Kugelkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

Aus GET A
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
(43 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
−
To-do:
+
{{Navigation|before=[[Zylinderkoordinaten]]|overview=[[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Orthogonale Koordinatensysteme]]|next=[[Differentialquotient]]}}
−
* Formulierungen überarbeiten
 
−
* 2x das gleiche Bild?
 
−
* Zusammenhang zu krummlinigen orthogonalen Koordinatensystemen „auflösen“
 
−
----
 
−
'''Neu'''
 
−
----
 
 
[[Image:Kugelkoordinaten.png|300px|thumb|Kugelkoordinaten]]
 
[[Image:Kugelkoordinaten.png|300px|thumb|Kugelkoordinaten]]
  
 
Das Kugelkoordinatensystem ermöglicht insbesondere dann eine kompakte Beschreibung von Positionen und gerichteten Größen im Raum, wenn man es mit kugelförmigen Anordnungen zu tun hat. Das elektrische Feld einer Punktladung, die näherungsweise als kugelförmig angenommen werden kann, lässt sich zum Beispiel wesentlich einfacher in Kugel- als in kartesischen Koordinaten beschreiben (vgl. [[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Einführung in der Übersicht zu orthogonalen Koordinatensystemen]] sowie [[Lösung vektorieller Mehrfachintegrale]]). Es gibt einige weitere Beispiele wie etwa die Beschreibung des elektrischen Feldes einer kugelförmigen Raumladung. Bei dem Kugelkoordinatensystem handelt es sich um ein [[Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme|krummliniges orthogonales Koordinatensystem]].
 
Das Kugelkoordinatensystem ermöglicht insbesondere dann eine kompakte Beschreibung von Positionen und gerichteten Größen im Raum, wenn man es mit kugelförmigen Anordnungen zu tun hat. Das elektrische Feld einer Punktladung, die näherungsweise als kugelförmig angenommen werden kann, lässt sich zum Beispiel wesentlich einfacher in Kugel- als in kartesischen Koordinaten beschreiben (vgl. [[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Einführung in der Übersicht zu orthogonalen Koordinatensystemen]] sowie [[Lösung vektorieller Mehrfachintegrale]]). Es gibt einige weitere Beispiele wie etwa die Beschreibung des elektrischen Feldes einer kugelförmigen Raumladung. Bei dem Kugelkoordinatensystem handelt es sich um ein [[Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme|krummliniges orthogonales Koordinatensystem]].
  
−
Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>r</math>, <math>\varphi</math> und <math>\vartheta</math> beschrieben. Dabei bezeichnet <math>r</math> den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. Der Winkel <math>\varphi</math> wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt, also ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse. <math>\vartheta</math> gibt den Winkel zwischen der positiven <math>z</math>-Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden Ortsvektor an. Der Winkel durchläuft dabei den Wertebereich <math>0\leq\vartheta\leq\pi</math>, so dass der positiven <math>z</math>-Achse der Wert <math>\vartheta=0</math> und der negativen <math>z</math>-Achse der Wert <math>\vartheta=\pi</math> zugeordnet ist ('''Achtung''': Fälschlicherweise wird häufig ein Wertebereich von <math>0\leq\vartheta\leq 2\pi</math> angenommen). Betrachtet man die [[Koordinatenfläche]] <math>r = \mathrm{konstant}</math>, so entspricht diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Alle Punkte mit identischem <math>\varphi</math> liegen dabei auf einem „Längengrad” und Punkte mit identischem <math>\vartheta</math> liegen auf einem „Breitengrad“.
+
Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>r</math>, <math>\vartheta</math> und <math>\varphi</math> beschrieben. Dabei bezeichnet <math>r</math> den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. <math>\vartheta</math> gibt den Winkel zwischen der positiven <math>z</math>-Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden [[Ortsvektor]] an. Der Winkel durchläuft dabei den Wertebereich <math>0\leq\vartheta\leq\pi</math>, so dass der positiven <math>z</math>-Achse der Wert <math>\vartheta=0</math> und der negativen <math>z</math>-Achse der Wert <math>\vartheta=\pi</math> zugeordnet ist (<span style="color:red;">'''Achtung:''' Fälschlicherweise wird häufig ein Wertebereich von <math>0\leq\vartheta\leq 2\pi</math> angenommen</span>). Der Winkel <math>\varphi</math> wird wie bei den [[Zylinderkoordinaten]] gezählt, also ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse. Betrachtet man die [[Koordinatenfläche]] <math>r = \mathrm{konstant}</math>, so entspricht diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Alle Punkte mit identischem <math>\vartheta</math> liegen dabei auf einem „Breitengrad” und Punkte mit identischem <math>\varphi</math> liegen auf einem „Längengrad“.
 +
 
