitung des Volumenintegrals wird exemplarisch ein Würfel betrachtet, der über eine ortsabhängige Raumladungsdichte $\rho$ (=Ladungsmenge/Volumen) verfügt. Bei der Raumladungsdichte handelt es sich um eine analoge Größe zur Dichte eines Körpers, die die Masse pro Volumen beschreibt. Der Würfel kann nun in $n$ sehr kleine Teilstücke zerlegt werden, in denen die Raumladungsdichte jeweils näherungsweise konstant ist. Da die Raumladungsdichte die Ladungsmenge pro Volumen beschreibt, ergibt sich die Gesamtladung $Q_i$ des $i$ -ten Teilstücks des Würfels mit dem Volumen $\Delta V_i$ wie folgt:

Q_i \approx \rho_i\,\Delta V_i

Die Gesamtladung des ganzen Würfels erhält man dann dadurch, dass man die Summe aus den Gesamtladungen der Teilstücke bildet:

Q \approx \sum_{i=1}^n \rho_i\,\Delta V_i

Es wurde bereits beschrieben, dass die Raumladungsdichte in den Teilstücken als näherungsweise konstant angenommen werden kann. Die Näherung ist dabei umso genauer, je kleiner die Teilstücke gewählt werden. Daher wird zu infinitesimal kleinen Teilstücken ( $\Delta V_i\to 0$ ) übergangen, von denen es dann unendlich viele gibt ( $n\to\infty$ ). Auf diese Weise erhält man das entsprechende Volumenintegral:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\substack“): Q = \int_V \rho\,\mathrm{d}V \approx \lim_{\substack{n\to0\\t\to0}} \sum_{i=1}^n \rho_i\,\Delta V_i

Zur Herleitung muss der Körper zunächst in i (wohl eher n?) würfelförmige Teilstücke $K_i$ mit i=1,...,n (Komma) zerlegt werden, wobei jedes Würfelstück eine bestimmte Kantenlänge $\delta$ aufweist. Anschließend multipliziert man das Volumen der Würfelstücke $V=\delta^3$ mit der spezifischen Dichte $\rho_i$ und summiert alle Produkte über das Volumen auf. So erhält man:

m=\sum_{i=1}^nV_i\cdot\rho_i

Bildet man nun den Grenzwert, also lässt die Kantenlänge $\delta$ der Würfel gegen 0 gehen, während ihre Anzahl gegen $\infty$ geht, folgt daraus folgende Form des Volumenintegrals (Reihenfolge unplausibel, Schreibweise falsch):

m=\int_V \rho(V)\mathrm{d}V=\lim{\Delta V_i \to 0}\sum_{i=1}^nV_i\cdot\rho_i

auch hier ist die andere Schreibweise möglich:

\iiint\limits_V \rho(V) \cdot \mathrm{d}V

Beispiel: Gesamtladung einer zylinderförmigen Raumladung

Fall 1: Konstante Raumladungsdichte

In diesem Beispiel ist eine zylinderförmige Raumladung mit einer zunächst ortsunabhängigen (konstanten) Raumladungsdichte $\rho$ (=Ladungsmenge/Volumen) gegeben. Der Zylinder hat dabei die Höhe $l$ und den Radius $r$ . Ziel ist es nun, die gesamte Ladungsmenge $Q$ (Gesamtladung) des Zylinders zu bestimmen. Hierfür muss die Raumladungsdichte über das Volumen $V$ integriert werden:

Q=\int_V\rho\,\mathrm{d}V

Aufgrund der Symmetrie der Anordnung ist die Verwendung von Zylinderkoordinaten zweckmäßig. Das Differential $\mathrm{d}V$ (also ein infinitesimales Volumenelement des Zylinders) wird dabei wie folgt beschrieben:

\mathrm{d}V=\tilde r\,\mathrm{d}\tilde r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Da hier der (konstante) Radius des Zylinders bereits mit $r$ bezeichnet wird, wird in dem Differential die Variable für den „laufenden“ Radius mit $\tilde r$ bezeichnet.

Für die Gesamtladung folgt damit:

Q=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^r\rho\,\tilde r\mathrm{d}\tilde r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Da $\rho$ konstant und damit unabhängig von den Integrationsvariablen ist, kann die Größe vor das Integral geschrieben werden und es folgt:

Q=\rho\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^2}{2}\right|_0^r\cdot\left.z\right|_0^l=\rho\cdot\pi r^2\,l

Dieses Ergebnis ist plausibel, da die Raumladungsdichte mit dem Volumen des Zylinders multipliziert wird. Aufgrund der konstanten Raumladungsdichte kann die Gesamtladung folglich auch sofort ohne die Integration angegeben werden.

Fall 2: Ortsabhängige Raumladungsdichte

Handelt es sich bei der Raumladungsdichte um eine ortsabhängige Größe, so kann das Ergebnis nicht einfach durch die Multiplikation dieser Größe mit dem Volumen angegeben werden. Betrachtet wird zum Beispiel eine linear zunehmende Raumladungsdichte:

\rho(z)=\gamma_0\,z

Dabei ist $\gamma_0$ eine Konstante mit der Einheit $\mathrm{As}/\mathrm{m}^4$ (ansonsten hätte $\rho(z)$ keine zu einer Raumladungsdichte passende Einheit $\mathrm{As}/\mathrm{m}^3$ ). Die Raumladungsdichte wird also entlang der $z$ -Achse größer.

Setzt man diese ortsabhängige Raumladungsdichte in das Integral ein, so folgt:

Q=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^r\gamma_0 z\,\tilde r \mathrm{d}\tilde r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Die Konstante $\gamma_0$ kann wieder vor das Integral geschrieben werden:

Q=\gamma_0\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^2}{2}\right|_0^r\cdot\left.\frac{\tilde z^2}{2}\right|_0^l=\gamma_0\cdot \pi r^2 \cdot \frac{l^2}{2}

Weitere Hinweise finden sich im Artikel zur Lösung von Mehrfachintegralen.

Beispiel: Gesamtladung einer kugelförmigen Raumladung

Ein weiteres Beispiel zur Verwendung des Volumenintegrals findet sich im Artikel Volumenelemente.

Multimediale Lehrmaterialien

http://www.surendranath.org/Applets/Electricity/BSLMFACC/BSL.html Applet zum Darstellen des Magnetischen Feldes

http://susannealbers.de/pk_applets/efeld/06wissen-physik-efeld.html Applet zu Punktladung und deren Feldlinien und Potenziale

http://demonstrations.wolfram.com/DoubleIntegralForVolume/ Applet: Doppelintegral über ein Volumen mit Hilfe von Unter und Obersummen (engl./ free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links