Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten

Das Kugelkoordinatensystem ermöglicht insbesondere dann eine kompakte Beschreibung von Positionen und gerichteten Größen im Raum, wenn man es mit kugelförmigen Anordnungen zu tun hat. Das elektrische Feld einer Punktladung, die näherungsweise als kugelförmig angenommen werden kann, lässt sich zum Beispiel wesentlich einfacher in Kugel- als in kartesischen Koordinaten beschreiben (vgl. Einführung in der Übersicht zu orthogonalen Koordinatensystemen sowie Lösung vektorieller Mehrfachintegrale). Es gibt einige weitere Beispiele wie etwa die Beschreibung des elektrischen Feldes einer kugelförmigen Raumladung. Bei dem Kugelkoordinatensystem handelt es sich um ein krummliniges orthogonales Koordinatensystem.

Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt $P$ im Raum durch die drei Koordinaten $r$, $\varphi$ und $\vartheta$ beschrieben. Dabei bezeichnet $r$ den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. Der Winkel $\varphi$ wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt, also ausgehend von der positiven $x$-Achse in Richtung der positiven $y$-Achse. $\vartheta$ gibt den Winkel zwischen der positiven $z$-Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden Ortsvektor an. Der Winkel durchläuft dabei den Wertebereich $0\leq\vartheta\leq\pi$, so dass der positiven $z$-Achse der Wert $\vartheta=0$ und der negativen $z$-Achse der Wert $\vartheta=\pi$ zugeordnet ist (Achtung: Fälschlicherweise wird häufig ein Wertebereich von $0\leq\vartheta\leq 2\pi$ angenommen). Betrachtet man die Koordinatenfläche $r = \mathrm{konstant}$, so entspricht diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Alle Punkte mit identischem $\varphi$ liegen dabei auf einem „Längengrad” und Punkte mit identischem $\vartheta$ liegen auf einem „Breitengrad“.

Die Richtung der Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_r$, $\vec{\textbf{e}}_\varphi$ und $\vec{\textbf{e}}_\vartheta$ hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht, dass $\vec{\mathbf{e}}_\varphi$ und $\vec{\mathbf{e}}_\vartheta$ immer tangential zu den Kreisbögen der $\varphi$-Koordinatenlinie bzw. $\theta$-Koordinatenlinie im Punkt $P$ verlaufen und $\vec{\textbf{e}}_r$ immer in Richtung des Ortsvektors $\vec{\textbf{r}}$ zeigt.

Die Koordinaten und Einheitsvektoren der verschiedenen Koordinatensysteme können mit Hilfe von Transformationsgleichungen ineinander umgerechnet werden (siehe hierzu Formelsammlung Koordinatensysteme). Möchte man beispielsweise den Wert $x$ in kartesischen Koordinaten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Punktes $P(r,\varphi,\vartheta)$ ermitteln, so bietet sich die Verwendung trigonometrischer Funktionen an. Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass hierzu zunächst die Strecke $\rho$ in der $x$-$y$-Ebene zu bestimmen ist:

$\rho = r \sin \vartheta$

Weiterhin ist ersichtlich, dass $\rho$ der Hypotenuse und $x$ der Ankathete in Bezug auf das durch $\varphi$ gegebene rechtwinklige Dreieck entspricht. Damit gilt:

$x = \rho \cos\varphi$

Setzt man nun $\rho$ in die untere Gleichung ein, so erhält man:

$x = r \sin\vartheta \cos\varphi$

Weitere Umrechnungen lassen sich analog herleiten und sind in der folgenden Tabelle angegeben:

Umrechnung von Kugel- in kartesische Koordinaten	$\begin{align} \mathrm{x} & = r \sin\vartheta \cos\varphi & && && && 0 &\leq r < \infty \end{align}$
	$\begin{align} \mathrm{y} &= r \sin\vartheta \sin\varphi & &\text{mit}& & 0 &\leq \vartheta \leq \pi \end{align}$
	$\begin{align} \mathrm{z}& = r \cos \vartheta & && && && && && && 0 &\leq \varphi < 2 \pi \end{align}$

Eine differentielle (infinitesimale) Änderung des Ortsvektors $\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}$ ausgehend vom Punkt $P$ um $\mathrm{d}\rho, \mathrm{d}\varphi, \mathrm{d}\vartheta$ wird wie folgt beschrieben:

$\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_r \mathrm{d}r + \vec{\textbf{e}}_\vartheta r \mathrm{d}\vartheta + \vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi$

Für weitere Umrechnungen und Zusammenhänge wird auf die Formelsammlung Koordinatensysteme verwiesen.

Je nachdem, in welchen Bereichen (Intervallen) sich die Koordinaten bewegen, werden verschiedene Linien-, Flächen- und Volumenelemente beschrieben. Hält man z. B. alle Koordinaten bis auf $\varphi$ konstant, so ergeben sich „Breitengrade“ (vgl. Koordinatenlinien). Zur Verdeutlichung dieser Zusammenhänge kann das unten eingebundene Applet verwendet werden.

Applet

- Platzhalter Applet -

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich) http://www.pha.jhu.edu/~javalab/spherical/spherical.html Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl.) http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Allgemeine Einführung in die Polarkoordinaten (engl.)

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