Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 18. April 2012, 18:03 Uhr

Einführung

Bei vielen verschiedenen Anwendungen ist es nötig, die Position im Raum relativ zueinander zu kennen. In der Elektrotechnik ist es beispielsweise sinnvoll, Koordinatensysteme zu wählen, um verschiedene Punktladungen im Raum darstellen zu können. Ein Beispiel hierfür ist die Kraftwirkung der Punktladungen, die durch ihre relative Position zueinander im Raum berechnet wird. Außerdem lassen sich durch die Koordinatensysteme viele Effekte anschaulich am Modell darstellen. Die Betrachtung von Äquipotentialflächen ist eine davon.

Punkte müssen immer relativ zueinander bestimmt werden können, dafür benötigen wir Koordinatensysteme

Die Positionen im Raum bestimmt man unter der Verwendung eines willkürlichen Bezugspunktes. So kann ein Punkt P durch einen Vektor beschrieben werden, der von einem Bezugspunkt (wird willkürlich zu 0 gesetzt) zu dem Punkt P zeigt. Der Vektor wird dann entweder mithilfe der Koordinatendarstellung angegeben, oder mithilfe der Komponentendarstellung beschrieben. Die Komponenten werden dabei in der Regel so gewählt, dass sie zueinander orthogonal sind, also senkrecht aufeinander stehen. Um den Punkten und Vektoren bestimmte Werte zuzuordnen, wählt man Koordinatensysteme die den Raum vollständig beschreiben können.

Da unterschiedliche Problemstellung unterschiedlich komplexe Darstellungen erfordern, gibt es auch verschiedene Koordinatensysteme. Vergleicht man beispielsweise die Strecke, die ein Auto auf einer Ebene zurücklegt mit der eines Flugzeugs, so zeigt sich, dass bei dem Auto eine zweidimensionale Betrachtung ausreicht, während das Flugzeug nicht vollständig dadurch beschrieben werden kann.

An dieser Stelle werden nur orthogonale Koordinatensysteme behandelt, da sie leicht nachvollziehbar und vorstellbar sind und für die in der Vorlesung behandelten Probleme ausreichen. Bei den in den folgenden Abschnitten betrachteten drei Fällen, nämlich den kartesischen Koordinaten, den Zylinderkoordinaten und den Kugelkoordinaten handelt es sich um solche orthogonale Koordinatensysteme. Außerdem sind es so genannte Rechtssysteme, deshalb weisen die Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{1}$ , $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{2}$ , $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{3}$ immer in die Richtung wachsender Koordinatenwerte und stehen dabei senkrecht aufeinander. Setzt man die Einheitsvektoren in das Skalarprodukt ein, ergibt sich durch die Orthogonalität automatisch:

\vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} \cdot \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} \cdot \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3} \cdot \vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} = 0

Ebenso gilt bei einem Rechtssystem, dass das Vektorprodukt zweier aufeinander folgender Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor ergeben muss, dies kann auch durch die [Rechte Hand Regel1] veranschaulicht werden:

\vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3}, \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{1}, \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2}

