Kugelkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Navigation|before=[[Zylinderkoordinaten]]|overview=[[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Orthogonale Koordinatensysteme]]|next=[[Differentialquotient]]}}
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[[Image:Kugelkoordinaten.png|300px|thumb|Kugelkoordinaten]]
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Das Kugelkoordinatensystem ermöglicht insbesondere dann eine kompakte Beschreibung von Positionen und gerichteten Größen im Raum, wenn man es mit kugelförmigen Anordnungen zu tun hat. Das elektrische Feld einer Punktladung, die näherungsweise als kugelförmig angenommen werden kann, lässt sich zum Beispiel wesentlich einfacher in Kugel- als in kartesischen Koordinaten beschreiben (vgl. [[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Einführung in der Übersicht zu orthogonalen Koordinatensystemen]] sowie [[Lösung vektorieller Mehrfachintegrale]]). Es gibt einige weitere Beispiele wie etwa die Beschreibung des elektrischen Feldes einer kugelförmigen Raumladung. Bei dem Kugelkoordinatensystem handelt es sich um ein [[Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme|krummliniges orthogonales Koordinatensystem]].
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Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>r</math>, <math>\vartheta</math> und <math>\varphi</math> beschrieben. Dabei bezeichnet <math>r</math> den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. <math>\vartheta</math> gibt den Winkel zwischen der positiven <math>z</math>-Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden [[Ortsvektor]] an. Der Winkel durchläuft dabei den Wertebereich <math>0\leq\vartheta\leq\pi</math>, so dass der positiven <math>z</math>-Achse der Wert <math>\vartheta=0</math> und der negativen <math>z</math>-Achse der Wert <math>\vartheta=\pi</math> zugeordnet ist (<span style="color:red;">'''Achtung:''' Fälschlicherweise wird häufig ein Wertebereich von <math>0\leq\vartheta\leq 2\pi</math> angenommen</span>). Der Winkel <math>\varphi</math> wird wie bei den [[Zylinderkoordinaten]] gezählt, also ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse. Betrachtet man die [[Koordinatenfläche]] <math>r = \mathrm{konstant}</math>, so entspricht diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Alle Punkte mit identischem <math>\vartheta</math> liegen dabei auf einem „Breitengrad” und Punkte mit identischem <math>\varphi</math> liegen auf einem „Längengrad“.
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Die Richtung der [[Einheitsvektoren]] <math>\vec{\textbf{e}}_r</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\vartheta</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht, dass <math>\vec{\mathbf{e}}_\vartheta</math> und <math>\vec{\mathbf{e}}_\varphi</math> immer tangential zu den Kreisbögen der <math>\vartheta</math>-[[Koordinatenlinie]] bzw. <math>\varphi</math>-Koordinatenlinie im Punkt <math>P</math> verlaufen und <math>\vec{\textbf{e}}_r</math> immer in Richtung des Ortsvektors <math>\vec{\textbf{r}}</math> zeigt.
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Die Koordinaten und Einheitsvektoren der verschiedenen Koordinatensysteme können mit Hilfe von Transformationsgleichungen ineinander umgerechnet werden (siehe hierzu [[Formelsammlung Koordinatensysteme]]). Möchte man beispielsweise den Wert <math>x</math> in [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] eines in Kugelkoordinaten gegebenen Punktes <math>P(r,\varphi,\vartheta)</math> ermitteln, so bietet sich die Verwendung [[Trigonometrische Funktionen|trigonometrischer Funktionen]] an. Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass hierzu zunächst die Strecke <math>\rho</math> in der <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene zu bestimmen ist:
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:<math>
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\rho = r \sin \vartheta
 +
</math>
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Weiterhin ist ersichtlich, dass <math>\rho</math> der Hypotenuse und <math>x</math> der Ankathete in Bezug auf das durch <math>\varphi</math> gegebene rechtwinklige Dreieck entspricht. Damit gilt:
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:<math>
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x = \rho \cos\varphi
 +
</math>
 +
Setzt man nun <math>\rho</math> in die untere Gleichung ein, so erhält man:
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:<math>
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x = r \sin\vartheta \cos\varphi
 +
</math>
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Weitere Umrechnungen lassen sich analog herleiten und sind in der folgenden Tabelle angegeben:
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{|cellpadding="10"
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|rowspan="3" style="background-color:#dde6f3;"|Umrechnung von Kugel-<br> in kartesische Koordinaten
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|style="background-color:#c9d7ec"|<math>\begin{align}
 +
x & = r \sin\vartheta \cos\varphi &
 +
&& && &&
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
|rowspan="3" style="background-color:#dde6f3;"|Umrechnung von kartesischen-<br> in Kugelkoordinaten
 +
|style="background-color:#c9d7ec"|
 +
<math>
 +
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
 +
</math>
 +
|-
 +
|style="background-color:#c9d7ec"| <math>\begin{align}
 +
y& = r \sin\vartheta \sin\varphi &
 +
&& && && && && &&
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
|style="background-color:#c9d7ec"|
 +
<math>
 +
\vartheta=\arctan{\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}
 +
</math>
 +
|-
 +
|style="background-color:#c9d7ec"| <math>\begin{align}
 +
z &= r \cos\vartheta &
 +
& &
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
|style="background-color:#c9d7ec"|
 +
<math>\begin{align}
 +
\varphi=\arctan\frac{y}{x}&& \text{wenn} && x>0
 +
\end{align}</math>
 +
|}
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 +
Eine differentielle ([[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente|infinitesimale]]) Änderung des Ortsvektors <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}</math> ausgehend vom Punkt <math>P</math> um <math>\mathrm{d}r, \mathrm{d}\vartheta, \mathrm{d}\varphi</math> wird wie folgt beschrieben:
 +
:<math>
 +
\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} =
 +
\vec{\textbf{e}}_r \mathrm{d}r +
 +
\vec{\textbf{e}}_\vartheta r \mathrm{d}\vartheta +
 +
\vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi
 +
</math>
 +
 +
Für weitere Umrechnungen und Zusammenhänge wird auf die [[Formelsammlung Koordinatensysteme]] verwiesen.
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 +
Je nachdem, in welchen Bereichen (Intervallen) sich die Koordinaten bewegen, werden verschiedene Linien-, Flächen- und Volumenelemente beschrieben. Hält man z. B. alle Koordinaten bis auf <math>\varphi</math> konstant, so ergeben sich „Breitengrade“ (vgl. [[Koordinatenlinien]]). Zur Verdeutlichung dieser Zusammenhänge kann das unten eingebundene Applet verwendet werden.
 +
 +
====Applet====
 +
[[Datei:Applet_Kugelkoordinaten.PNG|200px|gerahmt|links|verweis=Applet:Kugelkoordinaten|[[Applet:Kugelkoordinaten|Applet Kugelkoordinaten]]]]
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<div style="clear:left;"></div>
 +
 +
{{Beispiel
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|Titel=Elektrisches Feld einer Punktladung
 +
|Inhalt=
 +
Ein Beispiel zur Verwendung von Kugelkoordinaten zur Beschreibung des elektrischen Feldes einer Punktladung findet sich im Artikel zur [[Lösung vektorieller Mehrfachintegrale]].
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}}
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<!--
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----
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'''Alt'''
 +
----
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Um Modelle, wie kugelförmige Raumladungen auswerten zu können, wählt man ein Koordinatensystem, dass die Besonderheiten runder Anordnungen am besten beschreibt: das '''Kugelkoordinatensystem'''.
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<figure id="fig:krummlinige_koordinaten4">
 
