Formelsammlung Koordinatensysteme: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. August 2012, 10:21 Uhr

	Kartesische Koordinaten	Zylinderkoordinaten	Kugelkoordinaten
Einheitsvektoren	$\vec{\mathbf{e}}_x,\vec{\mathbf{e}}_y,\vec{\mathbf{e}}_z$	$\vec{\mathbf{e}}_{\rho},\vec{\mathbf{e}}_{\varphi},\vec{\mathbf{e}}_z$	$\vec{\mathbf{e}}_r, \vec{\mathbf{e}}_{\vartheta},\vec{\mathbf{e}}_{\varphi}$
Kreuzprodukt	$\vec{\mathbf{e}}_x\times\vec{\mathbf{e}}_y =\vec{\mathbf{e}}_z,\quad \vec{\mathbf{e}}_y\times \vec{\mathbf{e}}_z =\vec{\mathbf{e}}_x,\quad \vec{\mathbf{e}}_z \times\vec{\mathbf{e}}_x =\vec{\mathbf{e}}_y$	$\vec{\mathbf{e}}_{\rho}\times\vec{\mathbf{e}}_{\varphi}=\vec{\mathbf{e}}_z,\quad \vec{\mathbf{e}}_{\varphi}\times \vec{\mathbf{e}}_z=\vec{\mathbf{e}}_{\rho},\quad \vec{\mathbf{e}}_z \times\vec{\mathbf{e}}_{\rho}=\vec{\mathbf{e}}_{\varphi}$	$\vec{\mathbf{e}}_r\times\vec{\mathbf{e}}_{\vartheta}=\vec{\mathbf{e}}_{\varphi},\quad \vec{\mathbf{e}}_{\vartheta}\times \vec{\mathbf{e}}_{\varphi}=\vec{\mathbf{e}}_r,\quad \vec{\mathbf{e}}_{\varphi} \times\vec{\mathbf{e}}_r=\vec{\mathbf{e}}_{\vartheta}$
Zusammenhang mit den kartesischen Koordinaten		$\begin{align} x &=\rho\cos{\varphi} && && 0\leq\rho\leq\infty\\ y &=\rho\sin{\varphi} &&\text{mit}&& 0\leq\varphi\leq2\pi\\ z &=z \end{align}$	$\begin{align}x &=r\sin{\vartheta}\cos{\varphi} && && 0\leq r \leq\infty\\ y &=r\sin{\vartheta}\sin{\varphi} &&\text{mit}&& 0\leq\vartheta\leq \pi\\ z &=r\cos{\vartheta} && && 0\leq\varphi\leq 2\pi \end{align}$
Umrechnungen
Ortsvektor
Betrag des Ortsvektors
vektorielles Wegelement
Volumenelement
vektorielles Flächenelement

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 \vec{\mathbf{e}}_{\varphi} \times\vec{\mathbf{e}}_r=\vec{\mathbf{e}}_{\vartheta}</math>
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-|style="background-color:#dde6f3"|Zusammenhang mit den kartesischen Koordinaten
+|style="background-color:#dde6f3"|
+Zusammenhang mit den kartesischen Koordinaten
 |style="background-color:#c9d7ec;text-align:center;"|
 |style="background-color:#dde6f3;text-align:center;"|
+<math>\begin{align}
+x &=\rho\cos{\varphi} &&          && 0\leq\rho\leq\infty\\
+y &=\rho\sin{\varphi} &&\text{mit}&& 0\leq\varphi\leq2\pi\\
+z &=z
+\end{align} </math>
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+<math>\begin{align}x &=r\sin{\vartheta}\cos{\varphi} &&          && 0\leq r \leq\infty\\
+y &=r\sin{\vartheta}\sin{\varphi} &&\text{mit}&& 0\leq\vartheta\leq \pi\\
+z &=r\cos{\vartheta}              &&          && 0\leq\varphi\leq 2\pi
+\end{align} </math>
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 |style="background-color:#dde6f3"|Umrechnungen