Volumenelemente: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 29. August 2012, 22:59 Uhr
Infinitesimale Volumenelemente sind beliebig kleine Teilelemente eines Volumens, das meist mit bezeichnet wird. Volumenelemente werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Volumenintegralen benötigt. Prinzipiell handelt es sich um eine konsequente Fortsetzung der Beschreibung infinitesimaler Weg- und Flächenelemente. Infinitesimale Volumenelemente werden meist mit
bezeichnet.
Da einem Volumen keine Richtung zugeordnet werden kann, tritt dieses Element immer nur als Betrag auf.
Ein infinitesimales Volumenelement ergibt sich gemäß der bekannten Regel „Grundfläche multipliziert mit der Höhe“, wobei die Grundfläche nun ein infinitesimales Flächenelement und die Höhe ein infinitesimales Wegelement darstellt. Somit ergibt sich ein infinitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten wie folgt:
In der nachfolgenden Abbildung wird die Bestimmung eines infinitesimalen Volumenelements in Zylinderkoordinaten verdeutlicht:
Im Artikel Flächenelemente wurde bereits die Bestimmung einer infinitesimalen Kreisringfläche beschrieben. Die Fläche muss nun noch mit dem infinitesimalen Wegstück (entspricht der „Höhe“) multipliziert werden, so dass hier folgt:
Ein Volumenelement in Kugelkoordinaten ergibt sich durch eine analoge Vorgehensweise, wobei hier nun mehrere gekrümmte Konturelemente zu berücksichtigen sind. Die nachfolgende Grafik verdeutlicht die Vorgehensweise:
Eine Übersicht dieser und weiterer Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der Formelsammlung Koordinatensysteme.
![]() In diesem Beispiel ist eine konstante Raumladungsdichte Ein Volumenelement in kartesischen Koordinaten wird wie folgt beschrieben: Es kann direkt in die Gleichung eingesetzt und das Integral gelöst werden. Da die Raumladungsdichte Damit folgt für die Gesamtladung: |
![]() Im zweiten Beispiel wird eine eine kugelförmige und konstante Raumladungsdichte Um über das gesamte Kugelvolumen zu integrieren, müssen die Integrationsgrenzen wie folgt gewählt werden (vgl. Kugelkoordinaten): Außerdem muss das Differntial in Kugelkoordinaten angegeben werden: Durch Einsetzen folgt: Da es sich bei Somit wird die Raumladungsdichte mit dem Volumen einer Kugel mit dem Radius Weitere Hinweise finden sich im Artikel zur Lösung von Mehrfachintegralen. |
Multimediale Lehrmaterialien
http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073451342/student_view0/chapter13/section6/cylindrical_coordinates__app_.html Darstellung von infinitesimalen Volumenelementen in Zylinderkoordinaten (engl.) |
Hilfreiche Links
http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.) |
Literatur
- Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
- Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
- Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
- Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
- Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg
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