Volumenelemente: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 29. August 2012, 22:23 Uhr

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Infinitesimale Volumenelemente sind beliebig kleine Teilelemente eines Volumens, das meist mit $V$ bezeichnet wird. Volumenelemente werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Volumenintegralen benötigt. Prinzipiell handelt es sich um eine konsequente Fortsetzung der Beschreibung infinitesimaler Weg- und Flächenelemente. Infinitesimale Volumenelemente werden meist mit $\mathrm{d}V$ bezeichnet.

Da einem Volumen keine Richtung zugeordnet werden kann, tritt dieses Element immer nur als Betrag auf.

Ein infinitesimales Volumenelement ergibt sich gemäß der bekannten Regel „Grundfläche multipliziert mit der Höhe“, wobei die Grundfläche nun ein infinitesimales Flächenelement und die Höhe ein infinitesimales Wegelement darstellt. Somit ergibt sich ein infinitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten wie folgt:

\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

In der nachfolgenden Abbildung wird die Bestimmung eines infinitesimalen Volumenelements in Zylinderkoordinaten verdeutlicht:

Im Artikel Flächenelemente wurde bereits die Bestimmung einer infinitesimalen Kreisringfläche beschrieben. Die Fläche muss nun noch mit dem infinitesimalen Wegstück $\mathrm{d}z$ (entspricht der „Höhe“) multipliziert werden, so dass hier folgt:

\mathrm{d}V=\underbrace{\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\rho}_{\mathrm{d}A}\mathrm{d}z

Alt

Betrachtet man das Volumenelement in kartesischen Koordinaten ändert sich nicht viel im vergleich zu dem Flächenelement in kartesischen Koordinaten (GEHT GAR NICHT!!!). Es muss nur auch noch die Ausdehnung in z-Richtung berücksichtigt werden. Also ergibt sich ein infinitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten zu:

\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

Aus ähnlichen Betrachtungen ergeben sich die Volumenelemente, die in den Abbildungen zu sehen sind:

Das Flächenelement einer Kreisfläche wurde schon besprochen (Lieber im nachfolgenden Satz ausgehend vom Flächenelement auf den oberen Teil verweisen). Bei dem Volumenelement in Zylinderkoordinaten wird zu diesem Flächenelement, wie in der Abbildung zu sehen, noch eine Höhenkomponente (Begriff fragwürdig) in z-Richtung (Was bedeutet in z-Richtung multiplizieren?) multipliziert. Daher lautet das Volumenelement:

\mathrm{d}V=\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\rho\mathrm{d}z

Das Volumenelement (gibt es denn nur eins?) der (in!) Kugelkoordinaten ergibt sich aus der Symmetrie einer Kugel (hä?). Wie in der Abbildung zu sehen kann man die verschiedenen Kanten des Volumenelementes mit den Koordinatenabhängigkeiten beschreiben. So ergibt beisielsweise die Höhen Seite $r\mathrm{d}\vartheta$ aus den Zusammenhängen, die schon bei den kreisförmigen Wegelementen beschreiben wurden. Multipliziert man alle Abhängigkeiten auf ergibt sich das Volumenelement zu (gibt es denn nur eins?):

\mathrm{d}V=r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r

Beispiel: Volumenelement in kartesischen Koordinaten

Volumenelement in kartesischen Koordinaten

In diesem Beispiel ist eine homogene Raumladungsdichte $\rho$ in einem Quader mit den Kantenlängen a, b und c (einzeichnen!) gegeben. Die Raumladungsdichte ist bestimmt als Ladung pro Volumen, daher muss, um die Gesamtladung zu bestimmen, über das Volumen des Quaders integriert werden:

Q=\int_V\rho\mathrm{d}V

Das Volumenelement der kartesischen Koordinaten lautet (besser: ein infinitessimal kleines VElement in kart. Koord. lässt sich wie folgt beschreiben -> siehe oben (Link)):

\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

Es kann direkt in die Gleichung eingesetzt und das Integral gelöst werden. Da die Raumladungsdichte $\rho$ homogen ist, ist sie in dem gesamten Integrationsgebiet konstant und kann vor das Integral geschrieben werden:

Q=\int_a\int_b\int_c \rho \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\rho\int_a\int_b\int_c\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

Q=\rho\cdot a\cdot b\cdot c=\rho\cdot V

Beispiel: Volumenelement einer Kugel

Raumladung einer Kugel

Im zweiten Beispiel wird eine eine kugelförmige, konstante Raumladungsdichte $\rho$ mit Radius R betrachtet. Um nun die gesamte Ladung zu bestimmen, muss über das Volumen der Kugel integriert werden. In diesem Fall bietet sich aufgrund der Symmetrie die Berechnung in Kugelkoordinaten an:

Q=\int_V\rho\mathrm{d}V

Um über die gesamte Kugel zu integrieren, muss man die Integrationsgrenzen korrekt wählen. Da die gesamte Kugel betrachtet wird, muss die maximalen Ausdehnungen der Kugelkoordinaten für die Winkel $\theta$ und $\varphi$ gewählt werden, der Radius ergibt sich aus der Anordnung zu $r_{max}=R$ :

0\leq\varphi\leq 2\pi

0\leq\vartheta\leq\pi

Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinaten verwendet werden. Dies ergibt sich aus der Symmetrie, zu:

\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r

Eingesetzt folgt daraus:

Q=\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot \tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta

Da $\rho$ homogen ist, also unabhängig von dem Ort, kann man die Konstante vor das Integral ziehen und das Integral dann lösen:

Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^3}{3}\right|_0^R=\rho\frac{4\pi R^3}{3}

Dies enspricht abgesehen von der Konstante $\rho$ dem Volumen einer Kugel.

Multimediale Lehrmaterialien

http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073451342/student_view0/chapter13/section6/cylindrical_coordinates__app_.html Darstellung von infinitesimalen Volumenelementen in Zylinderkoordinaten (engl.)

Hilfreiche Links

http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.)

Literatur

Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg

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 Da einem Volumen keine Richtung zugeordnet werden kann, tritt dieses Element immer nur als Betrag auf.
+Ein infinitesimales Volumenelement ergibt sich gemäß der bekannten Regel „Grundfläche multipliziert mit der Höhe“, wobei die Grundfläche nun ein infinitesimales Flächenelement und die Höhe ein infinitesimales Wegelement darstellt. Somit ergibt sich ein infinitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten wie folgt:
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+In der nachfolgenden Abbildung wird die Bestimmung eines infinitesimalen Volumenelements in Zylinderkoordinaten verdeutlicht:
+[[Datei:Volumenelement_Zylinder.svg|500px|Volumenelement eines Zylinders]]
+Im Artikel [[Flächenelemente]] wurde bereits die Bestimmung einer infinitesimalen Kreisringfläche beschrieben. Die Fläche muss nun noch mit dem infinitesimalen Wegstück <math>\mathrm{d}z</math> (entspricht der „Höhe“) multipliziert werden, so dass hier folgt:
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+\mathrm{d}V=\underbrace{\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\rho}_{\mathrm{d}A}\mathrm{d}z
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