Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 24. August 2012, 12:16 Uhr

To-do:

  • Einleitung etwas plausibler (es gibt doch genügend Beispiele)
  • Formulierungen überarbeiten (insbes. fett)
  • Hinweise zur Integrationsrichtung einfügen
  • x-Achse im Bild "Raumladung einer Kugel" verlängern (sieht sonst perspektivisch falsch aus) und Farbton ändern
  • Integration über Stromdichte mit zum Durchflutungsgesetz schreiben und darauf eingehen, da dann sowohl ein Kontur und ein Flächenintergral abgedeckt wird.
  • Angeben, warum eine Richtungsangabe bei Volumenelementen keinen Sinn macht
  • Verbesserung der Beispiele
  • Grafik "Volumenelement in kartesischen Koordinaten" perspektivisch verbessern
  • Grafik "Volumenelement in Kugelkoordinaten" perspektivisch verbessern
  • Formelsammlung/Tabelle hinzufügen
  • Teilartikel trennen!
Durchflutungsgesetz

Viele wichtige Zusammenhänge in der Elektrotechnik sind mit Integralsätzen formuliert, wie zum Beispiel der Satz von Gauß, das Durchflutungsgesetz oder das Induktionsgesetz. Dabei wird immer über eine Kontur oder eine Fläche integriert. Um diese Konturen oder Flächen richtig zu beschreiben benötigt man infinitesimale (Herkunft des Wortes) Elemente.

Betrachtet man das Durchflutungsgesetz, welches das Linienintegral der magnetischen Feldstärke um eine geschlossene Kurve C in Beziehung zum Strom setzt, der durch die von dieser Kurve eingeschlossene Fläche fließt (Satz endet nicht richtig):

\oint_C \vec{\mathbf{H}}\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}=I

An dieser Stelle soll es aber unter anderem um das Wegelement \mathrm{d}\vec{\mathbf{s}} gehen. Man erkennt in den jeweiligen Integralen, ob man über einen Weg, eine Fläche oder ein Volumen integriert, indem man das Differential am Ende des Integrals betrachtet. Es kann die Fom \mathrm{d}s,\mathrm{d}A oder \mathrm{d}V annehmen.

Übersicht

Wegelemente

Zur Berechnung von werden infinitesimal kleine Wegstücke benötigt, die die Richtung des zu integrierenden Weges anzeigen. Für die meisten Linienintegrale wird das differenzielle Wegelement \mathrm{d}\vec{\mathbf{r}} benötigt. Es enthält die wichtige Information über die Richtung der Kurve in einem bestimmten Punkt, also die Richtung der Tangente in diesem Kurvenpunkt. Beim Arbeitsintegral ist es wichtig zu wissen, wie der Weg zur Kraftrichtung verläuft. Das differenzielle Wegelement lässt sich durch Differenziation in die drei Koordinatenrichtungen ermitteln.

Linienladung Gerade.svg
Flächenelemente

Für die meisten Flächenintegrale wird das differenzielle Flächenelement \mathrm{d}\vec{\mathbf{A}} benötigt. Es enthält die wichtige Information über Größe und „Richtung“ des Flächenelementes an einem bestimmten Punkt der Fläche. Praktisch wird das Kreuzprodukt der beiden Richtungstangenten gebildet.


Flaechenelement.svg
Volumenelemente

Das differenzielle Volumenelement \mathrm{d}V wird benötigt zur Beschreibung des Volumens und zur Lösung des Volumenintegrals.

Volumenelement Zylinder.svg

Literatur

  • Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
  • Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
  • Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
  • Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
  • Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg
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