Kugelkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen
Zeile 3: | Zeile 3: | ||
Das Kugelkoordinatensystem ermöglicht insbesondere dann eine kompakte Beschreibung von Positionen und gerichteten Größen im Raum, wenn man es mit kugelförmigen Anordnungen zu tun hat. Das elektrische Feld einer Punktladung, die näherungsweise als kugelförmig angenommen werden kann, lässt sich zum Beispiel wesentlich einfacher in Kugel- als in kartesischen Koordinaten beschreiben (vgl. [[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Einführung in der Übersicht zu orthogonalen Koordinatensystemen]] sowie [[Lösung vektorieller Mehrfachintegrale]]). Es gibt einige weitere Beispiele wie etwa die Beschreibung des elektrischen Feldes einer kugelförmigen Raumladung. Bei dem Kugelkoordinatensystem handelt es sich um ein [[Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme|krummliniges orthogonales Koordinatensystem]]. | Das Kugelkoordinatensystem ermöglicht insbesondere dann eine kompakte Beschreibung von Positionen und gerichteten Größen im Raum, wenn man es mit kugelförmigen Anordnungen zu tun hat. Das elektrische Feld einer Punktladung, die näherungsweise als kugelförmig angenommen werden kann, lässt sich zum Beispiel wesentlich einfacher in Kugel- als in kartesischen Koordinaten beschreiben (vgl. [[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Einführung in der Übersicht zu orthogonalen Koordinatensystemen]] sowie [[Lösung vektorieller Mehrfachintegrale]]). Es gibt einige weitere Beispiele wie etwa die Beschreibung des elektrischen Feldes einer kugelförmigen Raumladung. Bei dem Kugelkoordinatensystem handelt es sich um ein [[Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme|krummliniges orthogonales Koordinatensystem]]. | ||
− | Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>r</math>, <math>\varphi</math> und <math>\vartheta</math> beschrieben. Dabei bezeichnet <math>r</math> den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. Der Winkel <math>\varphi</math> wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt, also ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse. <math>\vartheta</math> gibt den Winkel zwischen der positiven <math>z</math>-Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden Ortsvektor an. Der Winkel durchläuft dabei den Wertebereich <math>0\leq\vartheta\leq\pi</math>, so dass der positiven <math>z</math>-Achse der Wert <math>\vartheta=0</math> und der negativen <math>z</math>-Achse der Wert <math>\vartheta=\pi</math> zugeordnet ist ('''Achtung''': Fälschlicherweise wird häufig ein Wertebereich von <math>0\leq\vartheta\leq 2\pi</math> angenommen). Betrachtet man die [[Koordinatenfläche]] <math>r = \mathrm{konstant}</math>, so entspricht diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Alle Punkte mit identischem <math>\varphi</math> liegen dabei auf einem „Längengrad” und Punkte mit identischem <math>\vartheta</math> liegen auf einem „Breitengrad“. | + | Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>r</math>, <math>\varphi</math> und <math>\vartheta</math> beschrieben. Dabei bezeichnet <math>r</math> den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. Der Winkel <math>\varphi</math> wird wie bei den [[Zylinderkoordinaten]] gezählt, also ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse. <math>\vartheta</math> gibt den Winkel zwischen der positiven <math>z</math>-Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden [[Ortsvektor]] an. Der Winkel durchläuft dabei den Wertebereich <math>0\leq\vartheta\leq\pi</math>, so dass der positiven <math>z</math>-Achse der Wert <math>\vartheta=0</math> und der negativen <math>z</math>-Achse der Wert <math>\vartheta=\pi</math> zugeordnet ist ('''Achtung''': Fälschlicherweise wird häufig ein Wertebereich von <math>0\leq\vartheta\leq 2\pi</math> angenommen). Betrachtet man die [[Koordinatenfläche]] <math>r = \mathrm{konstant}</math>, so entspricht diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Alle Punkte mit identischem <math>\varphi</math> liegen dabei auf einem „Längengrad” und Punkte mit identischem <math>\vartheta</math> liegen auf einem „Breitengrad“. |
