Kartesische Koordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 9. November 2017, 15:57 Uhr

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Das Kartesische Koordinatensystem

Vektorielles Wegelement

Das kartesische Koordinatensystem ist das bekannteste Koordinatensystem. Dabei werden die geradlinig und orthogonal (rechtwinklig) zueinander verlaufenden Koordinatenachsen als $x$ -, $y$ - und $z$ -Achse bezeichnet. Den Schnittpunkt dieser Achsen nennt man Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Die Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_x$ , $\vec{\textbf{e}}_y$ , $\vec{\textbf{e}}_z$ verlaufen jeweils parallel zu den zugehörigen Achsen und zeigen in Richtung wachsender Koordinatenwerte. Im Gegensatz zu Zylinder- und Kugelkoordinaten (dabei handelt es sich um krummlinige orthogonale Koordinatensysteme) zeigen die Einheitsvektoren unabhängig vom betrachteten Punkt im Raum immer in dieselbe Richtung.

Eine wichtige Eigenschaft des kartesischen Koordinatensystems besteht darin, dass die Einheitsvektoren ein Rechtssystem bilden, also gemäß der Rechten-Hand-Regel-II miteinander verknüpft sind. Dies trifft auch auf Zylinder- und Kugelkoordinaten zu.

Das kartesische Koordinatensystem wird nicht nur zur Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen im Raum, sondern auch zur Darstellung von Funktionsverläufen verwendet. So kann zum Beispiel der zeitliche Verlauf einer Spannung dadurch dargestellt werden, dass diese auf der Ordinate (entspricht der $y$ -Achse) und die zugehörige Zeit auf der Abszisse (entspricht der $x$ -Achse) angegeben wird.

Hält man jeweils eine Koordinate konstant und lässt die anderen beiden beliebige Werte annehmen, so erhält man die orthogonal zueinander angeordneten Ebenen der jeweils verbleibenden Koordinatenachsen:

x = \text{konstant} \Rightarrow y\text{-}z\text{-Ebene}

y = \text{konstant} \Rightarrow x\text{-}z\text{-Ebene}

z = \text{konstant} \Rightarrow x\text{-}y\text{-Ebene}

Zur Beschreibung eines Punktes $P$ im Raum kann ein Ortsvektor $\vec{\textbf{r}}$ verwendet werden, der die Position des Punktes in Bezug zum Koordinatenursprung angibt (siehe Abbildung). Der Ortsvektor hat die Länge $r = \left| \vec{\textbf{r}} \right|$ und wird wie folgt beschrieben:

\begin{align} \vec{\textbf{r}} & = \vec{\textbf{e}}_x x + \vec{\textbf{e}}_y y + \vec{\textbf{e}}_z z && \text{mit} & r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{align}

Eine differentielle (infinitesimale) Änderung des Ortsvektors $\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}$ ausgehend vom Punkt $P$ um die Strecken $\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z$ wird wie folgt beschrieben (vgl. Abbildung):

\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_x \mathrm{d}x + \vec{\textbf{e}}_y \mathrm{d}y + \vec{\textbf{e}}_z \mathrm{d}z

Die Beschreibung solcher Wegelemente ist zum Beispiel bei der Berechnung von Linienintegralen erforderlich.

Die Länge des Wegelements ergibt sich durch die Berechnung des zugehörigen Betrags:

\left| \mathrm{d} \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2}

Die Koordinaten und Einheitsvektoren der verschiedenen Koordinatensysteme können ineinander umgerechnet werden, siehe hierzu Formelsammlung Koordinatensysteme. Das kartesische Koordinatensystem wird immer auch als Referenz (Bezug) bei der Verwendung von Zylinder- und Kugelkoordinaten verwendet. So wird beispielsweise der Winkel $\varphi$ in Zylinderkoordinaten ausgehend von der positiven $x$ -Achse in Richtung der positiven $y$ -Achse gezählt.

Hilfreiche Links

http://cnx.org/content/m13600/latest/ Übersicht zu verschiedenen Koordinatensystemen (engl.)

Literatur

Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)

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-<figure id="fig:das_kartesische_koordinatensystem">
+{{Navigation|before=[[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht]]|overview=[[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Orthogonale Koordinatensysteme]]|next=[[Zylinderkoordinaten]]}}
+[[Image:Kartesische Koordinaten.png|miniatur|<caption>Das Kartesische Koordinatensystem</caption>]]
+[[Image:Vektorielles Wegelement.png|miniatur|<caption>Vektorielles Wegelement</caption>]]
+<!--
+AlbachVersion:
 [[Image:Koordinatensysteme_Das Kartesische Koordinatensystem.jpg|miniatur|<caption>Das Kartesische Koordinatensystem</caption>]]
-</figure>
+[[Image:Koordinatensysteme_Vektorielles Wegelement.jpg|miniatur|<caption>Vektorielles Wegelement</caption>]]
-Den einfachsten Fall stellt das kartesische Koordinatensystem dar, bei dem die als x-, y- und z-Achse bezeichnet geradlinigen Koordinatenachsen zueinander orthogonal sind. Ihr gemeinsamer Schnittpunkt wird als Koordinatenursprung bzw. direkt als Ursprung bezeichnet. Die Richtung wachsender Koordinatenwerte wird für die Achsen so festgelegt, dass die Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}</math>, die jeweils parallel zu den durch den betreffenden Index gekennzeichneten Koordinatenachsen verlaufen, im Sinne der obigen Gleichung ein Rechtssystem bilden. Dreht man die positive x-Achse auf dem kürzesten Weg in Richtung der positiven y-Achse, d. h. gegen den Uhrzeigersinn, dann erhält man bei gleichzeitiger Verschiebung in Richtung der positiven z-Achse eine Rechtsschraube.
+-->
-Eine Besonderheit beim kartesischen Koordinatensystem besteht darin, dass die Richtung der Einheitsvektoren aufgrund der geradlinigen Koordinaten x, y, z konstant, d. h. unabhängig von deren Position im Raum ist.
+Das kartesische Koordinatensystem ist das bekannteste Koordinatensystem. Dabei werden die '''geradlinig''' und '''orthogonal''' (rechtwinklig) zueinander verlaufenden Koordinatenachsen als <math>x</math>-, <math>y</math>- und <math>z</math>-Achse bezeichnet. Den Schnittpunkt dieser Achsen nennt man Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Die [[Einheitsvektoren]] <math>\vec{\textbf{e}}_x</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_y</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_z</math> verlaufen jeweils parallel zu den zugehörigen Achsen und zeigen in Richtung wachsender Koordinatenwerte. Im Gegensatz zu [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] (dabei handelt es sich um krummlinige orthogonale Koordinatensysteme) zeigen die Einheitsvektoren ''unabhängig vom betrachteten Punkt'' im Raum immer in dieselbe Richtung.
-Als Koordinatenflächen erhält man die drei orthogonal zueinander angeordneten Ebenen x = const. (entspricht der y-z-Ebene), y = const. (entspricht der x-z-Ebene) und z = const. (entspricht der x-y-Ebene).
+Eine wichtige Eigenschaft des kartesischen Koordinatensystems besteht darin, dass die [[Einheitsvektoren]] ein Rechtssystem bilden, also gemäß der [[Rechte-Hand-Regel|Rechten-Hand-Regel-II]] miteinander verknüpft sind. Dies trifft auch auf [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] zu.
-Der Raumpunkt P wird bezogen auf den Koordinatenursprung 0 durch den Ortsvektor <math>\vec{\textbf{r}}</math> der Länge <math>r = \left| \vec{\textbf{r}} \right|</math> beschrieben:
+Das kartesische Koordinatensystem wird nicht nur zur Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen im Raum, sondern auch zur Darstellung von Funktionsverläufen verwendet. So kann zum Beispiel der zeitliche Verlauf einer Spannung dadurch dargestellt werden, dass diese auf der Ordinate (entspricht der <math>y</math>-Achse) und die zugehörige Zeit auf der Abszisse (entspricht der <math>x</math>-Achse) angegeben wird.
