Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 24. Oktober 2013, 16:28 Uhr

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Übersicht: Orthogonale Koordinatensysteme

Einführung

Koordinatensysteme werden zur eindeutigen Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen (z. B. Ladungen oder stromführende Leiter) im Raum verwendet und ermöglichen erst die eindeutige Formulierung von Vektoren. Weiterhin lassen sich ortsabhängige Größen wie beispielsweise elektrische und magnetische Felder beschreiben. In der Lehrverstaltung sind neben den bekannten kartesischen Koordinaten besonders Zylinder- und Kugelkoordinaten von Bedeutung. Auch bei diesen beiden Koordinatensystemen dient das kartesische Koordinatensystem jedoch immer als Referenz. In der Regel ist es vorteilhaft, ein auf die jeweilige Problemstellung „zugeschnittenes“ Koordinatensystem zu verwenden. Das elektrische Feld einer Punktladung $Q$ ist beispielsweise radialsymmetrisch und der Betrag hängt ausschließlich vom Abstand $r$ zur Punktladung ab, so dass sich die Verwendung von Kugelkoordinaten anbietet. Mit Hilfe eines entsprechenden Einheitsvektors lässt sich die elektrische Feldstärke wie folgt angeben:

\vec{\textbf{E}} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\, \vec{\textbf{e}}_r

Die äquivalente Beschreibung in kartesischen Koordinaten ist weniger kompakt und lautet wie folgt (vgl. Formelsammlung Koordinatensysteme):

\vec{\textbf{E}} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 (x^2+y^2+z^2)}\, (\vec{\textbf{e}}_x \sin\vartheta\cos\varphi +\vec{\textbf{e}}_y \sin\vartheta\sin\varphi +\vec{\textbf{e}}_z\cos\vartheta)

Mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen können auch die aus dem Kugelkoordinatensystem stammenden Winkel $\varphi$ und $\vartheta$ ersetzt werden, so dass die Gleichung nur noch von $x$ , $y$ und $z$ abhängt. Dadurch wird der Ausdruck noch umfangreicher. Eine „geschickte“ Wahl des Koordinatensystems kann außerdem zu erheblichen Vereinfachungen führen, beispielsweise bei der Bestimmung von Feldgrößen auf Basis von Mehrfachintegralen. Diesbezüglich ist es oft vorteilhaft, wenn der Koordinatenursprung – sofern frei wählbar – passend zu den Symmetrieeigenschaften einer Anordnung positioniert wird.

Bei den vorgestellten Koordinatensystemen handelt es sich um orthogonale Koordinatensysteme. Dabei stehen die in Richtung wachsender Koordinatenwerte zeigenden Einheitsvektoren senkrecht aufeinander. Werden diese allgemein mit $\vec{\textbf{e}}_1$ , $\vec{\textbf{e}}_2$ und $\vec{\textbf{e}}_3$ bezeichnet, so folgt mit dem Skalarprodukt:

\vec{\textbf{e}}_1 \cdot \vec{\textbf{e}}_2 = \vec{\textbf{e}}_2 \cdot \vec{\textbf{e}}_3 = \vec{\textbf{e}}_3 \cdot \vec{\textbf{e}}_1 = 0

Da die Koordinatenlinien bei den Zylinder- und Kugelkoordinaten nicht geradlinig verlaufen, werden diese als krummlinige orthogonale Koordinatensysteme bezeichnet. Bei dem kartesischen Koordinatensystem handelt es sich also um ein geradliniges orthogonales Koordinatensystem. Darüber hinaus handelt es sich um Rechtssysteme (prinzipiell sind auch andere Konventionen möglich), so dass das Vektorprodukt von zwei aufeinander folgenden Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor liefert:

\vec{\textbf{e}}_1 \times \vec{\textbf{e}}_2 = \vec{\textbf{e}}_3,\quad \vec{\textbf{e}}_2 \times \vec{\textbf{e}}_3 = \vec{\textbf{e}}_1,\quad \vec{\textbf{e}}_3 \times \vec{\textbf{e}}_1 = \vec{\textbf{e}}_2

Die nachfolgende Tabelle zeigt eine Übersicht der verschiedenen Koordinatensysteme.

