Komponentendarstellung von Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen
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Betrachtet man beispielsweise einen Vektor <math>\vec{\textbf{a}}</math> im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, so lässt sich dieser auch als Summe der Produkte seiner Komponenten und den zugehörigen [[Einheitsvektoren]], die in die Richtungen der jeweiligen Koordinatenachsen zeigen, angeben: | Betrachtet man beispielsweise einen Vektor <math>\vec{\textbf{a}}</math> im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, so lässt sich dieser auch als Summe der Produkte seiner Komponenten und den zugehörigen [[Einheitsvektoren]], die in die Richtungen der jeweiligen Koordinatenachsen zeigen, angeben: | ||
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− | \vec{\textbf{a}} = | + | \vec{\textbf{a}} = \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z \end{bmatrix} = a_x \vec{\textbf{e}}_{x} + a_y \vec{\textbf{e}}_{y} + a_z \vec{\textbf{e}}_{z} |
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Die Schreibweise mit den Klammern heißt '''Koordinatendarstellung''', die andere '''Komponentendarstellung'''. Die Gültigkeit dieses Zusammenhangs lässt sich anhand des zweidimensionalen Beispiels in der Abbildung zur Vektorzerlegung nachvollziehen: Bildet man die Summe der beiden Vektoren <math>a_x \vec{\textbf{e}}_x</math> und <math>a_y \vec{\textbf{e}}_y</math>, so erhält man wieder den ursprünglichen Vektor <math>\vec{\textbf{a}}</math>. Führt man nun wie dargestellt einen Winkel <math>\alpha</math> ein, so lässt sich feststellen, dass sich die Strecke <math>a_x</math> mit Hilfe des Kosinus wie folgt bestimmen lässt: | Die Schreibweise mit den Klammern heißt '''Koordinatendarstellung''', die andere '''Komponentendarstellung'''. Die Gültigkeit dieses Zusammenhangs lässt sich anhand des zweidimensionalen Beispiels in der Abbildung zur Vektorzerlegung nachvollziehen: Bildet man die Summe der beiden Vektoren <math>a_x \vec{\textbf{e}}_x</math> und <math>a_y \vec{\textbf{e}}_y</math>, so erhält man wieder den ursprünglichen Vektor <math>\vec{\textbf{a}}</math>. Führt man nun wie dargestellt einen Winkel <math>\alpha</math> ein, so lässt sich feststellen, dass sich die Strecke <math>a_x</math> mit Hilfe des Kosinus wie folgt bestimmen lässt: |
Version vom 20. August 2012, 18:56 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Komponentenzerlegung eines Vektors
Betrachtet man beispielsweise einen Vektor im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, so lässt sich dieser auch als Summe der Produkte seiner Komponenten und den zugehörigen Einheitsvektoren, die in die Richtungen der jeweiligen Koordinatenachsen zeigen, angeben:
Die Schreibweise mit den Klammern heißt Koordinatendarstellung, die andere Komponentendarstellung. Die Gültigkeit dieses Zusammenhangs lässt sich anhand des zweidimensionalen Beispiels in der Abbildung zur Vektorzerlegung nachvollziehen: Bildet man die Summe der beiden Vektoren und , so erhält man wieder den ursprünglichen Vektor . Führt man nun wie dargestellt einen Winkel ein, so lässt sich feststellen, dass sich die Strecke mit Hilfe des Kosinus wie folgt bestimmen lässt:
Mit Hilfe des Skalarprodukts (geometrisch interpretiert auch weil sich die Strecke bei der Projektion des Vektors auf die parallel zum Einheitsvektor verlaufende Linie ergibt) lässt sich dieser Zusammenhang dann wie folgt ausdrücken:
Folglich können die Komponenten eines Vektors einfach dadurch bestimmt werden, dass man das Skalarprodukt aus diesem Vektor und den jeweils zugehörigen Einheitsvektoren bildet:
Komponentendarstellung von Vektorbeziehungen
Betrachtet man nun noch mal die verschiedenen Vektorbeziehungen, so lassen sich diese in Komponentendarstellung wie folgt angeben:
Addition und Subtraktion von Vektoren
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Skalarprodukt
Bildet man das Skalarprodukt zweier gleicher Vektoren, so ergibt sich der folgende Sonderfall:
Der Betrag von lässt sich also auch dadurch bestimmen, dass man die Wurzel aus dem Skalarprodukt bildet:
Vektorprodukt
Multimediale Lehrmaterialien
http://www.walter-fendt.de/ph14d/zerlkraft.htm Applet: Zerlegung eines Vektors in seine Komponenten |
Literatur
- Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
- Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
- Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
- Anthony Croft and Robert Davison, Mathematics for Engineers: a modern interactive approach, 3. Auflage (Pearson-Prentice Hall, 2008)
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