− | Die Richtung der Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_r</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\vartheta</math> hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht, dass <math>\vec{\mathbf{e}}_\varphi</math> und <math>\vec{\mathbf{e}}_\vartheta</math> immer tangential zu den Kreisbögen der <math>\varphi</math>-[[Koordinatenlinie]] bzw. <math>\theta</math>-Koordinatenlinie im Punkt <math>P</math> verlaufen und <math>\vec{\textbf{e}}_r</math> immer in Richtung des Ortsvektors <math>\vec{\textbf{r}}</math> zeigt. | + | Die Richtung der [[Einheitsvektoren]] <math>\vec{\textbf{e}}_r</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\vartheta</math> hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht, dass <math>\vec{\mathbf{e}}_\varphi</math> und <math>\vec{\mathbf{e}}_\vartheta</math> immer tangential zu den Kreisbögen der <math>\varphi</math>-[[Koordinatenlinie]] bzw. <math>\theta</math>-Koordinatenlinie im Punkt <math>P</math> verlaufen und <math>\vec{\textbf{e}}_r</math> immer in Richtung des Ortsvektors <math>\vec{\textbf{r}}</math> zeigt. |
− | Die Koordinaten und Einheitsvektoren der verschiedenen Koordinatensysteme können mit Hilfe von Transformationsgleichungen ineinander umgerechnet werden (siehe hierzu [[Formelsammlung Koordinatensysteme]]). Möchte man beispielsweise den Wert <math>x</math> in kartesischen Koordinaten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Punktes <math>P(r,\varphi,\vartheta)</math> ermitteln, so bietet sich die Verwendung [[Trigonometrische Funktionen|trigonometrischer Funktionen]] an. Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass hierzu zunächst die Strecke <math>\rho</math> in der <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene zu bestimmen ist: | + | Die Koordinaten und Einheitsvektoren der verschiedenen Koordinatensysteme können mit Hilfe von Transformationsgleichungen ineinander umgerechnet werden (siehe hierzu [[Formelsammlung Koordinatensysteme]]). Möchte man beispielsweise den Wert <math>x</math> in [[kartesischen Koordinaten]] eines in Kugelkoordinaten gegebenen Punktes <math>P(r,\varphi,\vartheta)</math> ermitteln, so bietet sich die Verwendung [[Trigonometrische Funktionen|trigonometrischer Funktionen]] an. Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass hierzu zunächst die Strecke <math>\rho</math> in der <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene zu bestimmen ist: |
:<math> | :<math> | ||
\rho = r \sin \vartheta | \rho = r \sin \vartheta | ||
Zeile 148: | Zeile 148: | ||
Anschließend können mit obiger Gleichung, die analog zum ersten Schritt der gerade gezeigten Rechnung verläuft, die Einheitsvektoren berechnet werden: | Anschließend können mit obiger Gleichung, die analog zum ersten Schritt der gerade gezeigten Rechnung verläuft, die Einheitsvektoren berechnet werden: | ||
{| cellpadding="10" | {| cellpadding="10" | ||
− | | rowspan="3" style="background-color:#dde6f3;" |Einheitsvektoren | + | | rowspan="3" style="background-color:#dde6f3;" |[[Einheitsvektoren]] |
| style="background-color:#c9d7ec"|<math>\vec{\textbf{e}}_1 = \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta </math> | | style="background-color:#c9d7ec"|<math>\vec{\textbf{e}}_1 = \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta </math> | ||
|- | |- | ||
Zeile 157: | Zeile 157: | ||
|} | |} | ||
− | Auch bei den Kugelkoordinaten kann ein '''vektorielles Wegelement''' bestimmt werden: | + | Auch bei den Kugelkoordinaten kann ein '''vektorielles [[Wegelemente|Wegelement]]''' bestimmt werden: |
:<math> | :<math> | ||
Zeile 165: | Zeile 165: | ||
\vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi | \vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi | ||
</math> | </math> | ||
− | Ebenso wie das '''Volumenelement''': | + | Ebenso wie das '''[[Volumenelemente|Volumenelement]]''': |
:<math> | :<math> | ||
\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi | \mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi | ||
Zeile 171: | Zeile 171: | ||
{{Beispiel | {{Beispiel | ||
− | |Titel=Berechnung des Ortsvektors in Kugelkoordinaten | + | |Titel=Berechnung des [[Ortsvektor|Ortsvektors]] in Kugelkoordinaten |
|Inhalt= | |Inhalt= | ||
[[Image:Kugelkoordinaten.png|300px|thumb|Der Ortsvektor <math>\vec{\mathbf{r}}</math> in Kugelkoordinaten]] | [[Image:Kugelkoordinaten.png|300px|thumb|Der Ortsvektor <math>\vec{\mathbf{r}}</math> in Kugelkoordinaten]] | ||
Zeile 177: | Zeile 177: | ||
Albachversion: | Albachversion: | ||
[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten4.jpg|300px|thumb|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]] | [[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten4.jpg|300px|thumb|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]] | ||
− | Bei den Zylinderkoordinaten wurde schon gezeigt, dass sich der Ortsvektor in diesen Koordinaten übersichtlicher darstellen lässt, als in den kartesischen Koordinaten. Berechnet man den Ortsvektor in Kugelkoordinaten wird die Darstellung noch überschaubarer: | + | Bei den [[Zylinderkoordinaten]] wurde schon gezeigt, dass sich der Ortsvektor in diesen Koordinaten übersichtlicher darstellen lässt, als in den kartesischen Koordinaten. Berechnet man den Ortsvektor in Kugelkoordinaten wird die Darstellung noch überschaubarer: |
Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt: | Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt: |
Version vom 30. August 2012, 10:07 Uhr
Das Kugelkoordinatensystem ermöglicht insbesondere dann eine kompakte Beschreibung von Positionen und gerichteten Größen im Raum, wenn man es mit kugelförmigen Anordnungen zu tun hat. Das elektrische Feld einer Punktladung, die näherungsweise als kugelförmig angenommen werden kann, lässt sich zum Beispiel wesentlich einfacher in Kugel- als in kartesischen Koordinaten beschreiben (vgl. Einführung in der Übersicht zu orthogonalen Koordinatensystemen sowie Lösung vektorieller Mehrfachintegrale). Es gibt einige weitere Beispiele wie etwa die Beschreibung des elektrischen Feldes einer kugelförmigen Raumladung. Bei dem Kugelkoordinatensystem handelt es sich um ein krummliniges orthogonales Koordinatensystem.
Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt im Raum durch die drei Koordinaten , und beschrieben. Dabei bezeichnet den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. Der Winkel wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt, also ausgehend von der positiven -Achse in Richtung der positiven -Achse. gibt den Winkel zwischen der positiven -Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden Ortsvektor an. Der Winkel durchläuft dabei den Wertebereich , so dass der positiven -Achse der Wert und der negativen -Achse der Wert zugeordnet ist (Achtung: Fälschlicherweise wird häufig ein Wertebereich von angenommen). Betrachtet man die Koordinatenfläche , so entspricht diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Alle Punkte mit identischem liegen dabei auf einem „Längengrad” und Punkte mit identischem liegen auf einem „Breitengrad“.
Die Richtung der Einheitsvektoren , und hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht, dass und immer tangential zu den Kreisbögen der -Koordinatenlinie bzw. -Koordinatenlinie im Punkt verlaufen und immer in Richtung des Ortsvektors zeigt.
Die Koordinaten und Einheitsvektoren der verschiedenen Koordinatensysteme können mit Hilfe von Transformationsgleichungen ineinander umgerechnet werden (siehe hierzu Formelsammlung Koordinatensysteme). Möchte man beispielsweise den Wert in kartesischen Koordinaten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Punktes ermitteln, so bietet sich die Verwendung trigonometrischer Funktionen an. Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass hierzu zunächst die Strecke in der --Ebene zu bestimmen ist:
Weiterhin ist ersichtlich, dass der Hypotenuse und der Ankathete in Bezug auf das durch gegebene rechtwinklige Dreieck entspricht. Damit gilt:
Setzt man nun in die untere Gleichung ein, so erhält man:
Weitere Umrechnungen lassen sich analog herleiten und sind in der folgenden Tabelle angegeben:
Umrechnung von Kugel- in kartesische Koordinaten |
|
Eine differentielle (infinitesimale) Änderung des Ortsvektors ausgehend vom Punkt um wird wie folgt beschrieben:
Für weitere Umrechnungen und Zusammenhänge wird auf die Formelsammlung Koordinatensysteme verwiesen.
Je nachdem, in welchen Bereichen (Intervallen) sich die Koordinaten bewegen, werden verschiedene Linien-, Flächen- und Volumenelemente beschrieben. Hält man z. B. alle Koordinaten bis auf konstant, so ergeben sich „Breitengrade“ (vgl. Koordinatenlinien). Zur Verdeutlichung dieser Zusammenhänge kann das unten eingebundene Applet verwendet werden.
Applet
- Platzhalter Applet -
Multimediale Lehrmaterialien
http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich) http://www.pha.jhu.edu/~javalab/spherical/spherical.html Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl.) http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich) |
Hilfreiche Links
http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Allgemeine Einführung in die Polarkoordinaten (engl.) |
← Zurück: Zylinderkoordinaten | Übersicht: Orthogonale Koordinatensysteme | Vorwärts: Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht → |