Einfache Rechenoperationen mit Vektoren

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Zu diesem Thema stehen Aufgaben zur Selbstkontrolle zur Verfügung.

Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoraddition und -subtraktion

Vektoren lassen sich sowohl graphisch als auch rechnerisch addieren. Bei der grafischen Addition wird einer der Vektoren parallel verschoben, so dass sein Anfang an der Spitze des zweiten Pfeils liegt (die Vektoren werden also sozusagen aneinandergereiht). Der resultierende Vektor wird als Summenvektor bezeichnet und zeigt vom Anfangspunkt des einen Vektors zur Spitze des parallel verschobenen Vektors (siehe Abbildung). Zur mathematischen Bestimmung des Summenvektors werden die einzelnen Komponenten addiert:

$\vec{\textbf{a}} + \vec{\textbf{b}} = \begin{bmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_x+b_x\\a_y+b_y\\a_z+b_z \end{bmatrix}$

Sowohl anhand der grafischen Addition — es spielt offensichtlich keine Rolle welcher der beiden Vektoren an die Spitze des anderen verschoben wird — als auch anhand der rechnerischen Bestimmung des Summenvektors wird deutlich, dass die Vektoraddition dem Kommutativgesetz genügt. Folglich gilt:

$\vec{\textbf{a}}+\vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{b}}+\vec{\textbf{a}}$

Bei der Subtraktion zweier Vektoren wird der resultierende Vektor als Differenzvektor bezeichnet. Zur graphischen Bestimmung des Differenzvektors $\vec{\textbf{a}}-\vec{\textbf{b}}$ lässt sich ausnutzen, dass $\vec{\textbf{a}}-\vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{a}}+(-\vec{\textbf{b}})$ gilt. Dies bedeutet nämlich, dass die beiden Vektoren einfach addiert werden können, sofern man zuvor die Richtung des Vektors $\vec{\textbf{b}}$ umkehrt. Zur mathematischen Bestimmung des Differenzvektors werden die einzelnen Komponenten subtrahiert:

$\vec{\textbf{a}} - \vec{\textbf{b}} = \begin{bmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_x-b_x\\a_y-b_y\\a_z-b_z \end{bmatrix}$

Zur Addition und Subtraktion von mehr als zwei Vektoren gelten die beschriebenen Beziehungen in analoger Weise, bei der graphischen Addition werden also beispielsweise sämtliche Vektoren aneinandergereiht.

Beispiel: Anwendung der Vektoraddition Ein häufiger Anwendungsfall der Vektoraddition ergibt sich bei der Bestimmung von resultierenden Feldgrößen im Raum, da diese meist durch Überlagerung mehrerer einzelner Felder bestimmt werden können. Betrachtet man beispielsweise zwei Punktladungen $Q_1$ und $Q_2$, so rufen beide Ladungen unabhängig voneinander die elektrischen Feldstärken $\vec{\textbf{E}}_1$ und $\vec{\textbf{E}}_2$ hervor (siehe Abbildung). Die Vektoren der elektrischen Feldstärke, die von der positiven Ladung $Q_1$ ausgehen, zeigen radialsymmetrisch in den Raum. Die Vektoren der elektrischen Feldstärke, die von der negativen Ladung $Q_2$ ausgehen, zeigen aufgrund des umgekehrten Vorzeichens radialsymmetrisch in Richtung dieser Ladung. Die resultierende Gesamtfeldstärke $\vec{\textbf{E}}$ in jedem Punkt im Raum lässt sich nun dadurch bestimmen, dass die dort vorliegenden Einzelfeldstärken vektoriell addiert werden: $\vec{\textbf{E}} = \vec{\textbf{E}}_1 + \vec{\textbf{E}}_2$ Fasst man die Summenvektoren als gerichtete Tangenten auf, so beschreiben die zugehörigen Kurven die korrespondierenden Feldlinien.

Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar

Multiplikation eines Vektors $\vec{a}$ mit einem Skalar

Bei der Multiplikation eines Vektors $\vec{\textbf{a}}$ mit einem positiven reellen Skalar $\lambda$ erhält man einen neuen Vektor, dessen Richtung mit derjenigen des ursprünglichen Vektors übereinstimmt. Bei der Multiplikation eines Vektors $\vec{\textbf{a}}$ mit einem negativen reellen Skalar $\lambda$ erhält man einen Vektor mit entgegengesetzter Richtung. Die Länge des neuen Vektors ändert sich in beiden Fällen um den Faktor $|\lambda|$. Dies wird sofort anhand der mathematischen Bestimmung des neuen Vektors ersichtlich, bei der jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert wird:

$\lambda \begin{bmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda a_x\\ \lambda a_y\\ \lambda a_z \end{bmatrix} \Rightarrow |\lambda \vec{\textbf{a}}| = |\lambda| |\vec{\textbf{a}}|$

Bei der Multiplikation mit einem Skalar $\lambda = 0$ erhält man als Sonderfall den Nullvektor $\vec{\textbf{0}}$ mit dem Betrag $0$ und unbestimmter Richtung. Ein praktisches Beispiel für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar findet sich in der Einführung in die Vektorrechnung.

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/VectorsIn3D/ Applet: Vektoraddition im dreidimensionalem Raum (engl.) http://demonstrations.wolfram.com/3DVectorDecomposition/ Applet: Vektoraddition im dreidimensionalem Raum mit 3 Vektoren (engl.) http://demonstrations.wolfram.com/SumOfTwoVectors/ Applet: Vektoraddition in kartesischen Koordinaten (engl.)

Hilfreiche Links

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vect.html Allgemeine Einführung in Vektoroperationen (engl.)

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
• Anthony Croft und Robert Davison, Mathematics for Engineers: a modern interactive approach, 3. Auflage (Pearson-Prentice Hall, 2008)