Zylinderkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

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Das Zylinderkoordinatensystem ermöglicht insbesondere dann eine kompakte Beschreibung von Positionen und gerichteten Größen im Raum, wenn man es mit zylinderförmigen Anordnungen zu tun hat. Das elektrische Feld einer Linienladung, die näherungsweise als zylinderförmig angenommen werden kann, lässt sich zum Beispiel wesentlich einfacher in Zylinder- als in kartesischen Koordinaten beschreiben (vgl. Beispiel unten). Es gibt zahlreiche weitere Beispiele wie die Beschreibung des elektrischen Feldes einer zylinderförmigen Raumladung oder die Beschreibung des magnetischen Feldes eines stromdurchflossenen Leiters.
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Das Zylinderkoordinatensystem ermöglicht insbesondere dann eine kompakte Beschreibung von Positionen und gerichteten Größen im Raum, wenn man es mit zylinderförmigen Anordnungen zu tun hat. Das elektrische Feld einer Linienladung, die näherungsweise als zylinderförmig angenommen werden kann, lässt sich zum Beispiel wesentlich einfacher in Zylinder- als in [[kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] beschreiben (vgl. Beispiel unten). Es gibt zahlreiche weitere Beispiele wie die Beschreibung des elektrischen Feldes einer zylinderförmigen Raumladung oder die Beschreibung des magnetischen Feldes eines stromdurchflossenen Leiters. Bei dem Zylinderkoordinatensystem handelt es sich um ein [[Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme|krummliniges orthogonales Koordinatensystem]].
  
 
Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>\rho</math>, <math>\varphi</math> und <math>z</math> beschrieben. Dabei bleibt die <math>z</math>-Achse des kartesischen Koordinatensystems unverändert erhalten. <math>\rho</math> (je nach Quelle auch als <math>r</math> bezeichnet) gibt den Abstand zur <math>z</math>-Achse an und <math>\varphi</math> bezeichnet den Winkel zum betrachteten Punkt. Dabei wird <math>\varphi</math> ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse gezählt. Somit ist der positiven <math>x</math>-Achse der Winkel <math>\varphi=0</math> und der negativen <math>x</math>-Achse der Winkel <math>\varphi = \pi</math> zugeordnet.
 
Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>\rho</math>, <math>\varphi</math> und <math>z</math> beschrieben. Dabei bleibt die <math>z</math>-Achse des kartesischen Koordinatensystems unverändert erhalten. <math>\rho</math> (je nach Quelle auch als <math>r</math> bezeichnet) gibt den Abstand zur <math>z</math>-Achse an und <math>\varphi</math> bezeichnet den Winkel zum betrachteten Punkt. Dabei wird <math>\varphi</math> ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse gezählt. Somit ist der positiven <math>x</math>-Achse der Winkel <math>\varphi=0</math> und der negativen <math>x</math>-Achse der Winkel <math>\varphi = \pi</math> zugeordnet.
  
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Die Richtung der Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_\rho</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> hängt von der Position des betrachteten Punktes ab. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht, dass <math>\vec{\mathbf{e}}_\varphi</math> immer tangential zu dem Kreisbogen (<math>\varphi</math>-[[Koordinatenlinie]]) im Punkt <math>P</math> verläuft und <math>\vec{\mathbf{e}}_\rho</math> immer orthogonal auf diesem Kreisbogen steht. Der Einheitsvektor <math>\vec{\textbf{e}}_z</math> (vgl. [[kartesische Koordinaten]]) zeigt unabhängig vom betrachteten Punkt im Raum immer in dieselbe Richtung.
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Die Richtung der [[Einheitsvektoren]] <math>\vec{\textbf{e}}_\rho</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> hängt von der Position des betrachteten Punktes ab. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht, dass <math>\vec{\mathbf{e}}_\varphi</math> immer tangential zu dem Kreisbogen (<math>\varphi</math>-[[Koordinatenlinie]]) im Punkt <math>P</math> verläuft und <math>\vec{\mathbf{e}}_\rho</math> immer orthogonal auf diesem Kreisbogen steht. Der Einheitsvektor <math>\vec{\textbf{e}}_z</math> (vgl. [[kartesische Koordinaten]]) zeigt unabhängig vom betrachteten Punkt im Raum immer in dieselbe Richtung.
  
 
Betrachtet man ausschließlich die <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene ohne die <math>z</math>-Achse, so handelt es sich um '''Polarkoordinaten'''.
 
Betrachtet man ausschließlich die <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene ohne die <math>z</math>-Achse, so handelt es sich um '''Polarkoordinaten'''.
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\cos\varphi = \frac{x}{\rho}\,\Rightarrow\, x = \rho \cos\varphi
 
\cos\varphi = \frac{x}{\rho}\,\Rightarrow\, x = \rho \cos\varphi
 
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Für die <math>y</math>-Koordinate (und auch für die Einheitsvektoren) kann analog verfahren werden und die <math>z</math>-Koordinate bleibt erhalten, so dass sich folgende Transformationsgleichungen ergeben:
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Für die <math>y</math>-Koordinate kann analog verfahren werden und die <math>z</math>-Koordinate bleibt erhalten. Umgekehrt lassen sich auch Zylinderkoordinaten aus gegebenen kartesischen Koordinaten berechnen, die entsprechenden Transformationsgleichungen sind in der folgenden Tabelle angegeben:
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|rowspan="3" style="background-color:#dde6f3;"|Umrechnung von Zylinder-<br> in kartesische Koordinaten
 
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\mathrm{x} &= \rho \cos \varphi&
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x &= \rho \cos \varphi&
 
&\text{mit}&
 
&\text{mit}&
 
0 &\leq \rho < \infty
 
0 &\leq \rho < \infty
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\begin{align}
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\mathrm{y} &= \rho \sin \varphi&
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y &= \rho \sin \varphi&
 
&\text{mit}&
 
&\text{mit}&
 
0 &\leq \varphi < 2 \pi
 
0 &\leq \varphi < 2 \pi
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\varphi &=\arctan\frac{y}{x}\ \text{wenn}\ x>0
 
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\mathrm{z} &= \mathrm{z}&
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&& && &&
 
&& && &&
 
&\text{mit}&
 
&\text{mit}&
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Umgekehrt lassen sich auch Zylinderkoordinaten aus gegebenen kartesischen Koordinaten berechnen:
 
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|rowspan="3" style="background-color:#dde6f3;"|Umrechnung von kartesischen-<br>in Zylinderkoordinaten
 
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\begin{align}
 
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\rho &=\sqrt{x^2+y^2}
 
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\end{align}
 
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<math>
 
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\begin{align}
 
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\varphi &=\arctan{\frac{y}{x}}
 
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\end{align}
 
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Aus der Abbildung wird außerdem ersichtlich, dass der [[Ortsvektor]] in Zylinderkoordinaten wie folgt beschrieben wird:
 
Aus der Abbildung wird außerdem ersichtlich, dass der [[Ortsvektor]] in Zylinderkoordinaten wie folgt beschrieben wird:
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:<math>
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\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}x +\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} y + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}
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\vec{\textbf{r}} = \rho\,\vec{\textbf{e}}_\rho + z\,\vec{\mathbf{e}}_\mathrm{z}
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</math>  
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</math>
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Eine differentielle ([[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente|infinitesimale]]) Änderung des Ortsvektors <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}</math> ausgehend vom Punkt <math>P</math> um <math>\mathrm{d}\rho, \mathrm{d}\varphi, \mathrm{d}z</math> wird wie folgt beschrieben:
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:<math>
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\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} =
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\vec{\textbf{e}}_\rho \mathrm{d}\rho +
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\vec{\textbf{e}}_\varphi \rho \mathrm{d}\varphi +
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\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{d}z
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</math>
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Für weitere Umrechnungen und Zusammenhänge wird auf die [[Formelsammlung Koordinatensysteme]] verwiesen.
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Je nachdem, in welchen Bereichen (Intervallen) sich die Koordinaten bewegen, werden verschiedene [[Wegelemente|Linien-]], [[Fächenelemente|Flächen-]] und [[Volumenelemente]] beschrieben. Hält man z. B. alle Koordinaten bis auf <math>\varphi</math> konstant, so ergeben sich Kreise (vgl. [[Koordinatenlinien]]). Zur Verdeutlichung dieser Zusammenhänge kann das unten eingebundene Applet verwendet werden.
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{{Beispiel
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|Titel=Elektrisches Feld einer Linienladung
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Das elektrische Feld einer Linienladung <math>\lambda</math> zeigt radialsymmetrisch in den Raum und ist nur vom Abstand <math>\rho</math> abhängig.
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[[Datei:Linienladung_und_E-feld.svg|500px]]
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Damit kann die elektrische Feldstärke <math>\vec{\textbf{E}}</math> besonders kompakt in Zylinderkoordinaten angegeben werden:
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\vec{\textbf{E}}(\rho) = \frac{\lambda}{2\pi\rho\varepsilon_0} \vec{\textbf{e}}_\rho
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====Applet====
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[[Datei:Applet_Zylinderkoordinaten.png|200px|gerahmt|links|verweis=Applet:Zylinderkoordinaten|[[Applet:Zylinderkoordinaten|Applet Zylinderkoordinaten]]]]
  
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Betrachtet man das Modell eines Kabels, ist es häufig problematisch, Effekte mathematisch im gewohnten [[Das kartesische Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] zu beschreiben. Durch die Wölbung der Oberfläche muss im kartesischen System immer ein sich verändernder Winkel mitbetrachtet werden, selbst wenn die Effekte, die man beschreiben will, senkrecht oder parallel zu dem Kabel verlaufen. Um sich die Rechnung zu vereinfachen, wählt man insbesondere für Probleme mit konzentrischen oder radialen  Anordnungen einen Sonderfall der krummlinigen orthogonalen Koordinatensysteme, die '''Zylinderkoordinaten''':
 
Betrachtet man das Modell eines Kabels, ist es häufig problematisch, Effekte mathematisch im gewohnten [[Das kartesische Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] zu beschreiben. Durch die Wölbung der Oberfläche muss im kartesischen System immer ein sich verändernder Winkel mitbetrachtet werden, selbst wenn die Effekte, die man beschreiben will, senkrecht oder parallel zu dem Kabel verlaufen. Um sich die Rechnung zu vereinfachen, wählt man insbesondere für Probleme mit konzentrischen oder radialen  Anordnungen einen Sonderfall der krummlinigen orthogonalen Koordinatensysteme, die '''Zylinderkoordinaten''':
  
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Um die Zylinderkoordinaten zu verstehen, hilft es, sich einen Zylinder vorzustellen und ihn in seine Bestandteile, also Deckel und Mantelflächen zu unterteilen. Die Deckelfläche lässt sich dabei am einfachsten mit ihrem Radius <math>\rho</math> und dem Winkel <math>\varphi</math> beschreiben (siehe Abbildung). Eben diese Koordinaten werden bei den ebenen Zylinderkoordinaten (auch: '''Polarkoordinaten''') verwendet. Dabei wird der Winkel <math>\varphi</math> definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt.  
 
Um die Zylinderkoordinaten zu verstehen, hilft es, sich einen Zylinder vorzustellen und ihn in seine Bestandteile, also Deckel und Mantelflächen zu unterteilen. Die Deckelfläche lässt sich dabei am einfachsten mit ihrem Radius <math>\rho</math> und dem Winkel <math>\varphi</math> beschreiben (siehe Abbildung). Eben diese Koordinaten werden bei den ebenen Zylinderkoordinaten (auch: '''Polarkoordinaten''') verwendet. Dabei wird der Winkel <math>\varphi</math> definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt.  
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Warum es sich lohnt eine Koordinatentransformation durchzuführen, soll anhand dieses Beispiels verdeutlicht werden. Hier soll der Ortsvektor, eine Funktion, bei der der Vektor vom Koordinatenursprung auf einen Punkt abgebildet wird, in zylindrischen Koordinaten ausgedrückt werden, da diese Darstellung in Zylinderkoordinaten viel übersichtlicher ist, als die Darstellung in den kartesischen Koordinaten. Dafür sei der Ortsvektor <math>\vec{\mathbf{r}}</math> in kartesischen Koordinaten gegeben:
 