 +
Die Richtung der [[Einheitsvektoren]] <math>\vec{\textbf{e}}_r</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\vartheta</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht, dass <math>\vec{\mathbf{e}}_\vartheta</math> und <math>\vec{\mathbf{e}}_\varphi</math> immer tangential zu den Kreisbögen der <math>\vartheta</math>-[[Koordinatenlinie]] bzw. <math>\varphi</math>-Koordinatenlinie im Punkt <math>P</math> verlaufen und <math>\vec{\textbf{e}}_r</math> immer in Richtung des Ortsvektors <math>\vec{\textbf{r}}</math> zeigt.
 +
 
 +
Die Koordinaten und Einheitsvektoren der verschiedenen Koordinatensysteme können mit Hilfe von Transformationsgleichungen ineinander umgerechnet werden (siehe hierzu [[Formelsammlung Koordinatensysteme]]). Möchte man beispielsweise den Wert <math>x</math> in [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] eines in Kugelkoordinaten gegebenen Punktes <math>P(r,\varphi,\vartheta)</math> ermitteln, so bietet sich die Verwendung [[Trigonometrische Funktionen|trigonometrischer Funktionen]] an. Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass hierzu zunächst die Strecke <math>\rho</math> in der <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene zu bestimmen ist:
 +
:<math>
 +
\rho = r \sin \vartheta
 +
</math>
 +
Weiterhin ist ersichtlich, dass <math>\rho</math> der Hypotenuse und <math>x</math> der Ankathete in Bezug auf das durch <math>\varphi</math> gegebene rechtwinklige Dreieck entspricht. Damit gilt:
 +
:<math>
 +
x = \rho \cos\varphi
 +
</math>
 +
Setzt man nun <math>\rho</math> in die untere Gleichung ein, so erhält man:
 +
:<math>
 +
x = r \sin\vartheta \cos\varphi
 +
</math>
 +
Weitere Umrechnungen lassen sich analog herleiten und sind in der folgenden Tabelle angegeben:
 +
{|cellpadding="10"
 +
|rowspan="3" style="background-color:#dde6f3;"|Umrechnung von Kugel-<br> in kartesische Koordinaten
 +
|style="background-color:#c9d7ec"|<math>\begin{align}
 +
x & = r \sin\vartheta \cos\varphi &
 +
&& && &&
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
|rowspan="3" style="background-color:#dde6f3;"|Umrechnung von kartesischen-<br> in Kugelkoordinaten
 +
|style="background-color:#c9d7ec"|
 +
<math>
 +
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
 +
</math>
 +
|-
 +
|style="background-color:#c9d7ec"| <math>\begin{align}
 +
y& = r \sin\vartheta \sin\varphi &
 +
&& && && && && &&
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
|style="background-color:#c9d7ec"|
 +
<math>
 +
\vartheta=\arctan{\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}
 +
</math>
 +
|-
 +
|style="background-color:#c9d7ec"| <math>\begin{align}
 +
z &= r \cos\vartheta &
 +
& &
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
|style="background-color:#c9d7ec"|
 +
<math>\begin{align}
 +
\varphi=\arctan\frac{y}{x}&& \text{wenn} && x>0
 +
\end{align}</math>
 +
|}
 +
 
 +
Eine differentielle ([[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente|infinitesimale]]) Änderung des Ortsvektors <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}</math> ausgehend vom Punkt <math>P</math> um <math>\mathrm{d}r, \mathrm{d}\vartheta, \mathrm{d}\varphi</math> wird wie folgt beschrieben:
 +
:<math>
 +
\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} =
 +
\vec{\textbf{e}}_r \mathrm{d}r +
 +
\vec{\textbf{e}}_\vartheta r \mathrm{d}\vartheta +
 +
\vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi
 +
</math>
 +
 
 +
Für weitere Umrechnungen und Zusammenhänge wird auf die [[Formelsammlung Koordinatensysteme]] verwiesen.
 +
 
 +
Je nachdem, in welchen Bereichen (Intervallen) sich die Koordinaten bewegen, werden verschiedene Linien-, Flächen- und Volumenelemente beschrieben. Hält man z. B. alle Koordinaten bis auf <math>\varphi</math> konstant, so ergeben sich „Breitengrade“ (vgl. [[Koordinatenlinien]]). Zur Verdeutlichung dieser Zusammenhänge kann das unten eingebundene Applet verwendet werden.
  
