Das Linienintegral: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 25. September 2012, 15:58 Uhr
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Inhaltsverzeichnis
Das Linienintegral einer skalaren Größe
Das Linien- oder Kurvenintegral beschreibt eine Integration entlang einer (gerichteten) Kontur , z. B. von einem Anfangspunkt
bis zu einem Endpunkt
. Dabei gibt es nur eine Integrationsvariable. Bei einer Integration entlang der
-Achse ist das zugehörige Differential beispielsweise durch
gegeben. Handelt es sich bei dem Integrationsweg
um eine geschlossene Kontur, d. h. der Anfangs- und Endpunkt fallen zusammen
, wird das Linienintegral als Ring- oder Umlaufintegral bezeichnet und das Integralzeichen wird mit einem Ring dargestellt.
Das Linienintegral wird benötigt, wenn eine (ggf. vektorielle) Funktion von mehreren Variablen abhängt und entlang einer (im Allgemeinen nicht geradlinigen) Kontur zu integrieren ist. Dies ist zum Beispiel beim Durchflutungsgesetz (vgl. Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht) der Fall. Prinzipiell handelt es sich um eine Erweiterung der Integralrechnung mit einer skalaren Funktion und nur einer Integrationsvariablen.
Zur Herleitung des Linienintegrals wird exemplarisch eine von zwei Variablen abhängige Funktion betrachtet, die entlang einer Kurve zwischen den Punkten
und
integriert werden soll (siehe Abbildung). Hierzu wird die Kontur zunächst in
Teilstücke zerlegt. Dabei wird die Länge des
-ten Teilstücks mit
bezeichnet. Auf einem solchen
-ten Teilstück kann der jeweilige Funktionswert
als näherungsweise konstant angenommen werden. Dadurch lässt sich ein Näherungswert für das Linienintegral dadurch angeben, dass die Produkte der Funktionswerte und den Längen der Teilstücke aufsummiert werden:
Es wurde bereits beschrieben, dass die Funktionswerte auf den Teilstücken als näherungsweise konstant angenommen werden können. Die Näherung ist dabei umso genauer, je kleiner die Teilstücke gewählt werden. Daher wird zu infinitesimal kleinen Teilstücken (
) übergangen, von denen es dann unendlich viele gibt (
). Auf diese Weise erhält man das entsprechende Linienintegral:
Für eine möglichst einfache Lösung der Integrale bietet sich die Verwendung eines auf den jeweiligen Anwendungsfall „zugeschnittenen“ Koordinatensystems an.
![]() In diesem Beispiel werden verschiedene Fälle einer gegebenen Linienladung betrachtet. Bei einer Linienladung handelt es sich um eine Ladungsanordnung entlang einer Kontur. Dabei gibt die Linienladungsdichte Fall 1: Konstante und geradlinig angeordnete Linienladung Bei einer konstanten und entlang der Aufgrund der konstanten Linienladungsdichte kann die Gesamtladung folglich auch sofort ohne die Integration angegeben werden. Fall 2: Ortsabhängige und geradlinig angeordnete Linienladung Handelt es sich bei der Linienladungsdichte um eine ortsabhängige Größe, so kann das Ergebnis nicht einfach durch die Multiplikation dieser Größe mit der Strecke angegeben werden. Betrachtet wird zum Beispiel eine linear zunehmende Linienladungsdichte: Dabei ist Fall 3: Konstante und krummlinig angeordnete Linienladung In diesem Fall wird eine Linienladung in Form eines Viertelkreisbogens betrachtet. Da die Linienladungsdichte wieder konstant ist, muss diese zur Bestimmung der Gesamtladung lediglich mit der Länge dieses Viertelkreisbogens multipliziert werden. Dazu ist ein Übergang zu den Zylinderkoordinaten zweckmäßig. Mit Das verwendete Integral dient der Anschauung, alternativ kann die Länge des Viertelkreisbogens auch direkt als ein Viertel des Kreisumfangs angegeben werden. |
Das Linienintegral einer vektoriellen Größe
Linienintegrale treten häufig auch in vektorieller Form auf. Dabei ist eine vektorielle Funktion, z. B. , entlang einer ebenfalls gerichteten Kontur mit den Wegelementen
zu integrieren. Im Vergleich zum skalarwertigen Linienintegral ist also zusätzlich das Skalarprodukt
für jedes Wegelement
zu bestimmen. Aufgrund der Projektionseigenschaft das Skalarprodukts wird nur die jeweils tangential zum Wegelement verlaufende Kompotente des Vektors
integriert. Für die weitere Herleitung wird ansonsten wie im skalarwertigen Fall verfahren.
Die Kontur wird nun in vektorielle Teilstücke zerlegt, wobei das
-te Teilelement mit
bezeichnet wird. Auf einem solchen
-ten Teilstück kann der jeweilige Funktionswert
als näherungsweise konstant angenommen werden. Damit gilt für das Skalarprodukt bezogen auf das
-te Teilstück:
Damit folgt für das Linienintegral:
Für eine möglichst einfache Lösung der Integrale bietet sich auch hier die Verwendung eines auf den jeweiligen Anwendungsfall „zugeschnittenen“ Koordinatensystems an.
In der Lehrveranstaltung können derartige Integralberechnungen in der Regel auf zwei Spezialfälle reduziert werden.
Fall 1: Beide Vektoren verlaufen parallel (): In diesem Fall liefert das Skalarprodukt der zugehörigen Vektoren den Wert Eins. Damit wird das Integral wieder skalarwertig.
Fall 2: Beide Vektoren stehen senkrecht aufeinander (): In diesem Fall liefert das Skalarprodukt der zugehörigen Vektoren den Wert Null und das Integral verschwindet.
![]() Ein häufiger Anwendungsfall des Linienintegrals ergibt sich bei der Bestimmung der Spannung in einem elektrischen Feld. In diesem Beispiel wird die ortsunabhängige elektrische Feldstärke Um dieses Integral zu lösen, können vier Fälle unterschieden werden: Das Integral kann in diese vier Bereiche geteilt und das jeweilige Skalarprodukt ausgewertet werden: Daraus folgt: Aufgrund der eingeschlossenen rechten Winkel verbleibt: Da hier die Strecken zwischen Dies ist eine wichtige Erkenntnis im elektrostatischen Feld: Das Ringintegral ergibt hier immer Null. |
![]() In diesem mechanischen Beispiel ist die Arbeit Die Laufrinne ist halbkreisförmig und beginnt am Anfangspunkt Der Bewegungsvorgang der Kugel lässt sich am einfachsten in Zylinderkoordinaten mit dem Koordinatenursprung im Mittelpunkt des Kreises beschrieben. Dabei bewegt sich die Kugel in Richtung wachsender Die vorgegebene Kraft lässt sich am einfachsten in kartesischen Koordinaten beschreiben: Mit Wandelt man nun noch den Einheitsvektor |
Multimediale Lehrmaterialien
http://www.dangries.com/Flash/IntegralSketch/IntegralSketch.html Applet zum Verständnis von Integralen
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Hilfreiche Links
http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Interaktives Arbeitsblatt zur Integration http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.) |
Literatur
- Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
- Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
- Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
- Dr. Thomas Hempel, Mathematische Grundlagen, Linienintegral, Vorlesungsskript, Universität Magdeburg, 2010
- TU Freiberg, Parameter- und Kurvenintegrale, Script, 2010