Übersicht

Das kartesische Koordinatensystem Bei dem kartesischen Koordinatensystem sind die Koordinatenachsen geradlinig und orthogonal angeordnet, so dass die Achsen ein Rechtssystem bilden, welches durch die Rechte Handregel1 beschrieben werden kann. Der Schnittpunkt der Achsen wird Koordinatenursprung genannt. Die Einheitsvektoren sind parallel zu den Achsen angeordnet und zeigen immer in Richtung wachsender Koordinatenwerte, daher sind die Einheitsvektoren auch unabhängig von der Position im Raum und zeigen immer dieselbe Richtung an.	$P= P(x,y,z)$ $-\infty\leq x\leq\infty$ $-\infty\leq y\leq\infty$ $-\infty\leq z\leq\infty$	Das Kartesische Koordinatensystem
Zylinderkoordinaten Bei den Zylinderkoordinaten bleibt die z Koordinate im Vergleich zu den kartesischen Koordinaten unverändert. In der xy-Ebene werden allerdings $\rho$ und $\varphi$ verwendet. $\rho$ gibt den Abstand zur z-Achse an, während $\varphi$ den Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Punkt P angibt. Dabei wird $\varphi$ entgegen des Uhrzeigersinns gemessen.	$P=P(\rho,\varphi,z)$ $0\leq \rho\leq\infty$ $0\leq \varphi\leq 2\pi$ $-\infty\leq z\leq\infty$	Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten Bei dem Kugelkoordinatensystem bestimmt r den Abstand zum Ursprung. $\varphi$ wird wie bei den Zylinderkoordinaten zwischen der positiven x-Achse und dem Punkt entgegen des Uhrzeigersinns gezählt. Dabei entsprechen Punkte mit dem selben $\varphi$ -Wert Punkte mit dem selben "Längengrad". Die dritte Koordinate ist der Winkel $\vartheta$ , er wird zwischen der positiven z-Achse und dem Punkt P gemessen. Auch hier gilt, alle Punkte mit dem selben Winkel $\vartheta$ liegen auf dem selben "Breitengrad".	$P(r,\varphi,\vartheta)=A\cdot\vec{\mathbf{e}}_r+B\cdot\vec{\mathbf{e}}_\varphi+C\cdot\vec{\mathbf{e}}_\vartheta$ $0\leq r\leq\infty$ $0\leq \varphi\leq 2\pi$ $0\leq \vartheta\leq\pi$	Kugelkoordinaten
Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme	$P=P(u_1,u_2,u_3)$	Krummlinige Koordinaten

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 == Einführung ==
-Bei vielen verschiedenen Anwendungen ist es nötig, die Position im Raum relativ zueinander zu kennen. In der Elektrotechnik ist es  beispielsweise sinnvoll Koordinatensysteme zu wählen, um verschiedene Punktladungen im Raum darstellen zu können. Ein Beispiel hierfür ist die Kraftwirkung der Punktladungen, die durch ihre relative Position zueinander im Raum berechnet wird. Außerdem lassen sich durch die Koordinatensysteme viele Effekte anschaulich am Modell darstellen. Die Betrachtung von Äquipotentialflächen ist eine davon.
+Bei vielen verschiedenen Anwendungen ist es nötig, die Position im Raum relativ zueinander zu kennen. In der Elektrotechnik ist es  beispielsweise sinnvoll, Koordinatensysteme zu wählen, um verschiedene Punktladungen im Raum darstellen zu können. Ein Beispiel hierfür ist die Kraftwirkung der Punktladungen, die durch ihre relative Position zueinander im Raum berechnet wird. Außerdem lassen sich durch die Koordinatensysteme viele Effekte anschaulich am Modell darstellen. Die Betrachtung von Äquipotentialflächen ist eine davon.
 [[Datei:Elektrische_Arbeit.png‎ |300 px|right|thumb|Punkte müssen immer relativ zueinander bestimmt werden können, dafür benötigen wir Koordinatensysteme]]
 Die Positionen im Raum bestimmt man unter der Verwendung eines willkürlichen Bezugspunktes. So kann ein Punkt ''P'' durch einen [[Einführung in die Vektorrechnung|Vektor]] beschrieben werden, der von einem Bezugspunkt (wird willkürlich zu 0 gesetzt) zu dem Punkt ''P'' zeigt. Der Vektor wird dann entweder mithilfe der [[Komponentendarstellung von Vektoren|Koordinatendarstellung]] angegeben, oder mithilfe der [[Komponentendarstellung von Vektoren| Komponentendarstellung]] beschrieben. Die Komponenten werden dabei in der Regel so gewählt, dass sie zueinander orthogonal sind, also senkrecht aufeinander stehen. Um den Punkten und Vektoren bestimmte Werte zuzuordnen, wählt man Koordinatensysteme die den Raum vollständig beschreiben können.

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