−
Die Richtung der Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_r</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\vartheta</math> hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht, dass <math>\vec{\mathbf{e}}_\varphi</math> und <math>\vec{\mathbf{e}}_\vartheta</math> immer tangential zu den Kreisbögen der <math>\varphi</math>-[[Koordinatenlinie]] bzw. <math>\theta</math>-Koordinatenlinie im Punkt <math>P</math> verlaufen und <math>\vec{\textbf{e}}_r</math> immer in Richtung des Ortsvektors <math>\vec{\textbf{r}}</math> zeigt.
+
====Applet====
 +
[[Datei:Applet_Kugelkoordinaten.PNG|200px|gerahmt|links|verweis=Applet:Kugelkoordinaten|[[Applet:Kugelkoordinaten|Applet Kugelkoordinaten]]]]
  
 +
<div style="clear:left;"></div>
 +
 +
{{Beispiel
 +
|Titel=Elektrisches Feld einer Punktladung
 +
|Inhalt=
 +
Ein Beispiel zur Verwendung von Kugelkoordinaten zur Beschreibung des elektrischen Feldes einer Punktladung findet sich im Artikel zur [[Lösung vektorieller Mehrfachintegrale]].
 +
}}
 +
<!--
 
----
 
----
 
'''Alt'''
 
'''Alt'''
Zeile 22: Zeile 86:
 
[[Image:Kugelkoordinaten.png|300px|thumb|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]]
 
[[Image:Kugelkoordinaten.png|300px|thumb|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]]
 
</figure>
 
</figure>
−
<!--
+
 
 
Albachversion:
 
Albachversion:
 
[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten4.jpg|300px|thumb|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]]
 
[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten4.jpg|300px|thumb|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]]
−
-->
+
 
 
Kugelkoordinaten sind ähnlich wie [[Zylinderkoordinaten]] aufgebaut, nur dass sie anstelle der z-Koordinate einen weiteren Winkel <math>\vartheta</math> besitzen, der zwischen dem Punkt <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math>und der positiven z-Achse gemessen wird. Er kann folgende Werte annehmen:<math>0 \leq \vartheta \leq \pi</math>.  
 
Kugelkoordinaten sind ähnlich wie [[Zylinderkoordinaten]] aufgebaut, nur dass sie anstelle der z-Koordinate einen weiteren Winkel <math>\vartheta</math> besitzen, der zwischen dem Punkt <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math>und der positiven z-Achse gemessen wird. Er kann folgende Werte annehmen:<math>0 \leq \vartheta \leq \pi</math>.  
  
Zeile 100: Zeile 164:
 
Anschließend können mit obiger Gleichung, die analog zum ersten Schritt der  gerade gezeigten Rechnung verläuft, die Einheitsvektoren berechnet werden:
 
Anschließend können mit obiger Gleichung, die analog zum ersten Schritt der  gerade gezeigten Rechnung verläuft, die Einheitsvektoren berechnet werden:
 
{| cellpadding="10"
 
{| cellpadding="10"
−
| rowspan="3" style="background-color:#dde6f3;" |Einheitsvektoren
+
| rowspan="3" style="background-color:#dde6f3;" |[[Einheitsvektoren]]
 
| style="background-color:#c9d7ec"|<math>\vec{\textbf{e}}_1 = \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta </math>
 
| style="background-color:#c9d7ec"|<math>\vec{\textbf{e}}_1 = \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta </math>
 
|-
 
|-
Zeile 109: Zeile 173:
 
|}
 
|}
  
−
Auch bei den Kugelkoordinaten kann ein '''vektorielles Wegelement''' bestimmt werden:
+
Auch bei den Kugelkoordinaten kann ein '''vektorielles [[Wegelemente|Wegelement]]''' bestimmt werden:
  
 
:<math>
 
:<math>
Zeile 117: Zeile 181:
 
\vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi
 
\vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi
 
</math>
 
</math>
−
Ebenso wie das '''Volumenelement''':
+
Ebenso wie das '''[[Volumenelemente|Volumenelement]]''':
 
:<math>
 
:<math>
 
\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi
 
\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi
Zeile 123: Zeile 187:
  
 
{{Beispiel
 
{{Beispiel
−
|Titel=Berechnung des Ortsvektors in Kugelkoordinaten
+
|Titel=Berechnung des [[Ortsvektor|Ortsvektors]] in Kugelkoordinaten
 
|Inhalt=
 
|Inhalt=
 
[[Image:Kugelkoordinaten.png|300px|thumb|Der Ortsvektor <math>\vec{\mathbf{r}}</math> in Kugelkoordinaten]]
 
[[Image:Kugelkoordinaten.png|300px|thumb|Der Ortsvektor <math>\vec{\mathbf{r}}</math> in Kugelkoordinaten]]
  
−
<!--
 
 
Albachversion:
 
Albachversion:
−
[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten4.jpg|300px|thumb|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]]-->
+
[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten4.jpg|300px|thumb|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]]
−
Bei den Zylinderkoordinaten wurde schon gezeigt, dass sich der Ortsvektor in diesen Koordinaten übersichtlicher darstellen lässt, als in den kartesischen Koordinaten. Berechnet man den Ortsvektor in Kugelkoordinaten wird die Darstellung noch überschaubarer:
+
Bei den [[Zylinderkoordinaten]] wurde schon gezeigt, dass sich der Ortsvektor in diesen Koordinaten übersichtlicher darstellen lässt, als in den kartesischen Koordinaten. Berechnet man den Ortsvektor in Kugelkoordinaten wird die Darstellung noch überschaubarer:
  
 
Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt:
 
Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt:
Zeile 155: Zeile 218:
 
</math>
 
</math>
 
}}
 
}}
−
 
+
-->
  
 
{{Multimedia|Links=
 
{{Multimedia|Links=
 
http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ '''Applet''': Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich)
 
http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ '''Applet''': Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich)
−
 
−
http://www.pha.jhu.edu/~javalab/spherical/spherical.html '''Applet''': Punkt in Polarkoordinaten (engl.)
 
  
 
http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ '''Applet''': Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich)
 
http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ '''Applet''': Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich)
Zeile 171: Zeile 232:
 
}}
 
}}
  
 +
<noinclude>==Literatur==
 +
* Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
 +
</noinclude>
  
−
{{Navigation|before=[[Zylinderkoordinaten]]|overview=[[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Orthogonale Koordinatensysteme]]|next=[[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht]]}}
+
[[Kategorie:Artikel]]
 +
[[Kategorie:Feedback]]

Aktuelle Version vom 9. November 2017, 16:59 Uhr

← Zurück: Zylinderkoordinaten Übersicht: Orthogonale Koordinatensysteme Vorwärts: Differentialquotient →
Kugelkoordinaten

Das Kugelkoordinatensystem ermöglicht insbesondere dann eine kompakte Beschreibung von Positionen und gerichteten Größen im Raum, wenn man es mit kugelförmigen Anordnungen zu tun hat. Das elektrische Feld einer Punktladung, die näherungsweise als kugelförmig angenommen werden kann, lässt sich zum Beispiel wesentlich einfacher in Kugel- als in kartesischen Koordinaten beschreiben (vgl. Einführung in der Übersicht zu orthogonalen Koordinatensystemen sowie Lösung vektorieller Mehrfachintegrale). Es gibt einige weitere Beispiele wie etwa die Beschreibung des elektrischen Feldes einer kugelförmigen Raumladung. Bei dem Kugelkoordinatensystem handelt es sich um ein krummliniges orthogonales Koordinatensystem.

Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt P im Raum durch die drei Koordinaten r, \vartheta und \varphi beschrieben. Dabei bezeichnet r den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. \vartheta gibt den Winkel zwischen der positiven z-Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden Ortsvektor an. Der Winkel durchläuft dabei den Wertebereich 0\leq\vartheta\leq\pi, so dass der positiven z-Achse der Wert \vartheta=0 und der negativen z-Achse der Wert \vartheta=\pi zugeordnet ist (Achtung: Fälschlicherweise wird häufig ein Wertebereich von 0\leq\vartheta\leq 2\pi angenommen). Der Winkel \varphi wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt, also ausgehend von der positiven x-Achse in Richtung der positiven y-Achse. Betrachtet man die Koordinatenfläche r = \mathrm{konstant}, so entspricht diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Alle Punkte mit identischem \vartheta liegen dabei auf einem „Breitengrad” und Punkte mit identischem \varphi liegen auf einem „Längengrad“.

Die Richtung der Einheitsvektoren \vec{\textbf{e}}_r, \vec{\textbf{e}}_\vartheta und \vec{\textbf{e}}_\varphi hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht, dass \vec{\mathbf{e}}_\vartheta und \vec{\mathbf{e}}_\varphi immer tangential zu den Kreisbögen der \vartheta-Koordinatenlinie bzw. \varphi-Koordinatenlinie im Punkt P verlaufen und \vec{\textbf{e}}_r immer in Richtung des Ortsvektors \vec{\textbf{r}} zeigt.

Die Koordinaten und Einheitsvektoren der verschiedenen Koordinatensysteme können mit Hilfe von Transformationsgleichungen ineinander umgerechnet werden (siehe hierzu Formelsammlung Koordinatensysteme). Möchte man beispielsweise den Wert x in kartesischen Koordinaten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Punktes P(r,\varphi,\vartheta) ermitteln, so bietet sich die Verwendung trigonometrischer Funktionen an. Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass hierzu zunächst die Strecke \rho in der x-y-Ebene zu bestimmen ist:

\rho = r \sin \vartheta

Weiterhin ist ersichtlich, dass \rho der Hypotenuse und x der Ankathete in Bezug auf das durch \varphi gegebene rechtwinklige Dreieck entspricht. Damit gilt:

x = \rho \cos\varphi

Setzt man nun \rho in die untere Gleichung ein, so erhält man:

x = r \sin\vartheta \cos\varphi

Weitere Umrechnungen lassen sich analog herleiten und sind in der folgenden Tabelle angegeben:

Umrechnung von Kugel-
in kartesische Koordinaten 		\begin{align} x & = r \sin\vartheta \cos\varphi & && && && \end{align} Umrechnung von kartesischen-
in Kugelkoordinaten

r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

\begin{align} y& = r \sin\vartheta \sin\varphi & && && && && && && \end{align}

\vartheta=\arctan{\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}

\begin{align} z &= r \cos\vartheta & & & \end{align}

\begin{align} \varphi=\arctan\frac{y}{x}&& \text{wenn} && x>0 \end{align}

Eine differentielle (infinitesimale) Änderung des Ortsvektors \mathrm{d}\vec{\textbf{r}} ausgehend vom Punkt P um \mathrm{d}r, \mathrm{d}\vartheta, \mathrm{d}\varphi wird wie folgt beschrieben:

\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_r \mathrm{d}r + \vec{\textbf{e}}_\vartheta r \mathrm{d}\vartheta + \vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi

Für weitere Umrechnungen und Zusammenhänge wird auf die Formelsammlung Koordinatensysteme verwiesen.

Je nachdem, in welchen Bereichen (Intervallen) sich die Koordinaten bewegen, werden verschiedene Linien-, Flächen- und Volumenelemente beschrieben. Hält man z. B. alle Koordinaten bis auf \varphi konstant, so ergeben sich „Breitengrade“ (vgl. Koordinatenlinien). Zur Verdeutlichung dieser Zusammenhänge kann das unten eingebundene Applet verwendet werden.

Applet

Applet Kugelkoordinaten
Beispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung

Ein Beispiel zur Verwendung von Kugelkoordinaten zur Beschreibung des elektrischen Feldes einer Punktladung findet sich im Artikel zur Lösung vektorieller Mehrfachintegrale.

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich)

http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

Link.png

http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten

http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Allgemeine Einführung in die Polarkoordinaten (engl.)

Literatur

  • Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
Abgerufen von „https://getwww.uni-paderborn.de/wiki/geta/index.php?title=Kugelkoordinaten&oldid=7078“