Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht: Unterschied zwischen den Versionen
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Koordinatensysteme werden zur eindeutigen Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen (z. B. Ladungen oder stromführende Leiter) im Raum verwendet und ermöglichen erst die eindeutige Formulierung von [[Vektorrechnung:Übersicht|Vektoren]]. Weiterhin lassen sich ortsabhängige Größen wie beispielsweise elektrische und magnetische Felder beschreiben. In der Lehrverstaltung sind neben den bekannten [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] besonders [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] von Bedeutung. Auch bei diesen beiden Koordinatensystemen dient das kartesische Koordinatensystem jedoch immer als Referenz. In der Regel ist es vorteilhaft, ein auf die jeweilige Problemstellung „zugeschnittenes“ Koordinatensystem zu verwenden. Das elektrische Feld einer Punktladung <math>Q</math> ist beispielsweise radialsymmetrisch und der Betrag hängt ausschließlich vom Abstand <math>r</math> zur Punktladung ab, so dass sich die Verwendung von [[Kugelkoordinaten]] anbietet. Mit Hilfe eines entsprechenden [[Einheitsvektor|Einheitsvektors]] lässt sich die elektrische Feldstärke wie folgt angeben: | Koordinatensysteme werden zur eindeutigen Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen (z. B. Ladungen oder stromführende Leiter) im Raum verwendet und ermöglichen erst die eindeutige Formulierung von [[Vektorrechnung:Übersicht|Vektoren]]. Weiterhin lassen sich ortsabhängige Größen wie beispielsweise elektrische und magnetische Felder beschreiben. In der Lehrverstaltung sind neben den bekannten [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] besonders [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] von Bedeutung. Auch bei diesen beiden Koordinatensystemen dient das kartesische Koordinatensystem jedoch immer als Referenz. In der Regel ist es vorteilhaft, ein auf die jeweilige Problemstellung „zugeschnittenes“ Koordinatensystem zu verwenden. Das elektrische Feld einer Punktladung <math>Q</math> ist beispielsweise radialsymmetrisch und der Betrag hängt ausschließlich vom Abstand <math>r</math> zur Punktladung ab, so dass sich die Verwendung von [[Kugelkoordinaten]] anbietet. Mit Hilfe eines entsprechenden [[Einheitsvektor|Einheitsvektors]] lässt sich die elektrische Feldstärke wie folgt angeben: | ||
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\vec{\textbf{E}} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 (x^2+y^2+z^2)}\, (\vec{\textbf{e}}_x \sin\vartheta\cos\varphi +\vec{\textbf{e}}_y \sin\vartheta\sin\varphi +\vec{\textbf{e}}_z\cos\vartheta) | \vec{\textbf{E}} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 (x^2+y^2+z^2)}\, (\vec{\textbf{e}}_x \sin\vartheta\cos\varphi +\vec{\textbf{e}}_y \sin\vartheta\sin\varphi +\vec{\textbf{e}}_z\cos\vartheta) | ||
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| − | Mit Hilfe von [ | + | Mit Hilfe von [[trigonometrische Funktionen|trigonometrischen Funktionen]] können auch die aus dem Kugelkoordinatensystem stammenden Winkel <math>\varphi</math> und <math>\vartheta</math> ersetzt werden, so dass die Gleichung nur noch von <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> abhängt. Dadurch wird der Ausdruck noch umfangreicher. Eine „geschickte“ Wahl des Koordinatensystems kann außerdem zu erheblichen Vereinfachungen führen, beispielsweise bei der Bestimmung von Feldgrößen auf Basis von [[Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht|Mehrfachintegralen]]. Diesbezüglich ist es oft vorteilhaft, wenn der Koordinatenursprung – sofern frei wählbar – passend zu den Symmetrieeigenschaften einer Anordnung positioniert wird. |
