Wegelemente: Unterschied zwischen den Versionen

Aus GET A
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
(19 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
−
----
+
{{Navigation|before=[[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente]]|overview=[[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente]]|next=[[Flächenelemente]]}}
−
'''Neu'''
+
Infinitesimale Wegelemente sind beliebig kleine Teilelemente einer Kontur, die meist mit <math>C</math> bezeichnet wird. Sie werden zum Beispiel im Zusammenhang mit [[Das Linienintegral|Linienintegralen]] benötigt. Die Elemente werden meist mit <math>\mathrm{d}s</math> beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}</math> bezeichnet. Da es sich um beliebig kleine Teilelemente einer Kontur handelt, ist eine eventuell vorhandene Krümmung eines einzelnen Teilelements vernachlässigbar. Die zugehörige Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten Tangente.
−
----
+
 
 +
Am häufigsten werden geradlinige oder kreisförmige Konturen (bzw. Teile davon, d. h. Kreisbögen) verwendet. Ist beispielsweise eine auf der <math>x</math>-Achse gelegene und konstante Linienladungsdichte (=Ladungsmenge/Strecke) <math>\lambda</math> gegeben (siehe Abbildung), so erhält man die Gesamtladung <math>Q</math> durch Integration über diese Strecke.
 +
 
 
[[Datei:Linienladung Gerade.svg|300px|Linienladung entlang einer Koordinatenachse]]
 
[[Datei:Linienladung Gerade.svg|300px|Linienladung entlang einer Koordinatenachse]]
  
−
Infinitesimale Wegelemente sind beliebig kleine Teilelemente einer Kontur, die meist mit <math>C</math> bezeichnet wird. Sie werden zum Beispiel im Zusammenhang mit [[Das Linienintegral|Linienintegralen]] benötigt. Die Elemente werden meist mit <math>\mathrm{d}s</math> beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}</math> bezeichnet. Die Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten Tangente.
+
Ein beliebig kleines Teilstück der <math>x</math>-Achse ist dann durch <math>\mathrm{d}x</math> gegeben, so dass das zugehörige Integral folgende Form annimmt:
 +
:<math>
 +
Q = \int_C \lambda\, \mathrm{d}s = \int_0^l \lambda\, \mathrm{d}x = \lambda l
 +
</math>
 +
 
 +
Bei einer kreisförmigen Kontur, wie sie in der nachfolgenden Abbildung dargestellt ist, bietet sich die Verwendung von [[Zylinderkoordinaten|Polarkoordinaten]] an.
 +
 
 +
[[Datei: Wegelement_Kreis.svg|300px|Wegelement auf einer Kreisbahn]]
 +
 
 +
Ein beliebig kleines Teilstück der Kreiskontur schließt dabei einen ebenfalls beliebig kleinen Winkel <math>\mathrm{d}\varphi</math> ein. Der Gesamtumfang des Kreises ergibt sich gemäß <math>U=2\pi r</math>. Hierbei entspricht der Wert <math>2\pi</math> dem vom Kreis erfassen Winkel im Bogenmaß. Hat man nun also nur noch ein beliebig kleines Teilstück des Kreises und damit statt <math>2\pi</math> nur noch einen Winkel <math>\mathrm{d}\varphi</math> gegeben, so folgt für das entsprechende Wegelement:
 +
:<math>
 +
\mathrm{d}s = \mathrm{d}\varphi\, r
 +
</math>
 +
Mit Hilfe der [[Zylinderkoordinaten|Polarkoordinaten]] ist auch die Angabe gerichteter Elemente möglich, bei einer Orientierung entgegen des Uhrzeigersinns ergibt sich hier zum Beispiel das folgende Element:
 +
:<math>
 +
\mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = \mathrm{d}\varphi\, r\, \vec{\textbf{e}}_\varphi
 +
</math>
 +
Eine Übersicht dieser und weiterer Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der [[Formelsammlung Koordinatensysteme]].
  
 +
<!--
 
----
 
----
 
'''Alt'''
 
'''Alt'''
 
----
 
----
 +
[[Datei:Linienladung Gerade.svg|300px|Linienladung entlang einer Koordinatenachse]]
 +
 
Betrachtet man in der Abbildung das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math>, so fällt auf, dass es in beliebige Richtungen zeigt ('''hä? woran soll das hier auffallen?'''), ebenso wie auch die Kontur im Durchflutungssatz eine beliebige ('''nein, sie muss zumindest geschlossen sein, also isrt sie nicht beliebig''') Form annehmen kann. Wichtig ist hierbei, dass das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math> als '''infinitesimales''' Wegstück aufgefasst werden soll. Es ist also ein sehr kleines Wegstück, so klein, dass die Krümmung des einzelnen Wegstücks vernachlässigbar wird.  
 
Betrachtet man in der Abbildung das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math>, so fällt auf, dass es in beliebige Richtungen zeigt ('''hä? woran soll das hier auffallen?'''), ebenso wie auch die Kontur im Durchflutungssatz eine beliebige ('''nein, sie muss zumindest geschlossen sein, also isrt sie nicht beliebig''') Form annehmen kann. Wichtig ist hierbei, dass das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math> als '''infinitesimales''' Wegstück aufgefasst werden soll. Es ist also ein sehr kleines Wegstück, so klein, dass die Krümmung des einzelnen Wegstücks vernachlässigbar wird.  
  