<figure id="fig:krummlinige_koordinaten4">
[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten4.jpg|miniatur|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]]
+
[[Image:Kugelkoordinaten.png|300px|thumb|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]]
 
</figure>
 
</figure>
  
 +
Albachversion:
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[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten4.jpg|300px|thumb|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]]
  
Bei den Kugelkoordinaten <math>\left( \mathrm{u}_1 = r, \mathrm{u}_2 = \vartheta, \mathrm{u}_3 = \varphi \right)</math> beschreibt die Koordinate <math>r</math> den Abstand eines Punktes <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math> vom Ursprung. Die Koordinatenfläche <math>r = \mathrm{const.}</math> entspricht einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche. Der Winkel <math>\vartheta</math> wird von der positiven z-Achse und dem Ursprung zum Punkt P zeigenden Ortsvektor eingeschlossen. Er wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven z-Achse gezählt und durchläuft den Wertebereich <math>0 \leq \vartheta \leq \pi</math>. Der positiven z-Achse ist der Wert <math>\vartheta = 0</math> zugeordnet, der negativen z-Achse der Wert <math>\vartheta = \pi</math>. Alle Punkte auf der Kugel mit gleichen <math>\theta</math> liegen auf einem Breitenkreis, z. B. gilt für alle Punkte auf dem Äquator <math>\vartheta = \pi/2</math>. Die Koordinate <math>\varphi</math> ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.
+
Kugelkoordinaten sind ähnlich wie [[Zylinderkoordinaten]] aufgebaut, nur dass sie anstelle der z-Koordinate einen weiteren Winkel <math>\vartheta</math> besitzen, der zwischen dem Punkt <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math>und der positiven z-Achse gemessen wird. Er kann folgende Werte annehmen:<math>0 \leq \vartheta \leq \pi</math>.  
  
Ein Punkt <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math> auf der Kugeloberfläche hat die z-Koordinate <math>\mathrm{z} = r \cos \vartheta</math> und den Abstand <math>\rho = r \sin \vartheta</math> von der z-Achse. Setzt man diesen Abstand , dann stellt man fest, dass die Kugelkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten über die Definitionsgleichungen  in der Form:
+
Analog zur Koordinate <math>\rho</math>, die im Zylinderkoordinatensystem in der xy-Ebene den Abstand zum Ursprung angibt, gibt die Koordinate <math>r</math> in Kugelkoordinaten den Abstand zum Ursprung an, ist dabei aber nicht auf eine Ebene beschränkt. Betrachtet man die Koordinatenfläche <math>r = \mathrm{const.}</math>, entspricht  diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Die Koordinate <math>\varphi</math> ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.
  
<math>
+
Um die Transformationsgleichung aufzustellen, benutzt man die [[Trigonometrischen Funktionen]]. Soll die x-Koordinate bestimmt werden, muss  zunächst der Punkt in die xy-Ebene transformiert werden. Dies geschieht, in dem man die Gegenkathete des Dreiecks zwischen der z-Achse und dem Vektor zum gesuchten Punkt berechnet (siehe Abbildung).
\begin{align}
+
 
\mathrm{x} &= r \sin\vartheta \cos\varphi&
+
:<math>\rho = r \sin \vartheta</math>
&&
+
Um die x-Koordinate zu berechnen, bildet man den Kosinus zwischen dem Abstand zum Ursprung <math>\rho</math> und der x-Achse.
0 &\leq r < \infty\\
+
:<math>x=\rho\sin(\varphi)</math>
\mathrm{y} &= r \sin\vartheta \sin\varphi&
+
Nun muss man beide Gleichungen in einander einsetzen und man erhält für x:
&\text{mit}&
+
:<math>x=r\cos\varphi\sin\varphi</math>
0 &\leq \vartheta \leq \pi\\
+
Analog dazu kann man auch die anderen beiden Koordinatentransformationen bestimmen, die z-Koordinate ist dabei direkt aus der Abbildung entnehmbar:
\mathrm{z} &= r \cos \vartheta&
+
 
&&
+
{| cellpadding="10"
 +
| rowspan="3" style="background-color:#dde6f3;" |Transformationsgleichungen
 +
| style="background-color:#c9d7ec"|<math>\begin{align}
 +
\mathrm{x} & = r \sin\vartheta \cos\varphi &
 +
&& && &&
 +
0 &\leq r < \infty
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
|-
 +
|style="background-color:#c9d7ec"| <math>\begin{align}
 +
\mathrm{y} &= r \sin\vartheta \sin\varphi &
 +
&\text{mit}& &  
 +
0 &\leq \vartheta \leq \pi
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
|-
 +
|style="background-color:#c9d7ec"| <math>\begin{align}
 +
\mathrm{z}& = r \cos \vartheta &
 +
&& && && && && &&
 
0 &\leq \varphi < 2 \pi
 
0 &\leq \varphi < 2 \pi
 
\end{align}
 
\end{align}
 
</math>
 
</math>
 +
|}
  
verknüpft sind. Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:
+
Wie schon bei den Zylinderkoordinaten reichen die Transformationsgleichungen nicht aus, um das Koordinatensystem vollständig zu beschreiben. Dafür werden die [[Einheitsvektoren]] benötigt. Sie können über die selbe Gleichung bestimmt werden, wie die Einheitsvektoren der Zylinderkoordinaten, da diese Gleichung für alle [[krummlinige orthogonale Koordinatensysteme|krummlinigen orthogonalen Koordinatensysteme]] gelten:
 +
:<math>
 +
\vec{\textbf{e}}_i = \frac{1}{\left|\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i}\right|} \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} = \frac{1}{h_i} \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i}
 +
\text{mit}\
 +
h_i = \left| \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} \right|
 +
</math>
  
