Flächenelemente

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Infinitesimale Flächenelemente sind beliebig kleine Teilelemente einer Fläche, die meist mit $A$ bezeichnet wird. Sie werden zum Beispiel im Zusammenhang mit Flächenenintegralen benötigt. Prinzipiell handelt es sich um eine konsequente Fortsetzung der Beschreibung infinitesimaler Wegelemente. Die Flächenelemente werden meist mit $\mathrm{d}A$ beziehungsweise bei einer gerichteten Fläche mit $\mathrm{d}\vec{\textbf{A}}$ bezeichnet.

Handelt es sich um gerichtete Flächenelemente, so ist die Angabe der jeweils zugehörigen Orientierung erforderlich. Dazu verwendet man einen Flächennormalenvektor (oder kurz Flächennormale). Dabei handelt es sich um Einheitsvektoren, die senkrecht auf der jeweiligen Teilfläche stehen. In der nachfolgenden Abbildung ist exemplarisch eine Fläche in der $x$-$y$-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems gegeben.

Ein infinitesimales Flächenelement ergibt sich gemäß der bekannten Regel „Grundseite multipliziert mit der Höhe“ zusammen, wobei diese Strecken nun infinitesimale Wegelemente darstellen. Die Flächennormale wird dementsprechend durch den Einheitsvektor $\vec{\mathrm{e}}_z$ beschrieben, so dass folgt:

$\mathrm{d}\vec{\textbf{A}} = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\vec{\mathrm{e}}_z$

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Im einfachsten Fall sind die zu bestimmenden Flächenelemente in kartesischen Koordinaten gegeben (wenn sie gegeben sind, müssen sie wohl nicht mehr bestimmt werden). Zunächst ist hier eine Integrationsfläche (was soll denn eine Integrationsfläche sein?) zu sehen, die sich in x-und y-Richtung ausbreitet. Ein infinitesimales Teilstück dieser Fläche muss dem zufolge auch in beide Richtungen ausgedehnt sein, um die gesamte Fläche beschreiben zu können (Argumentation unschlüssig). Eine Integration über $\mathrm{d}A$, kann dann auch als Integration über beide Wegelemente $\mathrm{d}x$ und $\mathrm{d}y$ beschrieben werden, wie auch bei nicht infinitesimal kleinen Objekten sich die Fläche aus dem Produkt der Seiten x und y bestimmt.

Es muss bei der vektoriellen Integration auch auf die Orientierung der Fläche geachtet werden. Dazu definiert man eine Flächennormale (man weiß nicht, was das ist), die orthogonal auf dem Flächenstück steht.

Wenn die Flächenelemente gekrümmt sind, dann müssen zur Berechnung der Flächenelemente (des Flächeninhalts?) so genannte Korrekturfaktoren eingeführt werden. Als Beispiel betrachtet man eine Kreisringfläche in der x-y Ebene. Möchte man dort ein infinitesimales Flächenelement beschreiben, so reicht es nicht aus einfach $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ zu verwenden. Durch die Krümmung der Fläche würde der Fehler sehr groß werden (Argumentation unschlüssig). Es bietet sich eine Koordinatentransformation in Polarkoordinaten an. Auf diese Weise kann entlang der Koordinatenlinien integriert werden. dA = ??? Der Grafik hinzufügen!

-> Reihenfolge der Richtungsangaben sollte korrespondieren!

Zur Bestimmung des Korrekturfaktors oder auch Metrikkoeffizienten betrachtet man nun ein Flächenelement des Kurvenstücks (vgl. Abbildung). Die Seitenlänge des Flächenelements entlang der r-Koordinate ist nicht gekrümmt und kann daher als $\mathrm{d}r$ angenommen werden (Formulierung). Die $\varphi$-Koordinate hängt auch von dem Radius r ab. Deshalb (unklar) ist das infinitesimale Flächenelement einer Kreisfläche $\mathrm{d}A=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi$.

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
• Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
• Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
• Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
• Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg

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