Bei den vorgestellten Koordinatensystemen handelt es sich um '''orthogonale Koordinatensysteme'''. Dabei stehen die in Richtung wachsender Koordinatenwerte zeigenden Einheitsvektoren senkrecht aufeinander. Werden diese allgemein mit <math>\vec{\textbf{e}}_1</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_2</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_3</math> bezeichnet, so folgt mit dem [[Skalarprodukt]]: | Bei den vorgestellten Koordinatensystemen handelt es sich um '''orthogonale Koordinatensysteme'''. Dabei stehen die in Richtung wachsender Koordinatenwerte zeigenden Einheitsvektoren senkrecht aufeinander. Werden diese allgemein mit <math>\vec{\textbf{e}}_1</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_2</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_3</math> bezeichnet, so folgt mit dem [[Skalarprodukt]]: | ||
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\vec{\textbf{e}}_3 \cdot \vec{\textbf{e}}_1 = 0 | \vec{\textbf{e}}_3 \cdot \vec{\textbf{e}}_1 = 0 | ||
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| − | Da die [[Koordinatenlinien]] bei den [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] nicht geradlinig verlaufen, werden diese als '''krummlinige orthogonale''' | + | Da die [[Koordinatenlinien]] bei den [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] nicht geradlinig verlaufen, werden diese als '''krummlinige orthogonale Koordinatensysteme''' bezeichnet. Bei dem kartesischen Koordinatensystem handelt es sich also um ein geradliniges orthogonales Koordinatensystem. Darüber hinaus handelt es sich um [[Rechtssystem|Rechtssysteme]] (prinzipiell sind auch andere Konventionen möglich), so dass das [[Vektorprodukt]] von zwei aufeinander folgenden Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor liefert: |
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\vec{\textbf{e}}_1 \times \vec{\textbf{e}}_2 = \vec{\textbf{e}}_3,\quad | \vec{\textbf{e}}_1 \times \vec{\textbf{e}}_2 = \vec{\textbf{e}}_3,\quad | ||
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Die nachfolgende Tabelle zeigt eine Übersicht der verschiedenen Koordinatensysteme. | Die nachfolgende Tabelle zeigt eine Übersicht der verschiedenen Koordinatensysteme. | ||
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| − | Bei dem kartesischen Koordinatensystem wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> beschrieben. Die Koordinatenachsen sind geradlinig und orthogonal zueinander angeordnet, so dass diese ein [[Rechtssystem]] bilden. Der Schnittpunkt der Achsen wird Koordinatenursprung genannt. Die Einheitsvektoren zeigen immer in die Richtung der jeweils zugehörigen Achse und in Richtung wachsender Koordinatenwerte | + | Bei dem kartesischen Koordinatensystem wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> beschrieben. Die Koordinatenachsen sind geradlinig und orthogonal zueinander angeordnet, so dass diese ein [[Rechtssystem]] bilden. Der Schnittpunkt der Achsen, an dem alle Koordinaten den Wert Null haben, wird Koordinatenursprung genannt. Die Einheitsvektoren zeigen immer in die Richtung der jeweils zugehörigen Achse und in Richtung wachsender Koordinatenwerte, so dass diese an jedem Punkt im Raum identisch sind. |
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<math>P=P(x,y,z)</math><br> | <math>P=P(x,y,z)</math><br> | ||
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<math>-\infty\leq y\leq\infty</math><br> | <math>-\infty\leq y\leq\infty</math><br> | ||
<math>-\infty\leq z\leq\infty</math> | <math>-\infty\leq z\leq\infty</math> | ||
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<math>0 \leq \varphi < 2\pi</math><br> | <math>0 \leq \varphi < 2\pi</math><br> | ||
<math>-\infty \leq z \leq\infty</math> | <math>-\infty \leq z \leq\infty</math> | ||
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| − | Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>r</math>, <math>\ | + | Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>r</math>, <math>\vartheta</math> und <math>\varphi</math> beschrieben. Dabei bezeichnet <math>r</math> den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. <math>\vartheta</math> gibt den Winkel zwischen der positiven <math>z</math>-Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden Ortsvektor an. Der Winkel <math>\varphi</math> wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt, also ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse. Die Richtung der Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_r</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\vartheta</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Alle Punkte mit identischem <math>\vartheta</math> liegen auf einem „Breitengrad” und Punkte mit identischem <math>\varphi</math> liegen auf einem „Längengrad“. |
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| − | <math>P=P(r,\ | + | <math>P=P(r,\vartheta,\varphi)</math> |
<math>0\leq r\leq\infty</math><br> | <math>0\leq r\leq\infty</math><br> | ||
| + | <math>0\leq \vartheta\leq\pi</math> | ||
<math>0\leq \varphi < 2\pi</math><br> | <math>0\leq \varphi < 2\pi</math><br> | ||
| − | + | |style="background-color:#dde6f3"|[[Image:Kugelkoordinaten.png|center|miniatur|Kugelkoordinaten]] | |
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Aktuelle Version vom 24. Oktober 2013, 16:28 Uhr
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Einführung
Koordinatensysteme werden zur eindeutigen Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen (z. B. Ladungen oder stromführende Leiter) im Raum verwendet und ermöglichen erst die eindeutige Formulierung von Vektoren. Weiterhin lassen sich ortsabhängige Größen wie beispielsweise elektrische und magnetische Felder beschreiben. In der Lehrverstaltung sind neben den bekannten kartesischen Koordinaten besonders Zylinder- und Kugelkoordinaten von Bedeutung. Auch bei diesen beiden Koordinatensystemen dient das kartesische Koordinatensystem jedoch immer als Referenz. In der Regel ist es vorteilhaft, ein auf die jeweilige Problemstellung „zugeschnittenes“ Koordinatensystem zu verwenden. Das elektrische Feld einer Punktladung 
ist beispielsweise radialsymmetrisch und der Betrag hängt ausschließlich vom Abstand 
zur Punktladung ab, so dass sich die Verwendung von Kugelkoordinaten anbietet. Mit Hilfe eines entsprechenden Einheitsvektors lässt sich die elektrische Feldstärke wie folgt angeben:
Die äquivalente Beschreibung in kartesischen Koordinaten ist weniger kompakt und lautet wie folgt (vgl. Formelsammlung Koordinatensysteme):
Mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen können auch die aus dem Kugelkoordinatensystem stammenden Winkel 
und 
ersetzt werden, so dass die Gleichung nur noch von 
, 
und 
abhängt. Dadurch wird der Ausdruck noch umfangreicher. Eine „geschickte“ Wahl des Koordinatensystems kann außerdem zu erheblichen Vereinfachungen führen, beispielsweise bei der Bestimmung von Feldgrößen auf Basis von Mehrfachintegralen. Diesbezüglich ist es oft vorteilhaft, wenn der Koordinatenursprung – sofern frei wählbar – passend zu den Symmetrieeigenschaften einer Anordnung positioniert wird.
Bei den vorgestellten Koordinatensystemen handelt es sich um orthogonale Koordinatensysteme. Dabei stehen die in Richtung wachsender Koordinatenwerte zeigenden Einheitsvektoren senkrecht aufeinander. Werden diese allgemein mit 
, 
und 
bezeichnet, so folgt mit dem Skalarprodukt:
Da die Koordinatenlinien bei den Zylinder- und Kugelkoordinaten nicht geradlinig verlaufen, werden diese als krummlinige orthogonale Koordinatensysteme bezeichnet. Bei dem kartesischen Koordinatensystem handelt es sich also um ein geradliniges orthogonales Koordinatensystem. Darüber hinaus handelt es sich um Rechtssysteme (prinzipiell sind auch andere Konventionen möglich), so dass das Vektorprodukt von zwei aufeinander folgenden Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor liefert:
Die nachfolgende Tabelle zeigt eine Übersicht der verschiedenen Koordinatensysteme.
Übersicht
| Kartesische Koordinaten
Bei dem kartesischen Koordinatensystem wird ein Punkt |
|
|
| Zylinderkoordinaten
Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt |
|
|
| Kugelkoordinaten
Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt |
|
im Raum durch die drei Koordinaten 
, 
und 
hängt von der Position des betrachteten Punktes ab. Betrachtet man ausschließlich die 
, 
und 