Übersicht

Kartesische Koordinaten Bei dem kartesischen Koordinatensystem wird ein Punkt $P$ im Raum durch die drei Koordinaten $x$ , $y$ und $z$ beschrieben. Die Koordinatenachsen sind geradlinig und orthogonal zueinander angeordnet, so dass diese ein Rechtssystem bilden. Der Schnittpunkt der Achsen, an dem alle Koordinaten den Wert Null haben, wird Koordinatenursprung genannt. Die Einheitsvektoren zeigen immer in die Richtung der jeweils zugehörigen Achse und in Richtung wachsender Koordinatenwerte, so dass diese an jedem Punkt im Raum identisch sind.	$P=P(x,y,z)$ $-\infty\leq x\leq\infty$ $-\infty\leq y\leq\infty$ $-\infty\leq z\leq\infty$	Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt $P$ im Raum durch die drei Koordinaten $\rho$ , $\varphi$ und $z$ beschrieben. Dabei bleibt die $z$ -Achse des kartesischen Koordinatensystems erhalten. $\rho$ (je nach Quelle auch als $r$ bezeichnet) gibt den Abstand zur $z$ -Achse an und $\varphi$ bezeichnet den Winkel zum betrachteten Punkt. Dabei wird $\varphi$ ausgehend von der positiven $x$ -Achse in Richtung der positiven $y$ -Achse gezählt. Die Richtung der Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_\rho$ und $\vec{\textbf{e}}_\varphi$ hängt von der Position des betrachteten Punktes ab. Betrachtet man ausschließlich die $x$ - $y$ -Ebene ohne die $z$ -Achse, so handelt es sich um Polarkoordinaten.	$P=P(\rho,\varphi,z)$ $0 \leq \rho \leq\infty$ $0 \leq \varphi < 2\pi$ $-\infty \leq z \leq\infty$	Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt $P$ im Raum durch die drei Koordinaten $r$ , $\vartheta$ und $\varphi$ beschrieben. Dabei bezeichnet $r$ den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. $\vartheta$ gibt den Winkel zwischen der positiven $z$ -Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden Ortsvektor an. Der Winkel $\varphi$ wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt, also ausgehend von der positiven $x$ -Achse in Richtung der positiven $y$ -Achse. Die Richtung der Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_r$ , $\vec{\textbf{e}}_\vartheta$ und $\vec{\textbf{e}}_\varphi$ hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Alle Punkte mit identischem $\vartheta$ liegen auf einem „Breitengrad” und Punkte mit identischem $\varphi$ liegen auf einem „Längengrad“.	$P=P(r,\vartheta,\varphi)$ $0\leq r\leq\infty$ $0\leq \vartheta\leq\pi$ $0\leq \varphi < 2\pi$	Kugelkoordinaten

