Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht: Unterschied zwischen den Versionen
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Da unterschiedliche Problemstellungen unterschiedlich komplexe Darstellungen erfordern, ist es sinnvoll verschiedene Koordinatensysteme zu verwenden ('''Argumentation unschlüssig'''). Möchte man beispielsweise die Kraftwirkung mehrerer Punktladungen aufeinander berechnen, verwendet man ein Koordinatensystem, um die Punktladungen in relativer Position zueinander angeben zu können ('''besser: die Positionen werden relativ zueinander angegeben, nicht die Punktladungen selbst'''). Dafür wird, egal ('''besser: unabhängig davon''') welches Koordinatensystem verwendet wird, immer ein fester Bezugspunkt gewählt. An welcher Stelle sich der Bezugspunkt befindet ist willkürlich. Wählt man diesen Bezugspunkt geschickt, vereinfacht sich dadurch jedoch die anschließende Berechnung ('''und wann liegt eine geschickte Wahl vor? -> z. B. wenn im Ursprung'''). | Da unterschiedliche Problemstellungen unterschiedlich komplexe Darstellungen erfordern, ist es sinnvoll verschiedene Koordinatensysteme zu verwenden ('''Argumentation unschlüssig'''). Möchte man beispielsweise die Kraftwirkung mehrerer Punktladungen aufeinander berechnen, verwendet man ein Koordinatensystem, um die Punktladungen in relativer Position zueinander angeben zu können ('''besser: die Positionen werden relativ zueinander angegeben, nicht die Punktladungen selbst'''). Dafür wird, egal ('''besser: unabhängig davon''') welches Koordinatensystem verwendet wird, immer ein fester Bezugspunkt gewählt. An welcher Stelle sich der Bezugspunkt befindet ist willkürlich. Wählt man diesen Bezugspunkt geschickt, vereinfacht sich dadurch jedoch die anschließende Berechnung ('''und wann liegt eine geschickte Wahl vor? -> z. B. wenn im Ursprung'''). | ||
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Version vom 3. August 2012, 16:52 Uhr
To-do:
- Einleitung hinzufügen
- Formulierungen überarbeiten (insbes. fett und diejenigen in der Tabelle)
- Hinweis, dass rho in ZK auch oft mit r bezeichnet wird
- Angeben, dass kartesisches System immer als Referenz dient
- Texte in nachfolgender Übersicht Ok.
Einführung
Da unterschiedliche Problemstellungen unterschiedlich komplexe Darstellungen erfordern, ist es sinnvoll verschiedene Koordinatensysteme zu verwenden (Argumentation unschlüssig). Möchte man beispielsweise die Kraftwirkung mehrerer Punktladungen aufeinander berechnen, verwendet man ein Koordinatensystem, um die Punktladungen in relativer Position zueinander angeben zu können (besser: die Positionen werden relativ zueinander angegeben, nicht die Punktladungen selbst). Dafür wird, egal (besser: unabhängig davon) welches Koordinatensystem verwendet wird, immer ein fester Bezugspunkt gewählt. An welcher Stelle sich der Bezugspunkt befindet ist willkürlich. Wählt man diesen Bezugspunkt geschickt, vereinfacht sich dadurch jedoch die anschließende Berechnung (und wann liegt eine geschickte Wahl vor? -> z. B. wenn im Ursprung).
Mithilfe von Koordinatensystemen kann die Position von einem Punkt P durch einen Vektor beschrieben werden, der ausgehend von einem gewählten Bezugspunkt zu diesem Punkt P zeigt. Der Vektor wird dann entweder mit Hilfe der Koordinatendarstellung oder der Komponentendarstellung beschrieben. Die Komponenten werden dabei in der Regel so gewählt, dass sie zueinander orthogonal sind, also senkrecht aufeinander stehen (richtig?).
Bei den drei in den folgenden Abschnitten betrachteten Fällen, nämlich den kartesischen Koordinaten, den Zylinderkoordinaten und den Kugelkoordinaten, handelt es sich um orthogonale Koordinatensysteme. Dabei stehen die Einheitsvektoren ,
,
senkrecht aufeinander und weisen immer in die Richtung wachsender Koordinatenwerte. Setzt man die Einheitsvektoren in das Skalarprodukt ein, ergibt sich durch die Orthogonalität automatisch (Formulierung):
Außerdem sind die hier (wo ist hier?) behandelten Koordinatensysteme so genannte Rechtssysteme, das heißt, dass das Vektorprodukt zweier aufeinander folgender Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor ergeben muss, dies kann auch durch die Rechte Hand Regel1 veranschaulicht werden:
Übersicht
Kartesische Koordinaten
Bei dem kartesischen Koordinatensystem wird ein Punkt |
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Zylinderkoordinaten
Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt |
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Kugelkoordinaten
Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt |
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