Zeile 20: Zeile 42:
  
 
In dieser Vorlesung werden '''nur einfache Verläufe''' entlang der Koordinatenachsen uns bekannter [[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Koordinatensysteme]] verwendet (''stimmt nicht!!!''). Für kompliziertere Verläufe gibt es ('''besser: existieren''') mathematische Hilfsmittel, auf die hier aber nicht näher eingegangen werden soll ('''wird!'''). Es werden hauptsächlich für Wegelemente in den kartesischen Koordinaten <math>\mathrm{d}x</math>,<math>\mathrm{d}y</math> oder <math>\mathrm{d}z</math>, in den Zylinderkoordinaten <math>\mathrm{d}\rho</math> oder <math>\mathrm{d}\varphi</math> und in den Kugelkoordinaten <math>\mathrm{d}r</math> verwendet ('''Du sprechen Deutsch?''').
 
In dieser Vorlesung werden '''nur einfache Verläufe''' entlang der Koordinatenachsen uns bekannter [[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Koordinatensysteme]] verwendet (''stimmt nicht!!!''). Für kompliziertere Verläufe gibt es ('''besser: existieren''') mathematische Hilfsmittel, auf die hier aber nicht näher eingegangen werden soll ('''wird!'''). Es werden hauptsächlich für Wegelemente in den kartesischen Koordinaten <math>\mathrm{d}x</math>,<math>\mathrm{d}y</math> oder <math>\mathrm{d}z</math>, in den Zylinderkoordinaten <math>\mathrm{d}\rho</math> oder <math>\mathrm{d}\varphi</math> und in den Kugelkoordinaten <math>\mathrm{d}r</math> verwendet ('''Du sprechen Deutsch?''').
−
 
+
-->
 
<noinclude>==Literatur==
 
<noinclude>==Literatur==
−
* Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
+
* Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, ''Mathematik für Naturwissenschaftler'', 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
−
* Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, ''Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung'', 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
+
</noinclude>
−
* Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
 
−
* Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, ''Mathematik für Naturwissenschaftler'', 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
 
−
* Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg
 
−
 
 
  
−
{{Navigation|before=[[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente]]|overview=[[Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente]]|next=[[Flächenelemente]]}}
+
[[Kategorie:Artikel]]
−
</noinclude>
+
[[Kategorie:Feedback]]

Aktuelle Version vom 5. November 2012, 15:06 Uhr

← Zurück: Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente Übersicht: Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente Vorwärts: Flächenelemente →

Infinitesimale Wegelemente sind beliebig kleine Teilelemente einer Kontur, die meist mit C bezeichnet wird. Sie werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Linienintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit \mathrm{d}s beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} bezeichnet. Da es sich um beliebig kleine Teilelemente einer Kontur handelt, ist eine eventuell vorhandene Krümmung eines einzelnen Teilelements vernachlässigbar. Die zugehörige Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten Tangente.

Am häufigsten werden geradlinige oder kreisförmige Konturen (bzw. Teile davon, d. h. Kreisbögen) verwendet. Ist beispielsweise eine auf der x-Achse gelegene und konstante Linienladungsdichte (=Ladungsmenge/Strecke) \lambda gegeben (siehe Abbildung), so erhält man die Gesamtladung Q durch Integration über diese Strecke.

Linienladung entlang einer Koordinatenachse

Ein beliebig kleines Teilstück der x-Achse ist dann durch \mathrm{d}x gegeben, so dass das zugehörige Integral folgende Form annimmt:

Q = \int_C \lambda\, \mathrm{d}s = \int_0^l \lambda\, \mathrm{d}x = \lambda l

Bei einer kreisförmigen Kontur, wie sie in der nachfolgenden Abbildung dargestellt ist, bietet sich die Verwendung von Polarkoordinaten an.

Wegelement auf einer Kreisbahn

Ein beliebig kleines Teilstück der Kreiskontur schließt dabei einen ebenfalls beliebig kleinen Winkel \mathrm{d}\varphi ein. Der Gesamtumfang des Kreises ergibt sich gemäß U=2\pi r. Hierbei entspricht der Wert 2\pi dem vom Kreis erfassen Winkel im Bogenmaß. Hat man nun also nur noch ein beliebig kleines Teilstück des Kreises und damit statt 2\pi nur noch einen Winkel \mathrm{d}\varphi gegeben, so folgt für das entsprechende Wegelement:

\mathrm{d}s = \mathrm{d}\varphi\, r

Mit Hilfe der Polarkoordinaten ist auch die Angabe gerichteter Elemente möglich, bei einer Orientierung entgegen des Uhrzeigersinns ergibt sich hier zum Beispiel das folgende Element:

\mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = \mathrm{d}\varphi\, r\, \vec{\textbf{e}}_\varphi

Eine Übersicht dieser und weiterer Elemente in verschiedenen Koordinatensystemen findet sich in der Formelsammlung Koordinatensysteme.

Literatur

  • Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
Abgerufen von „https://getwww.uni-paderborn.de/wiki/geta/index.php?title=Wegelemente&oldid=6034“