-:<equation id="eqn:ortsvektor">
-<math>
-\vec{\textbf{r}} =
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \mathrm{x} +
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \mathrm{y} +
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}
-\mathrm{mit}
-r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{\mathrm{x}^2 + \mathrm{y}^2 + \mathrm{z}^2}
-</math>
-</equation>
-<xr id="eqn:ortsvektor"/>
-Die differentielle Änderung des Ortsvektors <math>\mathrm{d} \vec{\textbf{r}}</math> beim Fortschreiten vom Punkt P(x,y,z) um die elementaren Strecken dx, dy, dz in Richtung der gleichnamigen Koordinaten
+Hält man jeweils eine Koordinate konstant und lässt die anderen beiden beliebige Werte annehmen, so erhält man die orthogonal zueinander angeordneten Ebenen der jeweils verbleibenden Koordinatenachsen:
 :<math>
-\mathrm{d} \vec{\textbf{r}} =
+x = \text{konstant} \Rightarrow y\text{-}z\text{-Ebene}
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \mathrm{dx} +
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \mathrm{dy} +
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{dz}
 </math>
-wird vektorielles Wegelement genannt. Seine Länge ist durch die Beziehung
 :<math>
-\left| \mathrm{d} \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{(\mathrm{dx})^2 + (\mathrm{dy})^2 + (\mathrm{dz})^2}
+y = \text{konstant} \Rightarrow x\text{-}z\text{-Ebene}
 </math>
-gegeben.
+:<math>
-<figure id="fig:vektorielles_wegelement">
+z = \text{konstant} \Rightarrow x\text{-}y\text{-Ebene}
-[[Image:Koordinatensysteme_Vektorielles Wegelement.jpg|miniatur|<caption>Vektorielles Wegelement</caption>]]
-</figure>
-{{Multimedia|Links=
-http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/applet_b_kartes.html'''Applet''': Kartesische Koordinaten im
-zweidimensionalem Raum
-http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/applet_b_schief.html '''Applet''': Schiefwinkliges Koordinatensystem im zweidimensionalem Raum
-http://www.kleemannschule.de/de/unterricht/mathematik/punkt3D.html '''Applet''': Ein Punkt im dreidimensionalem Raum mit seinen Ortsvektoren
-}}
-{{Link|Links=
-http://cnx.org/content/m13600/latest/ Übersicht zu verschiedenen Koordinatensystemen
-}}
-== Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme ==
-Bevor wir die Zylinder- und Kugelkoordinaten behandeln, sollen einige allgemein gültige Zusammenhänge für krummlinige orthogonale Koordinatensysteme <math>\mathrm{u}_1</math>, <math>\mathrm{u}_2</math>, <math>\mathrm{u}_3</math> abgeleitet werden. Diese sind durch die im Allgemeinen bekannten Definitionsgleichungen:
-:<equation id="eqn:definition">
-<math>
-\mathrm{x} = \mathrm{x} \left( \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right),
-\mathrm{y} = \mathrm{y} \left( \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right),
-\mathrm{z} = \mathrm{z} \left( \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right)
 </math>
-</equation>
-<xr id="eqn:definition" />
-mit den kartesischen Koordinaten verknüpft.
+Zur Beschreibung eines Punktes <math>P</math> im Raum kann ein [[Ortsvektor]] <math>\vec{\textbf{r}}</math> verwendet werden, der die Position des Punktes in Bezug zum Koordinatenursprung angibt (siehe Abbildung). Der Ortsvektor hat die Länge <math>r = \left| \vec{\textbf{r}} \right|</math> und wird wie folgt beschrieben:
-<figure id="fig:krummlinige_koordinaten">
+:<math>
-[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten.jpg|miniatur|<caption>Krummlinige Koordinaten</caption>]]
+\begin{align}
-</figure>
+\vec{\textbf{r}} & =
-Das in <xr id="fig:krummlinige_koordinaten"/> dargestellte Volumen wird durch die sechs beliebig geformten Koordinatenflächen begrenzt, auf denen jeweils eine der Koordinaten <math>\mathrm{u}_i</math> mit <math>i = 1, 2, 3</math> konstant ist. Die Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_i</math>, die <xr id="eqn:orthogonalitaet" /> und <xr id="eqn:wegelement" /> erfüllen, zeigen in Richtung der Tangenten, die an die durch den Raumpunkt <math>\mathrm{P}(\mathrm{u}_1, \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_1)</math> des Ortsvektors <math>\vec{\textbf{r}}</math> verlaufenden Koordinaten <math>\mathrm{u}_i</math> gelegt werden. Die Richtung dieser Tangenten und damit auch die Richtung der Einheitsvektoren ist durch die Änderung des Ortsvektors <math>\partial \vec{\textbf{r}} / \partial \mathrm{u}_i</math> nach der jeweiligen Koordinate <math>\mathrm{u}_i</math> gegeben (*). Normiert man diesen Ausdruck auf seinen Betrag <math>\left| \partial \vec{\textbf{r}} / \partial \mathrm{u}_i \right|</math>, dann lässt sich folgende Darstellung für die Einheitsvektoren angeben:
+\vec{\textbf{e}}_x x +
-:<equation id="eqn:einheitsvektoren">
+\vec{\textbf{e}}_y y +
-<math>
+\vec{\textbf{e}}_z z
-\vec{\textbf{e}}_i = \frac{1}{\left|\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i}\right|} \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} = \frac{1}{h_i} \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i}
+&& \text{mit}
- \text{mit}\
+& r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}
-h_i = \left| \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} \right|
+\end{align}
 </math>
-</equation>
-<xr id="eqn:einheitsvektoren"/>
-(*) Unter dem Ausdruck <math>\partial \vec{\textbf{r}} / \partial \mathrm{u}_i</math> wird die partielle Ableitung, d. h. die Änderungsgeschwindigkeit des Ortsvektors <math>\vec{\textbf{r}} \left( \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right)</math> nach <math>\mathrm{u}_1</math> bzw. <math>\mathrm{u}_2</math> bzw. <math>\mathrm{u}_3</math> verstanden, wobei die jeweils anderen beiden Koordinaten konstant gehalten werden. Betrachten wir als Beispiel den Fall <math>i=2</math>, dann gilt:
+Eine differentielle ([[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente|infinitesimale]]) Änderung des Ortsvektors <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}</math> ausgehend vom Punkt <math>P</math> um die Strecken <math>\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z</math> wird wie folgt beschrieben (vgl. Abbildung):
 :<math>
-\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_2} = \lim_{\Delta \mathrm{u}_2 \to 0}
+\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} =
-\frac{\vec{\textbf{r}}(\mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2 + \Delta \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3) - \vec{\textbf{r}}(\mathrm{u}_1 , \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3)}{\Delta \mathrm{u}_2}
+\vec{\textbf{e}}_x \mathrm{d}x +
+\vec{\textbf{e}}_y \mathrm{d}y +
+\vec{\textbf{e}}_z \mathrm{d}z
 </math>
+Die Beschreibung solcher Wegelemente ist zum Beispiel bei der Berechnung von [[Das Linienintegral|Linienintegralen]] erforderlich.
-Entsprechend <xr id="eqn:einheitsvektoren" /> hängt also die Richtung der Einheitsvektoren im allgemeinen Fall von den Koordinaten <math>\left( \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right)</math>, d. h. von der Lage des Raumpunktes P ab. Die als metrische Faktoren bezeichneten Werte <math>h_i \left( \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right)</math> findet man mithilfe der Definitionsgleichungen <xr id="eqn:definition"/> aus:
+Die Länge des Wegelements ergibt sich durch die Berechnung des zugehörigen Betrags:
 :<math>
-h_i^2 = \left( \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} \right)^2 =
+\left| \mathrm{d} \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2}
-\left(
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \frac{\partial \mathrm{x}}{\partial \mathrm{u}_i} +
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{u}_i} +
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{u}_i}
-\right)^2
 </math>
-beziehungsweise:
-:<equation id="eqn:metrisch">
-<math>
-h_i =
-\sqrt{
-\left( \frac{\partial \mathrm{x}}{\partial \mathrm{u}_i} \right)^2 +
-\left( \frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{u}_i} \right)^2 +
-\left( \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{u}_i} \right)^2
-}
-</math>
-</equation>
-<xr id="eqn:metrisch"/>
-Bildet man nun das totale Differential <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}</math> des Ortsvektors <math>\vec{\textbf{r}}</math>, das einer Änderung der Koordinatenwerte <math>\mathrm{u}_1</math>, <math>\mathrm{u}_2</math>, <math>\mathrm{u}_3</math> um <math>\mathrm{d}\mathrm{u}_1</math>, <math>\mathrm{d}\mathrm{u}_2</math>, <math>\mathrm{d}\mathrm{u}_3</math> entspricht, dann erhält man unter Einbeziehung der <xr id="eqn:einheitsvektoren" />  das folgende Ergebnis:
+Die Koordinaten und [[Einheitsvektoren]] der verschiedenen Koordinatensysteme können ineinander umgerechnet werden, siehe hierzu [[Formelsammlung Koordinatensysteme]]. Das kartesische Koordinatensystem wird immer auch als Referenz (Bezug) bei der Verwendung von [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] verwendet. So wird beispielsweise der Winkel <math>\varphi</math> in Zylinderkoordinaten ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse gezählt.
-:<equation id="eqn:total">
-<math>
+{{Link|Links=
-\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} =
+http://cnx.org/content/m13600/latest/ Übersicht zu verschiedenen Koordinatensystemen (engl.)
-\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_1} \mathrm{d}\mathrm{u}_1
+}}
-\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_2} \mathrm{d}\mathrm{u}_2 +
+<noinclude>==Literatur==
-\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_3} \mathrm{d}\mathrm{u}_3 +
+* Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
-=
+</noinclude>
-\vec{\textbf{e}}_1 h_1 \mathrm{d}\mathrm{u}_1 +
-\vec{\textbf{e}}_2 h_2 \mathrm{d}\mathrm{u}_2 +
-\vec{\textbf{e}}_3 h_3 \mathrm{d}\mathrm{u}_3
-</math>
-</equation>
-<xr id="eqn:total"/>
-<figure id="fig:krummlinige_koordinaten2">
+[[Kategorie:Artikel]]
-[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten2.jpg|miniatur|<caption>Krummlinige Koordinaten</caption>]]
+[[Kategorie:Feedback]]
-</figure>
-Für den Betrag des vektoriellen Wegelementes gilt mit Gl. X (Verweis auf Vektoren) die Beziehung:
-:<equation id="eqn:volumen">
-<math>
-\left| \mathrm{d}\vec{\textbf{r}}  \right| =
-\sqrt{h_1^2 \mathrm{d}\mathrm{u}_1^2 + h_2^2 \mathrm{d}\mathrm{u}_2^2 + h_3^2 \mathrm{d}\mathrm{u}_3^2}
-</math>
-</equation>
-<xr id="eqn:volumen"/>
-Das elementare Volumenelement erhält man durch Multiplikation der Seitenlängen gemäß <xr id="fig:krummlinige_koordinaten2"/>:
-:<equation id="eqn:elementar">
-<math>
-\mathrm{d}V = h_1 h_2 h_3 \mathrm{d}\mathrm{u}_1 \mathrm{d}\mathrm{u}_2 \mathrm{d}\mathrm{u}_3
-</math>
-</equation>
-<xr id="eqn:elementar"/>

Kartesische Koordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

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