Das Linienintegral

To-do:

• Einleitung etwas plausibler (es gibt doch genügend Beispiele)
• Formulierungen überarbeiten (insbes. fett)

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In der Elektrotechnik hat man häufig das Problem, dass die zu integrierende Größe einer Anordnung nicht geradlinig verläuft (Formulierung). Ein Beispiel hierfür ist die Berechnung des Potentials zwischen zwei Punkten mit Hilfe des elektrischen Feldes (welches auch inhomogen sein kann, sodass der Weg zwischen den Punkten nicht mehr beliebig wählbar ist (unklar!)). Ist der Weg nun gebogen, oder anders verformt braucht man das Linienintegral, um solche Anordnungen berechnen zu können. Ein anderes Anwendungsbeispiel ist die Ermittlung der elektrischen Energie über die Integralform.

Um solch ein Linienintegral zu bestimmen, ist die Betrachtung über die infinitesimalen Wegelemente hilfreich: Hier wählt man eine Funktion von z. B. zwei Veränderlichen f(x,y) entlang eines zwischen den Endpunkten $P_A$ und $P_B$ liegenden Kurvenbogens der Kontur C. Integrale können von einer Variablen, aber genauso gut von zwei oder mehr Veränderlichen abhängen. Solche Dinge ergeben sich meistens aus den konkreten Aufgabenstellungen. Für diese Betrachtung wird der Kurvenbogen C in n Teilstücke $\Delta s_i$ mit i = 1 ... n zerlegt und auf jedem Teilstück wird ein Punkt $P_i$ mit den Koordinaten $x_i, y_i$ bestimmt.

Berechnung des Linienintegrals

Damit man einen Näherungswert für das Linienintegral bekommt, bildet man zunächst das Produkt aus den Bogenlängen $\Delta s_i$ und den Funktionswerten $f(x_i, y_i)$ an den Punkten $P_i$. Danach werden diese Produkte aufsummiert und man erhält so die Näherung:

$\int\limits_{P_A}^{P_B} f(x, y) \mathrm{d}s \approx \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta s_i .$

Da nicht nur nach einer ungefähren Approximation gefragt ist, sondern nach einer möglichst genauen Darstellung, bildet man den Grenzwert dieser Summe und lässt die Anzahl der Teilstücke n gegen Unendlich gehen, während die Ausdehnung der Bogenlängen gegen Null geht. Auf diese Weise erhält man eine sehr feine Unterteilung der Kontur C und die Summe geht gegen ihren Grenzwert (sofern er existiert und von der Wahl der Bogenlängen $\Delta s_i$ und den Punkten $P_i$ unabhängig ist). So ergibt sich das Linienintegral der Kontur C zwischen den Punkten $P_A$ und $P_B$:

$\int\limits_{P_A}^{P_B} f(x, y) \mathrm{d}s = \lim_{\Delta s_i \to 0}\sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta s_i .$

Beispiel: Berechnung der Gesamtladung einer Linienladung In diesem Beispiel wird eine Linienladung $\lambda$ betrachtet, die im folgenden mehrere Verläufe annimmt. Linienladungen sind Ladungen entlang einer Kontur, deren Wert pro Streckenabschnitt schwanken kann. Um die gesamte Ladung zu berechnen, verwendet man das Linienintegral: $Q=\int\lambda\cdot\mathrm{d}s$ 1.Fall Im einfachsten Fall ist die Linienladung $\lambda$ über der zu integrierenden Fläche konstant: $\lambda=\text{const.}$ Dadurch wird das Integral einfach, da $\lambda$ als konstanter Faktor vor das Integral gezogen werden kann und so nur noch die Strecke integriert werden muss, um auf das Ergebnis zu kommen. Fügt man nun noch die Grenzen 0 und l aus der Abbildung ein, folgt, dass das Integral zu einer Multiplikation der Linienladung mit der Länge der Strecke führt: $Q=\int_0^l\lambda\cdot\mathrm{d}s=\left.\lambda\cdot s\right|_0^l=\lambda\cdot l$ Eine Linienladung, die entlang der x-Achse ausgerichtet ist. 2.Fall Etwas schwieriger wird es, wenn $\lambda$ nicht konstant, sondern eine Funktion ist, die von der Integrationsvariable (in diesem Fall x) abhängt. Gegeben sei: $\begin{align} \lambda=f(x)\mathrm{d}x& &\text{mit}&f(x)=a\cdot x \end{align}$ Dadurch muss die Funktion über die Länge der Linienladung integriert werden, um den Wert der Gesamtladung zu ermitteln. Formal wird dabei einfach die Funktion $f(x)$ für $\lambda$ eingesetzt und integriert, dabei kann a als Faktor vor das Integral gezogen werden: $Q=\int_0^l\lambda\cdot\mathrm{d}s=\int_0^l f(x)\cdot\mathrm{d}x=\int_o^l a\cdot x\mathrm{d}x=a\cdot\int_o^l x\cdot\mathrm{d}x=\left.\frac{a}{2}x^2\right|_0^l=\frac{a\cdot l^2}{2}$ 3.Fall Nun betrachtet man eine Linienladung in der Form eines Viertelkreisbogens. Es sei nun wieder anzunehmen, dass die Linienladung $\lambda$ konstant ist. Eine Linienladung, die entlang eines Kreisbogens angeordnet ist. Man hat nun zwei Möglichkeiten, um durch Integration die Gesamtladung zu ermitteln, da so, wie die Funktion in der Abbildung dargestellt ist, sie sowohl von x als auch von y abhängt. Zunächst kann man das Parametrisieren verwenden. Dabei beschreibt man x und y durch eine einzelne neue Variable. Dies ist allerdings etwas kompliziert, daher verwenden wir hier die Zylinderkoordinaten bzw. die Polarkoordinaten, um das System zu beschreiben, weil die Linienladung dann entlang der Koordinaten verläuft, und der Viertelkreisbogen nur noch von einer Koordinate $\varphi$ abhängig ist. So wird die Rechnung durch Verwenden des neuen Koordinatensystems stark vereinfacht: Als ersten Schritt stellt man also den Viertelkreisbogen in Polarkoordinaten dar. Wir integrieren also, wie in der Abbildung zu sehen ist, von der positiven x-Achse, also $\varphi=0$ bis zur positiven y-Achse, also $\varphi=\frac{\pi}{2}$. Anschließend muss das Wegelement an die neuen Koordinaten angepasst werden, da nun nicht mehr nach x integriert wird, sondern nach $\varphi$. Hier ergibt es sich zu: $\mathrm{d}x=\rho\cdot\mathrm{d}\varphi$ Diese Umformung ist ebenso für die Einheit wichtig. Die Ladung hat die Einheit $\mathrm{As}$. Weil die Linienladung $\lambda$ aber die Einheit $\frac{\mathrm{As}}{\mathrm{m}}$ hat, muss die integrierte Größe die Einheit $\mathrm{m}$ besitzen, damit die Gleichung stimmt. An vielen Stellen werden Winkel wie $\varphi$ jedoch in Grad angegeben. Damit hier die richtige Einheit verwendet wird, benutzt man hier das Bogenmaß: Das Bogenmaß eines Winkels $\varphi$ ist definiert als das Verhältnis der Länge des Kreisbogens b (die zu integrierende Länge) zum Radius $\rho$: $\varphi=\frac{b}{\rho}\Longleftrightarrow b=\rho\cdot\varphi$ Mit diesen Vorbetrachten lässt sich folgendes Integral aufstellen: $Q=\int_b\lambda\mathrm{d}s=\lambda\int_b\mathrm{d}s=\lambda\int_0^{\frac{\pi}{2}}\rho\mathrm{d}\varphi$$=\lambda\cdot\rho\frac{\pi}{2}$

Das Linienintegral einer vektoriellen Größe

Im vorherigen ging es um die Integration skalarer Größen. Hat man aber beispielsweise ein elektrisches Feld $\vec{\mathbf{E}}(x, y, z)$ angelegt, betrachtet man nicht nur die Stärke, sondern auch die Richtung des Feldes im Raum. Um das berücksichtigen zu können, muss die Form des Linienintegrals angepasst werden. Deswegen hat man sowohl bei der Funktion $\vec{\textbf{E}}(x, y, z)$ als auch bei dem Wegelement $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ eine vektorielle Größe, da es in diesem Beispiel den Unterschied zwischen einer positiven, negativen oder gar keiner Spannung machen kann.

Linienintegral einer vektoriellen Größe

Zur Bestimmung des Linienintegrals einer vektoriellen Größe kann ebenso wie bei skalaren Größen das Integral über die infinitesimalen Wegelemente berechnet werden. Man verwendet nun wieder eine Kontur C, die zwischen den Punkten $P_A$ und $P_B$ verläuft. Allerdings sind diesmal, die Wegelemente $\Delta\vec{\textbf{s}}_i$ gerichtete Größen. Auch hier wird die Kontur in n Teilstücke $\Delta\vec{\textbf{s}}_i$ mit i = 1 ... n unterteilt und ein Punkt $P_i$ mit den Koordinaten $x_i , y_i , z_i$ einer vektoriellen Größe $\vec{\mathbf{E}}(x_i, y_i, z_i)$ zugeordnet. Um nun das Linienintegral berechnen zu können, muss das Skalarprodukt zwischen jedem Wegelement, dem dazugehörigen Funktionswert und dem eingeschlossenem Winkel $\alpha_i$ gebildet werden.

$\vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i) \cdot\Delta\vec{\textbf{s}}_i = \left| \vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i) \right| \left|\Delta\vec{\textbf{s}}_i\right|\cos(\alpha_i)$

Summiert man nun ebenfalls alle Skalarprodukte auf und bildet gemäß der Gleichung des Linienintegrals der skalaren Größen den Grenzwert, erhält man für das Linienintegral einer vektoriellen Größe folgende Form:

$\int\limits_{P_A}^{P_B}\vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = \lim_{\Delta s_i \to 0}\sum_{i=1}^n \left|\vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i)\right|\left|\Delta\vec{\textbf{s}}_i\right|\cos(\alpha_i) .$

Beispiel: Spannung im elektrischen Feld Ein häufiger Anwendungsfall des Linienintegrals ergibt sich bei der Bestimmung der Spannung im elektrischen Feld. Bildet man beispielsweise eine Kontur gemäß der Abbildung in einem homogenen, gleichgerichtetem elektrischen Feld erhält man folgendes Ringintegral: $U=\oint\limits_C\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}$ Spannungsberechnung in einem homogenen elektrischen Feld ‎ Um dieses Integral zu lösen, können wir vier Fälle unterscheiden: Die Strecke $P_1$ bis $P_2$, die mit dem Elektrischen Feld verläuft. Die Strecke $P_3$ bis $P_4$, die entgegen dem Elektrischen Feld verläuft. Und die Strecken $P_2$ bis $P_3$ und $P_4$ bis $P_1$, die senkrecht zu dem elektrischen Feld verlaufen. Nun unterteilt man das Integral in diese vier Bereiche und bildet jeweils das Skalarprodukt: $U=\int\limits_{P_1}^{P_2}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}+\int\limits_{P_3}^{P_4}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}+\int\limits_{P_2}^{P_3}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}+\int\limits_{P_4}^{P_1}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ Daraus folgt: $U=|\vec{\textbf{E}}|\cdot |(P_2-P_1)|\cdot \underbrace{\cos{0}}_{=1}+|\vec{\textbf{E}}|\cdot|P_3-P_4|\cdot\underbrace{\cos{\pi}}_{=-1}+|\vec{\textbf{E}}|\cdot|P_3-P_2|\cdot\underbrace{\cos{\frac{\pi}{2}}}_{=0}+|\vec{\textbf{E}}|\cdot|P_1-P_4|\cdot\underbrace{\cos{\frac{\pi}{2}}}_{=0}$ Durch die eingeschlossenen Rechten Winkel in den letzen beiden Fällen ergibt das Skalarprodukt Null und es bleibt nur noch übrig: $U=|\vec{\textbf{E}}|\cdot |(P_2-P_1)|-|\vec{\textbf{E}}|\cdot|P_3-P_4|$ Da hier die Strecken zwischen $P_1$ und $P_2$ und $P_3$ und $P_4$ betragsmäßig gleich sind, folgt aus dieser Betrachtung: $U= 0$ Dies ist eine wichtige Erkenntnis im elektrostatischen Feld: Das Ringintegral über ein homogenes, elektrisches Feld ergibt immer Null.

Beispiel: Rollende Kugel in einer Laufrinne Gesucht ist die Arbeit $W=\int\limits_{P_A}^{P_B}\vec{\textbf{F}}\cdot d\vec{\textbf{s}}$, die an einer Kugel verichtet wird, welche infolge einer Kraft $\vec{\textbf{F}}$ eine Laufrinne hinunterrollt. Die Laufrinne ist halbkreisförmig und spannt sich vom Anfangspunkt $P_A$ bis zum Endpunkt $P_B$. Dabei wirkt eine ortsunabhängige, konstante Kraft $\vec{\textbf{F}}$ in Richtung der Verbindungslinie der beiden Punkte $P_A$ und $P_B$. Bewegungsvorgang im Kraftfeld Der Bewegungsvorgang wird im zylindrischen Koordinatensystem mit dem Ursprung im Mittelpunkt des Kreises beschrieben, dadurch bewegt sich die Kugel in Richtung wachsender $\varphi$-Werte auf einem Halbkreis mit konstantem Radius $\rho = a$. So ist auf dem Halbkreis der Winkel $\alpha$ zwischen der Bewegungsrichtung $\vec{\textbf{e}}_\alpha$ und der Kraftrichtung $\vec{\textbf{e}}_y$ bekannt, da die vorgegebene Kraft sich am einfachsten mit einer kartesischen Komponente $\vec{\textbf{F}} = \vec{\textbf{e}}_y F_Y$ beschreiben lässt. Um die geleistete Arbeit W zu bestimmen, muss die Kraft in Komponenten zerlegt werden, da nur die in Richtung der Bewegung wirkende Kraftkomponente einen Beitrag zur Arbeit leistet. Eine Komponente wirkt in Richtung $\vec{\textbf{e}}_\alpha$und eine weitere senkrecht dazu in Richtung $\vec{\textbf{e}}_\rho$. Nun benötigt man das Skalarprodukt aus der vektoriellen Kraft und dem gerichteten Wegelement, dessen Integration vom Anfangspunkt $P_A$ bis zum Endpunkt $P_B$ mit der obigen Gleichung das Ergebnis liefert: $W = \int\limits_{P_A}^{P_B}\vec{\textbf{F}}\cdot d\vec{\textbf{s}} = \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\vec{\textbf{e}}_yF_y\cdot \vec{\textbf{e}}_\alpha a d\varphi = aF_y \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}(\vec{\textbf{e}}_\rho\sin\alpha+\vec{\textbf{e}}_\alpha\cos\alpha)\cdot\vec{\textbf{e}}_\alpha d\varphi = aF_y \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi d\varphi = 2aF_y .$

Multimediale Lehrmaterialien

http://www.dangries.com/Flash/IntegralSketch/IntegralSketch.html Applet zum Verständnis von Integralen http://www.uni-due.de/~matj00/bauws10/VorlBau100518.html Applet zum Verständnis von Integralen http://mathdl.maa.org/images/upload_library/4/vol4/kaskosz/antapp.html Applet: verschiedener Kurvenbeispiele und ihre Integrale (engl.)

Hilfreiche Links

http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Interaktives Arbeitsblatt zur Integration http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.)

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
• Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
• Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
• Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg
• TU Freiberg, "Parameter- und Kurvenintegrale", Script, 2010

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