Wegelemente: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 29. August 2012, 21:04 Uhr

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Infinitesimale Wegelemente sind beliebig kleine Teilelemente einer Kontur, die meist mit bezeichnet wird. Sie werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Linienintegralen benötigt. Die Elemente werden meist mit beziehungsweise bei einer gerichteten Kontur mit bezeichnet. Da es sich um beliebig kleine Teilelemente einer Kontur handelt, ist eine eventuell vorhandene Krümmung eines einzelnen Teilelements vernachlässigbar. Die Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten Tangente.

Am häufigsten werden geradlinige oder kreisförmige Konturen (bzw. Teile davon, d. h. Kreisbögen) verwendet. Ist beispielsweise eine auf der -Achse gelegene und konstante Linienladungsdichte (=Ladungsmenge/Strecke) gegeben (siehe Abbildung), so erhält man die Gesamtladung durch Integration über diese Strecke.

Ein beliebig kleines Teilstück der -Achse ist dann durch gegeben, so dass das zugehörige Integral folgende Form annimmt:

Bei einer kreisförmigen Kontur, wie sie in der nachfolgenden Abbildung dargestellt ist, bietet sich die Verwendung von Polarkoordinaten an.

Ein beliebig kleines Teilstück der Kreiskontur schließt dabei einen ebenfalls beliebig kleinen Winkel ein. Der Gesamtumfang des Kreises ergibt sich gemäß . Hierbei entspricht der Wert dem vom Kreis erfassen Winkel im Bogenmaß. Hat man nun also nur noch ein beliebig kleines Teilstück des Kreises und damit statt nur noch einen Winkel gegeben, so folgt für das entsprechende Wegelement:

Mit Hilfe der Polarkoordinaten ist auch die Angabe gerichteter Elemente möglich, bei einer Orientierung entgegen des Uhrzeigersinns ergibt sich hier zum Beispiel das folgende Element:

Alt

Betrachtet man in der Abbildung das Wegelement , so fällt auf, dass es in beliebige Richtungen zeigt (hä? woran soll das hier auffallen?), ebenso wie auch die Kontur im Durchflutungssatz eine beliebige (nein, sie muss zumindest geschlossen sein, also isrt sie nicht beliebig) Form annehmen kann. Wichtig ist hierbei, dass das Wegelement als infinitesimales Wegstück aufgefasst werden soll. Es ist also ein sehr kleines Wegstück, so klein, dass die Krümmung des einzelnen Wegstücks vernachlässigbar wird.

In den nebenstehenden Abbildungen (nebenstehend sind keine Abbildungen) sind zwei beispielhafte Verläufe einer Linienladung dargestellt. Im ersten Fall verläuft die Linienladung nur entlang der x-Achse. Das Wegelement kann hier also mit dem Differential dargestellt (wirklich dargestellt?) werden, da die zu integrierenden Funktion nur von x abhängt.

Ist jedoch der Kurvenverlauf aus der zweiten Abbildung gegeben, ist die Funktion von x und y abhängig . Nun kann man nicht einfach nach und integrieren, weil so eine Fläche aufgespannt wird und man so ein Flächenelement erhält (Argumentation des letzten Satzes unschlüssig). Da hier ein Kreisbogen betrachtet wird, bietet sich die Verwendung von Polarkoordinaten, da so der Kreisbogen nur noch von einer Koordinate abhängt (1. Du sprechen Deutsch? 2. "Der Kreisbogen" ist doch Quatsch. Ist die LÄNGE DES KREISBOGENS gemeint?).

Es muss darauf geachtet werden, dass vor allem bei den gekrümmten orthogonalen Koordinaten oft Korrekturfaktoren (Man weiß doch gar nicht, was Korrekturfaktoren sein sollen!) bei infinitesimalen Elementen zu berücksichtigen sind. Hier ist die Koordinate auch vom Radius r abhängig. Dies entspricht einer Umfangsberechnung des Kreises. Der Kreis hat einen Gesamtumfang von . Betrachtet man ein kleines Teilstück des Kreises folgt: (In Grafik untereinander darstellen).

In dieser Vorlesung werden nur einfache Verläufe entlang der Koordinatenachsen uns bekannter Koordinatensysteme verwendet (stimmt nicht!!!). Für kompliziertere Verläufe gibt es (besser: existieren) mathematische Hilfsmittel, auf die hier aber nicht näher eingegangen werden soll (wird!). Es werden hauptsächlich für Wegelemente in den kartesischen Koordinaten , oder , in den Zylinderkoordinaten oder und in den Kugelkoordinaten verwendet (Du sprechen Deutsch?).

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
• Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
• Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
• Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
• Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg