Komponentendarstellung von Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen

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Betrachtet man beispielsweise einen Vektor <math>\vec{\textbf{a}}</math> im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, so lässt sich dieser auch als Summe der Produkte seiner Komponenten und den zugehörigen [[Einheitsvektoren]], die in die Richtungen der jeweiligen Koordinatenachsen zeigen, angeben:
 
Betrachtet man beispielsweise einen Vektor <math>\vec{\textbf{a}}</math> im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, so lässt sich dieser auch als Summe der Produkte seiner Komponenten und den zugehörigen [[Einheitsvektoren]], die in die Richtungen der jeweiligen Koordinatenachsen zeigen, angeben:
 
:<math>
 
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−
\vec{\textbf{a}} = \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z \end{bmatrix} = a_x \vec{\textbf{e}}_{x} + e_y \vec{\textbf{e}}_{y} + a_z \vec{\textbf{e}}_{z}
+
\vec{\textbf{a}} = \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z \end{bmatrix} = a_x \vec{\textbf{e}}_{x} + a_y \vec{\textbf{e}}_{y} + a_z \vec{\textbf{e}}_{z}
 
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Die Gültigkeit dieses Zusammenhangs lässt sich anhand des zweidimensionalen Beispiels in der Abbildung zur Vektorzerlegung nachvollziehen: Bildet man die Summe der beiden Vektoren <math>a_x \vec{\textbf{e}}_x</math> und <math>a_y \vec{\textbf{e}}_y</math>, so erhält man wieder den ursprünglichen Vektor <math>\vec{\textbf{a}}</math>. Führt man nun wie dargestellt einen Winkel <math>\alpha</math> ein, so lässt sich feststellen, dass sich die Strecke <math>a_x</math> mit Hilfe des Kosinus wie folgt bestimmen lässt:
 
Die Gültigkeit dieses Zusammenhangs lässt sich anhand des zweidimensionalen Beispiels in der Abbildung zur Vektorzerlegung nachvollziehen: Bildet man die Summe der beiden Vektoren <math>a_x \vec{\textbf{e}}_x</math> und <math>a_y \vec{\textbf{e}}_y</math>, so erhält man wieder den ursprünglichen Vektor <math>\vec{\textbf{a}}</math>. Führt man nun wie dargestellt einen Winkel <math>\alpha</math> ein, so lässt sich feststellen, dass sich die Strecke <math>a_x</math> mit Hilfe des Kosinus wie folgt bestimmen lässt:

Version vom 15. August 2012, 15:37 Uhr

Komponentenzerlegung eines Vektors

Vektorzerlegung
Bestimmung der Komponenten

Betrachtet man beispielsweise einen Vektor \vec{\textbf{a}} im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, so lässt sich dieser auch als Summe der Produkte seiner Komponenten und den zugehörigen Einheitsvektoren, die in die Richtungen der jeweiligen Koordinatenachsen zeigen, angeben:

\vec{\textbf{a}} = \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z \end{bmatrix} = a_x \vec{\textbf{e}}_{x} + a_y \vec{\textbf{e}}_{y} + a_z \vec{\textbf{e}}_{z}

Die Gültigkeit dieses Zusammenhangs lässt sich anhand des zweidimensionalen Beispiels in der Abbildung zur Vektorzerlegung nachvollziehen: Bildet man die Summe der beiden Vektoren a_x \vec{\textbf{e}}_x und a_y \vec{\textbf{e}}_y, so erhält man wieder den ursprünglichen Vektor \vec{\textbf{a}}. Führt man nun wie dargestellt einen Winkel \alpha ein, so lässt sich feststellen, dass sich die Strecke a_x mit Hilfe des Kosinus wie folgt bestimmen lässt:

a_x = a \cos(\alpha)

Mit Hilfe des Skalarprodukts (geometrisch interpretiert auch weil sich die Strecke a_x bei der Projektion des Vektors \vec{\textbf{a}} auf die parallel zum Einheitsvektor \vec{\textbf{e}}_{x} verlaufende Linie ergibt) lässt sich dieser Zusammenhang dann wie folgt ausdrücken:

\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{e}}_{x} = |\vec{\textbf{a}}| |\vec{\textbf{e}}_{x}| \cos(\alpha) = a \cos(\alpha) = a_x

Folglich können die Komponenten eines Vektors einfach dadurch bestimmt werden, dass man das Skalarprodukt aus diesem Vektor und den jeweils zugehörigen Einheitsvektoren bildet:

\vec{\textbf{a}} = \vec{\textbf{e}}_x a_x + \vec{\textbf{e}}_y a_y + \vec{\textbf{e}}_z a_z = \vec{\textbf{e}}_x \left( \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{e}}_x \right) + \vec{\textbf{e}}_y \left( \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{e}}_y \right) + \vec{\textbf{e}}_z \left( \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{e}}_z \right)

Koordinatendarstellung von Vektoren

Eine weitere Darstellung von Vektoren ist die Koordinatendarstellung. Sie unterscheidet sich von der Komponentendarstellung von Vektoren dadurch, dass die Komponenten untereinander in einer Matrix stehen. Dabei sind beide Schreibweisen äquivalent: \vec{\mathbf{a}}= \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix}

Komponentendarstellung von Vektorbeziehungen

Betrachtet man nun noch mal die verschiedenen Vektorbeziehungen, so lassen sich diese in Komponentendarstellung wie folgt angeben:

Addition und Subtraktion von Vektoren
\vec{\textbf{a}} \pm \vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{e}}_x \left( a_x \pm b_x \right) + \vec{\textbf{e}}_y \left( a_y \pm b_y \right) + \vec{\textbf{e}}_z \left( a_z \pm b_z \right)
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
\lambda \vec{\textbf{a}} = \vec{\textbf{e}}_x \lambda a_x + \vec{\textbf{e}}_y \lambda a_y + \vec{\textbf{e}}_z \lambda a_z
Skalarprodukt
\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} = \left( \vec{\textbf{e}}_x a_x + \vec{\textbf{e}}_y a_y + \vec{\textbf{e}}_z a_z \right) \cdot \left( \vec{\textbf{e}}_x b_x + \vec{\textbf{e}}_y b_y + \vec{\textbf{e}}_z b_z \right) = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

Bildet man das Skalarprodukt zweier gleicher Vektoren, so ergibt sich der folgende Sonderfall:

\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{a}} = \left| \vec{\textbf{a}} \right|^2 = a^2 = a^2_x + a^2_y + a^2_z

Der Betrag von \vec{\textbf{a}} lässt sich also auch dadurch bestimmen, dass man die Wurzel aus dem Skalarprodukt bildet:

a = |\vec{\textbf{a}}| = \sqrt{\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{a}}}
Vektorprodukt
\begin{align} \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} & = \left( \vec{\textbf{e}}_x a_x + \vec{\textbf{e}}_y a_y + \vec{\textbf{e}}_z a_z \right) \times \left( \vec{\textbf{e}}_x b_x + \vec{\textbf{e}}_y b_y + \vec{\textbf{e}}_z b_z \right)\\ & = a_x b_x \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_x \times \vec{\textbf{e}}_x \right)}_{\vec{\textbf{0}}} + a_y b_x \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_y \times \vec{\textbf{e}}_x \right)}_{-\vec{\textbf{e}}_z} a_z b_x \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_z \times \vec{\textbf{e}}_x \right)}_{\vec{\textbf{e}}_y}\\ & + a_x b_y \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_x \times \vec{\textbf{e}}_y \right)}_{\vec{\textbf{e}}_z} + a_y b_y \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_y \times \vec{\textbf{e}}_y \right)}_{\vec{\textbf{0}}} a_z b_y \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_z \times \vec{\textbf{e}}_y \right)}_{-\vec{\textbf{e}}_x}\\ & + a_x b_z \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_x \times \vec{\textbf{e}}_z \right)}_{-\vec{\textbf{e}}_y} + a_y b_z \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_y \times \vec{\textbf{e}}_z \right)}_{\vec{\textbf{e}}_x} a_z b_z \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_z \times \vec{\textbf{e}}_z \right)}_{\vec{\textbf{0}}}\\ & = \vec{\textbf{e}}_x \left( a_y b_z - a_z b_y \right) + \vec{\textbf{e}}_y \left( a_z b_x - a_x b_z \right) + \vec{\textbf{e}}_z \left( a_x b_y - a_y b_x \right) \end{align}


Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://www.walter-fendt.de/ph14d/zerlkraft.htm Applet: Zerlegung eines Vektors in seine Komponenten

Literatur

  • Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
  • Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
  • Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
  • Anthony Croft and Robert Davison, Mathematics for Engineers: a modern interactive approach, 3. Auflage (Pearson-Prentice Hall, 2008)


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