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-== Einführung ==
+{{Navigation|before=[[Formelsammlung zur Vektorrechnung]]|overview=[[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Orthogonale Koordinatensysteme]]|next=[[Kartesische Koordinaten]]}}
-Bei vielen verschiedenen Anwendungen ist es nötig die Position im Raum relativ zueinander zu kennen, beispielsweise zur Berechnung der Flugbahn eines Balls zwischen zwei Personen oder bei der Kraftberechnung zwischen verschiedenen Punktladungen im Raum. Dafür wird meist ein beliebig wählbares Koordinatensystem verwendet, weil unterschiedliche Problemstellung unterschiedlich komplexe Darstellungen erfordern. Vergleicht man beispielsweise die Strecke, die ein Auto auf einer Ebene zurücklegt mit der eines Flugzeugs, so zeigt sich das bei dem Auto eine zweidimensionale Betrachtung ausreicht, während das Flugzeug nicht vollständig dadurch beschrieben werden kann. Ebenso können verschiedene Koordinatensystme verwendet werden, wenn dadurch die Aufgabenstellung vereinfacht wird. Ein Beispiel hierfür ist die Verwendung von Zylinderkoordinaten zur Beschreibung eines Kabels, welches im Folgenden noch erläutert wird.
+==Einführung==
+Koordinatensysteme werden zur eindeutigen Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen (z. B. Ladungen oder stromführende Leiter) im Raum verwendet und ermöglichen erst die eindeutige Formulierung von [[Vektorrechnung:Übersicht|Vektoren]]. Weiterhin lassen sich ortsabhängige Größen wie beispielsweise elektrische und magnetische Felder beschreiben. In der Lehrverstaltung sind neben den bekannten [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] besonders [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] von Bedeutung. Auch bei diesen beiden Koordinatensystemen dient das kartesische Koordinatensystem jedoch immer als Referenz. In der Regel ist es vorteilhaft, ein auf die jeweilige Problemstellung „zugeschnittenes“ Koordinatensystem zu verwenden. Das elektrische Feld einer Punktladung <math>Q</math> ist beispielsweise radialsymmetrisch und der Betrag hängt ausschließlich vom Abstand <math>r</math> zur Punktladung ab, so dass sich die Verwendung von [[Kugelkoordinaten]] anbietet. Mit Hilfe eines entsprechenden [[Einheitsvektor|Einheitsvektors]] lässt sich die elektrische Feldstärke wie folgt angeben:
+:<math>
+\vec{\textbf{E}} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\, \vec{\textbf{e}}_r
+</math>
+Die äquivalente Beschreibung in kartesischen Koordinaten ist weniger kompakt und lautet wie folgt (vgl. [[Formelsammlung Koordinatensysteme]]):
+:<math>
+\vec{\textbf{E}} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 (x^2+y^2+z^2)}\, (\vec{\textbf{e}}_x \sin\vartheta\cos\varphi +\vec{\textbf{e}}_y \sin\vartheta\sin\varphi +\vec{\textbf{e}}_z\cos\vartheta)
+</math>
+Mit Hilfe von [[trigonometrische Funktionen|trigonometrischen Funktionen]] können auch die aus dem Kugelkoordinatensystem stammenden Winkel <math>\varphi</math> und <math>\vartheta</math> ersetzt werden, so dass die Gleichung nur noch von <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> abhängt. Dadurch wird der Ausdruck noch umfangreicher. Eine „geschickte“ Wahl des Koordinatensystems kann außerdem zu erheblichen Vereinfachungen führen, beispielsweise bei der Bestimmung von Feldgrößen auf Basis von [[Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht|Mehrfachintegralen]]. Diesbezüglich ist es oft vorteilhaft, wenn der Koordinatenursprung – sofern frei wählbar – passend zu den Symmetrieeigenschaften einer Anordnung positioniert wird.
+Bei den vorgestellten Koordinatensystemen handelt es sich um '''orthogonale Koordinatensysteme'''. Dabei stehen die in Richtung wachsender Koordinatenwerte zeigenden Einheitsvektoren senkrecht aufeinander. Werden diese allgemein mit <math>\vec{\textbf{e}}_1</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_2</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_3</math> bezeichnet, so folgt mit dem [[Skalarprodukt]]:
+:<math>
+\vec{\textbf{e}}_1 \cdot \vec{\textbf{e}}_2 =
+\vec{\textbf{e}}_2 \cdot \vec{\textbf{e}}_3 =
+\vec{\textbf{e}}_3 \cdot \vec{\textbf{e}}_1 = 0
+</math>
+Da die [[Koordinatenlinien]] bei den [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] nicht geradlinig verlaufen, werden diese als '''krummlinige orthogonale Koordinatensysteme''' bezeichnet. Bei dem kartesischen Koordinatensystem handelt es sich also um ein geradliniges orthogonales Koordinatensystem. Darüber hinaus handelt es sich um [[Rechtssystem|Rechtssysteme]] (prinzipiell sind auch andere Konventionen möglich), so dass das [[Vektorprodukt]] von zwei aufeinander folgenden Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor liefert:
+:<math>
+\vec{\textbf{e}}_1 \times \vec{\textbf{e}}_2 = \vec{\textbf{e}}_3,\quad
+\vec{\textbf{e}}_2 \times \vec{\textbf{e}}_3 = \vec{\textbf{e}}_1,\quad
+\vec{\textbf{e}}_3 \times \vec{\textbf{e}}_1 = \vec{\textbf{e}}_2
+</math>
+Die nachfolgende Tabelle zeigt eine Übersicht der verschiedenen Koordinatensysteme.
+<!--
+==Einführung [alt]==
+[[Datei:Punktladungen.svg‎|300px|right|thumb|Koordinatensysteme dienen zur eindeutigen Beschreibung von Positionen (z. B. von Punktladungen) im Raum.]]
+Da unterschiedliche Problemstellungen unterschiedlich komplexe Darstellungen erfordern, ist es sinnvoll verschiedene Koordinatensysteme zu verwenden ('''Argumentation unschlüssig'''). Möchte man beispielsweise die Kraftwirkung mehrerer Punktladungen aufeinander berechnen, verwendet man ein Koordinatensystem, um die Punktladungen in relativer Position zueinander angeben zu können ('''besser: die Positionen werden relativ zueinander angegeben, nicht die Punktladungen selbst'''). Dafür wird, egal ('''besser: unabhängig davon''') welches Koordinatensystem verwendet wird, immer ein fester Bezugspunkt gewählt. An welcher Stelle sich der Bezugspunkt befindet ist willkürlich. Wählt man diesen Bezugspunkt geschickt, vereinfacht sich dadurch jedoch die anschließende Berechnung ('''und wann liegt eine geschickte Wahl vor? z. B. wenn im Ursprung''').
-Die Position eines Punktes P im dreidimensionalen Raum bezogen auf einen anderen willkürlich gewählten Bezugspunkt Q kann mithilfe eines von Q nach P zeigenden Vektors eindeutig gekennzeichnet werden. Eine vollständige mathematische Beschreibung dieses Vektors kann durch die Angabe der Koordinaten von Anfangspunkt Q und Endpunkt P erfolgen. Unter den Koordinaten eines Punktes versteht man Zahlenwerte zur Festlegung seiner Position im Raum. Alternativ zu diesen Koordinaten kann der Vektor auch durch die Angabe seiner drei Komponenten eindeutig beschrieben werden. Diese werden üblicherweise so gewählt, dass sie senkrecht aufeinander stehen, man spricht dann davon, dass diese Komponenten zueinander '''orthogonal''' sind.
+Mithilfe von Koordinatensystemen kann die Position von einem Punkt ''P'' durch einen [[Einführung in die Vektorrechnung|Vektor]] beschrieben werden, der ausgehend von einem gewählten Bezugspunkt zu diesem Punkt ''P'' zeigt. Der Vektor wird dann entweder mit Hilfe der [[Komponentendarstellung von Vektoren#Koordinatendarstellung von Vektoren|Koordinatendarstellung]] oder der [[Komponentendarstellung von Vektoren| Komponentendarstellung]] beschrieben. Die Komponenten werden dabei in der Regel so gewählt, dass sie zueinander orthogonal sind, also senkrecht aufeinander stehen ('''richtig?''').
-Sowohl zur Angabe der Koordinatenwerte als auch bei der Zerlegung des Vektors in seine Komponenten bedient man sich der Koordinatensysteme. Es erweist sich in der Praxis als sehr zweckmäßig, ein der jeweiligen Problemstellung angepasstes Koordinatensystem zu verwenden. Bei den in den folgenden Abschnitten betrachteten drei Fällen, nämlich den kartesischen Koordinaten, den Zylinderkoordinaten und den Kugelkoordinaten handelt es sich um orthogonale Rechtssysteme, d. h. die in Richtung wachsender Koordinatenwerte weisenden Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{1}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{2}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{3}</math> stehen senkrecht aufeinander und erfüllen somit die Bedingung der '''Orthogonalität''':
+Bei den drei in den folgenden Abschnitten betrachteten Fällen, nämlich den kartesischen Koordinaten, den Zylinderkoordinaten und den Kugelkoordinaten, handelt es sich um orthogonale Koordinatensysteme. Dabei stehen die [[Einheitsvektoren]] <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{1}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{2}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{3}</math> senkrecht aufeinander und weisen immer in die Richtung wachsender Koordinatenwerte. Setzt man die [[Einheitsvektoren]] in das [[Skalarprodukt]] ein, ergibt sich durch die '''Orthogonalität''' automatisch ('''Formulierung'''):