<math>
+
Auch hier stellt diese komplizierte Form nichts weiter dar, als die Änderung des [[Ortsvektor|Ortsvektors]]  nach der jeweiligen Koordinate. Außerdem muss durch den Betrag dieser Änderung geteilt werden, damit der neu entstandene Einheitsvektor die Länge 1 hat. Dabei heißt der Faktor <math>h_i</math> '''metrischer Faktor''' oder '''Metrikkoeffizient'''.
 +
 
 +
Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:
 +
:<math>
 
\begin{align}
 
\begin{align}
h_1 &= h_r = 1\\
+
h_\varphi & =
h_2 &= h_\vartheta = r\\
+
\sqrt{
h_3 &= h_\varphi = r \sin\vartheta
+
\left( \frac{\partial \mathrm{x}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 +
 +
\left( \frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 +
 +
\left( \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2}\\
 +
& =\sqrt{
 +
\left( \frac{\partial \mathrm{r \cos \varphi\sin\vartheta}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 +
 +
\left( \frac{\partial \mathrm{r \sin \varphi\sin\vartheta}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 +
 +
\left( \frac{\partial \mathrm{r\cos\vartheta}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2}\\
 +
& =\sqrt{(-r\sin\varphi\sin\vartheta)^2+(r\cos\varphi\sin\vartheta)^2}
 +
=\sqrt{r^2\sin^2\vartheta\underbrace {(sin^2\varphi+\cos^2\varphi)}_{1}}=r\sin\vartheta
 
\end{align}
 
\end{align}
 
</math>
 
</math>
  
 
+
Die anderen beiden metrischen Faktoren ergeben sich äquivalent:
und den metrischen Faktoren die Einheitsvektoren bestimmt:
 
 
 
 
<math>
 
<math>
 
\begin{align}
 
\begin{align}
\vec{\textbf{e}}_1 &= \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} =
+
h_r & = 1\\
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta\\
+
h_\vartheta & = r\\
\vec{\textbf{e}}_2 &= \vec{\textbf{e}}_\vartheta = \frac{1}{r}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \vartheta} =
+
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\vartheta \sin\varphi - \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \sin\vartheta\\
 
\vec{\textbf{e}}_3 &= \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{1}{r \sin\vartheta}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \varphi} =
 
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\varphi
 
 
\end{align}
 
\end{align}
 
</math>
 
</math>
  
Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit
+
Anschließend können mit obiger Gleichung, die analog zum ersten Schritt der  gerade gezeigten Rechnung verläuft, die Einheitsvektoren berechnet werden:
 +
{| cellpadding="10"
 +
| rowspan="3" style="background-color:#dde6f3;" |[[Einheitsvektoren]]
 +
| style="background-color:#c9d7ec"|<math>\vec{\textbf{e}}_1 = \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta </math>
 +
|-
 +
|style="background-color:#c9d7ec"| <math>\vec{\textbf{e}}_2 = \vec{\textbf{e}}_\vartheta = \frac{1}{r}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \vartheta} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\vartheta \sin\varphi - \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \sin\vartheta </math>
 +
|-
 +
|style="background-color:#c9d7ec"| <math>\vec{\textbf{e}}_3 = \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{1}{r \sin\vartheta}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \varphi} =
 +
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\varphi </math>
 +
|}
 +
 
 +
Auch bei den Kugelkoordinaten kann ein '''vektorielles [[Wegelemente|Wegelement]]''' bestimmt werden:
 +
 
 
:<math>
 
:<math>
 
\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} =
 
\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} =
Zeile 53: Zeile 181:
 
\vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi
 
\vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi
 
</math>
 
</math>
und für das Volumenelement:
+
Ebenso wie das '''[[Volumenelemente|Volumenelement]]''':
 
:<math>
 
:<math>
 
\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi
 
\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi
 
</math>
 
</math>
Mit dem Ortsvektor
 
  
<math>
 
\vec{\textbf{r}} =
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi +
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi +
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta
 
</math>
 
 
==Übersicht==
 
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"| rowspan="3" | Einheitsvektoren| <math>\vec{\textbf{e}}_1 &= \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta </math>|-| <math>\vec{\textbf{e}}_2 &= \vec{\textbf{e}}_\vartheta = \frac{1}{r}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \vartheta} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\vartheta \sin\varphi - \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \sin\vartheta </math>|-| <math>\vec{\textbf{e}}_3 &= \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{1}{r \sin\vartheta}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \varphi} =
 
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\varphi </math>
 
|}
 
 
{{Beispiel
 
{{Beispiel
|Titel=Berechnung des Ortsvektors in Kugelkoordinaten
+
|Titel=Berechnung des [[Ortsvektor|Ortsvektors]] in Kugelkoordinaten
 
|Inhalt=
 
|Inhalt=
Bei den Zylinderkoordinaten wurde schon gezeigt, dass sich der Ortsvektor vereinfachter darstellen lässt. Berechnet man den Ortsvektor in Kugelkoordinaten wird die Darstellung noch simpler:
+
[[Image:Kugelkoordinaten.png|300px|thumb|Der Ortsvektor <math>\vec{\mathbf{r}}</math> in Kugelkoordinaten]]
 +
 
 +
Albachversion:
 +
[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten4.jpg|300px|thumb|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]]
 +
Bei den [[Zylinderkoordinaten]] wurde schon gezeigt, dass sich der Ortsvektor in diesen Koordinaten übersichtlicher darstellen lässt, als in den kartesischen Koordinaten. Berechnet man den Ortsvektor in Kugelkoordinaten wird die Darstellung noch überschaubarer:
  
 
Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt:
 
Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt:
 
:<math>
 
:<math>
\vec{\textbf{r}} =
+
\begin{align}
 +
\vec{\textbf{r}} & =
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} x +
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} x +
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} y +
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} y +
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} z=
+
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} z\\
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi +
+
& = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi +
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi +
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi +
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta
 +
\end{align}
 
</math>
 
</math>
Durch hervorziehen des Faktors ''r'' und vergleich  mit den Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten erkennt man direkt den einfachen Zusammenhang für den Ortsvektor in  Kugelkoordinaten:
+
Durch hervorziehen des Faktors ''r'' und vergleich  mit den Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten erkennt man direkt den Zusammenhang für den Ortsvektor in  Kugelkoordinaten:
 
:<math>
 
:<math>
\vec{\textbf{r}} =  
+
\begin{align}
 +
\vec{\textbf{r}} & =  
 
r(\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}  \sin\vartheta \cos\varphi +
 
r(\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}  \sin\vartheta \cos\varphi +
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}  \sin\vartheta \sin\varphi +
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}  \sin\vartheta \sin\varphi +
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}  \cos\vartheta)
+
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}  \cos\vartheta)\\
=\vec{\textbf{e}}_r r
+
& =\vec{\textbf{e}}_r r
 +
\end{align}
 
</math>
 
</math>
 
}}
 
}}
 +
-->
  
 
{{Multimedia|Links=
 
{{Multimedia|Links=
 
 
http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ '''Applet''': Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich)
 
http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ '''Applet''': Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich)
 
http://www.pha.jhu.edu/~javalab/spherical/spherical.html '''Applet''': Punkt in Polarkoordinaten (engl.)
 
  
 
http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ '''Applet''': Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich)
 
http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ '''Applet''': Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich)
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{{Link|Links=
 
{{Link|Links=
 
 
http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten
 
http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten
  
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}}
 
}}
  
{{Navigation|before=[[Zylinderkoordinaten]]|overview=[[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Orthogonale Koordinatensysteme]]|next=[[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht]]}}
+
<noinclude>==Literatur==
 +
* Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
 +
</noinclude>
 +
 
 +
[[Kategorie:Artikel]]
 +
[[Kategorie:Feedback]]

Aktuelle Version vom 9. November 2017, 16:59 Uhr

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Kugelkoordinaten

Das Kugelkoordinatensystem ermöglicht insbesondere dann eine kompakte Beschreibung von Positionen und gerichteten Größen im Raum, wenn man es mit kugelförmigen Anordnungen zu tun hat. Das elektrische Feld einer Punktladung, die näherungsweise als kugelförmig angenommen werden kann, lässt sich zum Beispiel wesentlich einfacher in Kugel- als in kartesischen Koordinaten beschreiben (vgl. Einführung in der Übersicht zu orthogonalen Koordinatensystemen sowie Lösung vektorieller Mehrfachintegrale). Es gibt einige weitere Beispiele wie etwa die Beschreibung des elektrischen Feldes einer kugelförmigen Raumladung. Bei dem Kugelkoordinatensystem handelt es sich um ein krummliniges orthogonales Koordinatensystem.

Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt P im Raum durch die drei Koordinaten r, \vartheta und \varphi beschrieben. Dabei bezeichnet r den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. \vartheta gibt den Winkel zwischen der positiven z-Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden Ortsvektor an. Der Winkel durchläuft dabei den Wertebereich 0\leq\vartheta\leq\pi, so dass der positiven z-Achse der Wert \vartheta=0 und der negativen z-Achse der Wert \vartheta=\pi zugeordnet ist (Achtung: Fälschlicherweise wird häufig ein Wertebereich von 0\leq\vartheta\leq 2\pi angenommen). Der Winkel \varphi wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt, also ausgehend von der positiven x-Achse in Richtung der positiven y-Achse. Betrachtet man die Koordinatenfläche r = \mathrm{konstant}, so entspricht diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Alle Punkte mit identischem \vartheta liegen dabei auf einem „Breitengrad” und Punkte mit identischem \varphi liegen auf einem „Längengrad“.

Die Richtung der Einheitsvektoren \vec{\textbf{e}}_r, \vec{\textbf{e}}_\vartheta und \vec{\textbf{e}}_\varphi hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht, dass \vec{\mathbf{e}}_\vartheta und \vec{\mathbf{e}}_\varphi immer tangential zu den Kreisbögen der \vartheta-Koordinatenlinie bzw. \varphi-Koordinatenlinie im Punkt P verlaufen und \vec{\textbf{e}}_r immer in Richtung des Ortsvektors \vec{\textbf{r}} zeigt.

Die Koordinaten und Einheitsvektoren der verschiedenen Koordinatensysteme können mit Hilfe von Transformationsgleichungen ineinander umgerechnet werden (siehe hierzu Formelsammlung Koordinatensysteme). Möchte man beispielsweise den Wert x in kartesischen Koordinaten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Punktes P(r,\varphi,\vartheta) ermitteln, so bietet sich die Verwendung trigonometrischer Funktionen an. Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass hierzu zunächst die Strecke \rho in der x-y-Ebene zu bestimmen ist:


\rho = r \sin \vartheta

Weiterhin ist ersichtlich, dass \rho der Hypotenuse und x der Ankathete in Bezug auf das durch \varphi gegebene rechtwinklige Dreieck entspricht. Damit gilt:


x = \rho \cos\varphi

Setzt man nun \rho in die untere Gleichung ein, so erhält man:


x = r \sin\vartheta \cos\varphi

Weitere Umrechnungen lassen sich analog herleiten und sind in der folgenden Tabelle angegeben:

Umrechnung von Kugel-
in kartesische Koordinaten
\begin{align}
x & = r \sin\vartheta \cos\varphi &
&& && &&
\end{align}
Umrechnung von kartesischen-
in Kugelkoordinaten


r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

\begin{align}
y& = r \sin\vartheta \sin\varphi &
&& && && && && &&
\end{align}


\vartheta=\arctan{\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}

\begin{align}
z &= r \cos\vartheta &
& &
\end{align}

\begin{align}
\varphi=\arctan\frac{y}{x}&& \text{wenn} && x>0
\end{align}

Eine differentielle (infinitesimale) Änderung des Ortsvektors \mathrm{d}\vec{\textbf{r}} ausgehend vom Punkt P um \mathrm{d}r, \mathrm{d}\vartheta, \mathrm{d}\varphi wird wie folgt beschrieben:


\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} =
\vec{\textbf{e}}_r \mathrm{d}r +
\vec{\textbf{e}}_\vartheta r \mathrm{d}\vartheta +
\vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi

Für weitere Umrechnungen und Zusammenhänge wird auf die Formelsammlung Koordinatensysteme verwiesen.

Je nachdem, in welchen Bereichen (Intervallen) sich die Koordinaten bewegen, werden verschiedene Linien-, Flächen- und Volumenelemente beschrieben. Hält man z. B. alle Koordinaten bis auf \varphi konstant, so ergeben sich „Breitengrade“ (vgl. Koordinatenlinien). Zur Verdeutlichung dieser Zusammenhänge kann das unten eingebundene Applet verwendet werden.

Applet

Beispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung

Ein Beispiel zur Verwendung von Kugelkoordinaten zur Beschreibung des elektrischen Feldes einer Punktladung findet sich im Artikel zur Lösung vektorieller Mehrfachintegrale.

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich)

http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

Link.png

http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten

http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Allgemeine Einführung in die Polarkoordinaten (engl.)

Literatur

  • Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)