Warum es sich lohnt eine Koordinatentransformation durchzuführen, soll anhand dieses Beispiels verdeutlicht werden. Hier soll der Ortsvektor, eine Funktion, bei der der Vektor vom Koordinatenursprung auf einen Punkt abgebildet wird, in zylindrischen Koordinaten ausgedrückt werden, da diese Darstellung in Zylinderkoordinaten viel übersichtlicher ist, als die Darstellung in den kartesischen Koordinaten. Dafür sei der Ortsvektor <math>\vec{\mathbf{r}}</math> in kartesischen Koordinaten gegeben:
 
:<math>\vec{\mathbf{r}}=\vec{\mathbf{e}}x\cdot x+\vec{\mathbf{e}}y\cdot y+\vec{\mathbf{e}}z\cdot z</math>
 
:<math>\vec{\mathbf{r}}=\vec{\mathbf{e}}x\cdot x+\vec{\mathbf{e}}y\cdot y+\vec{\mathbf{e}}z\cdot z</math>
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http://www.pha.jhu.edu/~javalab/cylindrical/cylindrical.html '''Applet''': Punkt in Zylinderkoordinaten (engl.)
 
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http://demonstrations.wolfram.com/ExploringCylindricalCoordinates/ '''Applet''': Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich)
 
http://demonstrations.wolfram.com/ExploringCylindricalCoordinates/ '''Applet''': Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich)
  
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<noinclude>==Literatur==
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* Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
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Aktuelle Version vom 9. November 2017, 16:58 Uhr

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Zylinderkoordinaten

Das Zylinderkoordinatensystem ermöglicht insbesondere dann eine kompakte Beschreibung von Positionen und gerichteten Größen im Raum, wenn man es mit zylinderförmigen Anordnungen zu tun hat. Das elektrische Feld einer Linienladung, die näherungsweise als zylinderförmig angenommen werden kann, lässt sich zum Beispiel wesentlich einfacher in Zylinder- als in kartesischen Koordinaten beschreiben (vgl. Beispiel unten). Es gibt zahlreiche weitere Beispiele wie die Beschreibung des elektrischen Feldes einer zylinderförmigen Raumladung oder die Beschreibung des magnetischen Feldes eines stromdurchflossenen Leiters. Bei dem Zylinderkoordinatensystem handelt es sich um ein krummliniges orthogonales Koordinatensystem.

Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt P im Raum durch die drei Koordinaten \rho, \varphi und z beschrieben. Dabei bleibt die z-Achse des kartesischen Koordinatensystems unverändert erhalten. \rho (je nach Quelle auch als r bezeichnet) gibt den Abstand zur z-Achse an und \varphi bezeichnet den Winkel zum betrachteten Punkt. Dabei wird \varphi ausgehend von der positiven x-Achse in Richtung der positiven y-Achse gezählt. Somit ist der positiven x-Achse der Winkel \varphi=0 und der negativen x-Achse der Winkel \varphi = \pi zugeordnet.

Die Richtung der Einheitsvektoren \vec{\textbf{e}}_\rho und \vec{\textbf{e}}_\varphi hängt von der Position des betrachteten Punktes ab. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht, dass \vec{\mathbf{e}}_\varphi immer tangential zu dem Kreisbogen (\varphi-Koordinatenlinie) im Punkt P verläuft und \vec{\mathbf{e}}_\rho immer orthogonal auf diesem Kreisbogen steht. Der Einheitsvektor \vec{\textbf{e}}_z (vgl. kartesische Koordinaten) zeigt unabhängig vom betrachteten Punkt im Raum immer in dieselbe Richtung.

Betrachtet man ausschließlich die x-y-Ebene ohne die z-Achse, so handelt es sich um Polarkoordinaten.

Die Koordinaten und Einheitsvektoren der verschiedenen Koordinatensysteme können mit Hilfe von Transformationsgleichungen ineinander umgerechnet werden (siehe hierzu Formelsammlung Koordinatensysteme). Möchte man beispielsweise den Wert x in kartesischen Koordinaten eines in Zylinderkoordinaten gegebenen Punktes P(\rho,\varphi,z) ermitteln, so bietet sich die Verwendung trigonometrischer Funktionen an. Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass \rho der Hypotenuse und x der Ankathete in Bezug auf das durch \varphi gegebene rechtwinklige Dreieck entspricht. Damit gilt:

\cos\varphi = \frac{x}{\rho}\,\Rightarrow\, x = \rho \cos\varphi

Für die y-Koordinate kann analog verfahren werden und die z-Koordinate bleibt erhalten. Umgekehrt lassen sich auch Zylinderkoordinaten aus gegebenen kartesischen Koordinaten berechnen, die entsprechenden Transformationsgleichungen sind in der folgenden Tabelle angegeben:

Umrechnung von Zylinder-
in kartesische Koordinaten

\begin{align} x &= \rho \cos \varphi& &\text{mit}& 0 &\leq \rho < \infty \end{align}

Umrechnung von kartesischen-
in Zylinderkoordinaten

\begin{align} \rho &=\sqrt{x^2+y^2} \end{align}

\begin{align} y &= \rho \sin \varphi& &\text{mit}& 0 &\leq \varphi < 2 \pi \end{align}

\begin{align} \varphi &=\arctan\frac{y}{x}\ \text{wenn}\ x>0 \end{align}

\begin{align} z &= z& && && && &\text{mit}& -\infty &\leq z\leq\infty \end{align}

\begin{align} z &=z \end{align}

Aus der Abbildung wird außerdem ersichtlich, dass der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten wie folgt beschrieben wird:

\vec{\textbf{r}} = \rho\,\vec{\textbf{e}}_\rho + z\,\vec{\mathbf{e}}_\mathrm{z}

Eine differentielle (infinitesimale) Änderung des Ortsvektors \mathrm{d}\vec{\textbf{r}} ausgehend vom Punkt P um \mathrm{d}\rho, \mathrm{d}\varphi, \mathrm{d}z wird wie folgt beschrieben:

\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\rho \mathrm{d}\rho + \vec{\textbf{e}}_\varphi \rho \mathrm{d}\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{d}z

Für weitere Umrechnungen und Zusammenhänge wird auf die Formelsammlung Koordinatensysteme verwiesen.

Je nachdem, in welchen Bereichen (Intervallen) sich die Koordinaten bewegen, werden verschiedene Linien-, Flächen- und Volumenelemente beschrieben. Hält man z. B. alle Koordinaten bis auf \varphi konstant, so ergeben sich Kreise (vgl. Koordinatenlinien). Zur Verdeutlichung dieser Zusammenhänge kann das unten eingebundene Applet verwendet werden.

Beispiel: Elektrisches Feld einer Linienladung

Das elektrische Feld einer Linienladung \lambda zeigt radialsymmetrisch in den Raum und ist nur vom Abstand \rho abhängig.

Linienladung und E-feld.svg


Damit kann die elektrische Feldstärke \vec{\textbf{E}} besonders kompakt in Zylinderkoordinaten angegeben werden:

\vec{\textbf{E}}(\rho) = \frac{\lambda}{2\pi\rho\varepsilon_0} \vec{\textbf{e}}_\rho

Applet

Applet Zylinderkoordinaten

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringCylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich)

http://demonstrations.wolfram.com/CylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

Link.png

http://www.math.wpi.edu/Course_Materials/MA2251C99/images/cylndrcl.gif Bild zu infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinatensystem

http://lh5.ggpht.com/_XvrTyMj5b-k/SaH0PTc-qWI/AAAAAAAAFnM/YYo0W-gT_5I/controlvolumecylindricalcontinuity5.png Bild zu einem infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinaten

http://scientificsentence.net/Electromagnetics/index.php?key=yes&Integer=Cylindrical Bild und Erläuterung zu den Einheitsvektoren im Zylinderkoordinatensystem (engl.)

Literatur

  • Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
Abgerufen von „https://getwww.uni-paderborn.de/wiki/geta/index.php?title=Zylinderkoordinaten&oldid=7077“