-:<equation id="eqn:orthogonalitaet">
+:<math>
-<math>
 \vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} \cdot \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} =
 \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} \cdot \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3} =
 \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3} \cdot \vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} = 0
 </math>
-</equation>
-<xr id="eqn:orthogonalitaet" />
-Bei einem Rechtssystem liefert das Vektorprodukt zweier aufeinander folgender Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor, so dass die nachstehenden Gleichungen gelten:
+Außerdem sind die hier ('''wo ist hier?''') behandelten Koordinatensysteme so genannte [[Rechtssystem|Rechtssysteme]], das heißt, dass  das [[Vektorprodukt]] zweier aufeinander folgender Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor ergeben muss, dies kann auch durch die [[Rechte Hand Regel1]] veranschaulicht werden:
-:<equation id="eqn:wegelement">
+:<math>
-<math>
 \vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3},
 \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{1},
 \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2}
 </math>
-</equation>
+-->
-<xr id="eqn:wegelement"/>
-== Übersicht ==
+==Übersicht==
-{| cellpadding="10"
+{|cellpadding="10"
+|-
+|style="background-color:#dde6f3;"|[[Kartesische Koordinaten]]
+Bei dem kartesischen Koordinatensystem wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> beschrieben. Die Koordinatenachsen sind geradlinig und orthogonal zueinander angeordnet, so dass diese ein [[Rechtssystem]] bilden. Der Schnittpunkt der Achsen, an dem alle Koordinaten den Wert Null haben, wird Koordinatenursprung genannt. Die Einheitsvektoren zeigen immer in die Richtung der jeweils zugehörigen Achse und in Richtung wachsender Koordinatenwerte, so dass diese an jedem Punkt im Raum identisch sind.
+|style="background-color:#c9d7ec;text-align:center;"|
+<math>P=P(x,y,z)</math><br>
+<math>-\infty\leq x\leq\infty</math><br>
+<math>-\infty\leq y\leq\infty</math><br>
+<math>-\infty\leq z\leq\infty</math>
+|style="background-color:#dde6f3"|[[Image:Kartesische Koordinaten.png|center|miniatur|Kartesische Koordinaten]]
 |-
-|style="background-color:#dde6f3;"|[[Das kartesische Koordinatensystem]]
+|style="background-color:#dde6f3"|[[Zylinderkoordinaten]]
-Bei dem kartesischen Koordinatensystem sind die Koordinatenachsen geradlinig und orthogonal angeordnet, so dass die Achsen ein Rechtssystem bilden, welches durch die [[Rechte Handregel1]] beschrieben werden kann. Der Schnittpunkt der Achsen wird Koordinatenursprung genannt. Die Einheitsvektoren sind parallel zu den Achsen angeordnet und zeigen immer in Richtung wachsender Koordinatenwerte, daher sind die Einheitsvektoren auch unabhängig von der Position im Raum und zeigen immer dieselbe Richtung an.
+Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>\rho</math>, <math>\varphi</math> und <math>z</math> beschrieben. Dabei bleibt die <math>z</math>-Achse des kartesischen Koordinatensystems erhalten. <math>\rho</math> (je nach Quelle auch als <math>r</math> bezeichnet) gibt den Abstand zur <math>z</math>-Achse an und <math>\varphi</math> bezeichnet den Winkel zum betrachteten Punkt. Dabei wird <math>\varphi</math> ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse gezählt. Die Richtung der Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_\rho</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> hängt von der Position des betrachteten Punktes ab. Betrachtet man ausschließlich die <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene ohne die <math>z</math>-Achse, so handelt es sich um Polarkoordinaten.
-|style="background-color:#c9d7ec;"|
-:<math> P(x,y,z)=A\cdot\vec{\mathbf{e}}_x+B\cdot\vec{\mathbf{e}}_y+C\cdot\vec{\mathbf{e}}_z</math>
-:<math>-\infty\leq x\leq\infty</math>
-:<math>-\infty\leq y\leq\infty</math>
-:<math>-\infty\leq z\leq\infty</math>
-|style="background-color:#dde6f3"|[[Image:Koordinatensysteme_Das Kartesische Koordinatensystem.jpg|miniatur|Das Kartesische Koordinatensystem]]
+|style="background-color:#c9d7ec;text-align:center;"|
+<math>P=P(\rho,\varphi,z)</math><br>
+<math>0 \leq \rho \leq\infty</math><br>
+<math>0 \leq \varphi < 2\pi</math><br>
+<math>-\infty \leq z \leq\infty</math>
+|style="background-color:#dde6f3"|[[Image:Zylinderkoordinaten.png|center|miniatur|Zylinderkoordinaten]]
 |-
-|style="background-color:#dde6f3"|[[Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme]]
+|style="background-color:#dde6f3"|[[Kugelkoordinaten]]
+Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>r</math>, <math>\vartheta</math> und <math>\varphi</math> beschrieben. Dabei bezeichnet <math>r</math> den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. <math>\vartheta</math> gibt den Winkel zwischen der positiven <math>z</math>-Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden Ortsvektor an. Der Winkel <math>\varphi</math> wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt, also ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse. Die Richtung der Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_r</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\vartheta</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Alle Punkte mit identischem <math>\vartheta</math> liegen auf einem „Breitengrad” und Punkte mit identischem <math>\varphi</math> liegen auf einem „Längengrad“.
+|style="background-color:#c9d7ec;text-align:center;"|
+<math>P=P(r,\vartheta,\varphi)</math>
+<math>0\leq r\leq\infty</math><br>
+<math>0\leq \vartheta\leq\pi</math>
+<math>0\leq \varphi < 2\pi</math><br>
+|style="background-color:#dde6f3"|[[Image:Kugelkoordinaten.png|center|miniatur|Kugelkoordinaten]]
+|}
+<!--
+Namen der vorherigen Bilder aus dem Albach:
+[[Image:Koordinatensysteme Das Kartesische Koordinatensystem.jpg|center|miniatur|Kartesische Koordinaten]]
-|style="background-color:#c9d7ec"|
+[[Image:Koordinatensysteme Krummlinige Koordinaten3.jpg|center|miniatur|Zylinderkoordinaten]]
-:<math>P(u_1,u_2,u_3)=A\cdot\vec{\mathbf{e}}_1+B\cdot\vec{\mathbf{e}}_2+C\cdot\vec{\mathbf{e}}_3</math>
-|style="background-color:#dde6f3"|[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten.jpg|miniatur|Krummlinige Koordinaten]]
-|-
+[[Image:Koordinatensysteme Krummlinige Koordinaten4.jpg|center|miniatur|Kugelkoordinaten]]
-|style="background-color:#dde6f3"|[[Zylinderkoordinaten]]
+-->
-Bei den Zylinderkoordinaten bleibt die z Koordinate im Vergleich zu den kartesischen Koordinaten unverändert. In der xy-Ebene werden allerdings <math>\rho</math> und <math>\varphi</math> verwendet. <math>\rho</math> gibt den Abstand zur z-Achse an, während <math>\varphi</math> den Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Punkt P angibt. Dabei wird <math>\varphi</math> entgegen des Uhrzeigersinns gemessen.
-|style="background-color:#c9d7ec"|
-:<math>P(\rho,\varphi,z)=A\cdot\vec{\mathbf{e}}_r+B\cdot\vec{\mathbf{e}}_\varphi+C\cdot\vec{\mathbf{e}}_z</math>
-:<math>0\leq \rho\leq\infty</math>
-:<math>0\leq \varphi\leq 2\pi</math>
-:<math>-\infty\leq z\leq\infty</math>
-|style="background-color:#dde6f3"|[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten3.jpg|miniatur|Zylinderkoordinaten]]
-|-
-|style="background-color:#dde6f3"|[[Kugelkoordinaten]]
-Bei dem Kugelkoordinatensystem bestimmt ''r'' den Abstand zum Ursprung. <math>\varphi</math> wird wie bei den Zylinderkoordinaten zwischen der positiven x-Achse und dem Punkt entgegen des Uhrzeigersinns gezählt. Dabei entsprechen Punkte mit dem selben <math>\varphi</math>-Wert Punkte mit dem selben "Längengrad". Die dritte Koordinate ist der Winkel <math>\vartheta</math>, er wird zwischen der positiven z-Achse und dem Punkt P gemessen. Auch hier gilt, alle Punkte mit dem selben Winkel <math>\vartheta</math> liegen auf dem selben "Breitengrad".
-|style="background-color:#c9d7ec"|
-:<math>P(r,\varphi,\vartheta)=A\cdot\vec{\mathbf{e}}_r+B\cdot\vec{\mathbf{e}}_\varphi+C\cdot\vec{\mathbf{e}}_\vartheta</math>
-:<math>0\leq r\leq\infty</math>
-:<math>0\leq \varphi\leq 2\pi</math>
-:<math>0\leq \vartheta\leq\pi</math>
-|style="background-color:#dde6f3"|[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten4.jpg|miniatur|Kugelkoordinaten]]
-|}
+[[Kategorie:Feedback]]
+[[Kategorie:Artikel]]

Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht: Unterschied zwischen den Versionen

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