Das Volumenintegral

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To-do:

  • Ausführung von Mehrfachintegralen (Integrationsreihenfolge usw.) ausführlicher beschreiben, ggf. eigenen Abschnitt einfügen
  • "Vor das Integral schreiben" statt ziehen
  • Einleitung plausibler!!!
  • Grafik im Beispiel: Masse eines Zylinders: ??? Guck doch mal das phi an!! Außerdem einfärben.
  • Formulierungen wie "gegeben sei" durch "gegeben ist" ersetzen

Möchte man die Masse m eines Körpers bestimmen, dessen Dichte \rho ortsabhängig ist, verwendet man das Volumenenintegral, um die Masse zu berechnen (Nur dann, oder was?). Analog zur Berechnung der Masse kann man sich auch eine Raumladung vorstellen (unpräsize!). Mit Hilfe des Volumenintegrals lässt sich dann sehr einfach die gesamte (worin?) enthaltene Ladung bestimmen. Da die Dichte nichts anderes ist als die Masse pro Volumen und die Raumladung ausgedrückt werden kann als Ladung pro Volumen (falsch, das gilt nur für die RaumladungsDICHTE), entsprechen sich beide Berechnungen (Formulierung).

Zur Herleitung muss der Körper zunächst in i (wohl eher n?) würfelförmige Teilstücke K_i mit i=1,...,n (Komma) zerlegt werden, wobei jedes Würfelstück eine bestimmte Kantenlänge \delta aufweist. Anschließend multipliziert man das Volumen der Würfelstücke V=\delta^3 mit der spezifischen Dichte \rho_i und summiert alle Produkte über das Volumen auf. So erhält man:

 m=\sum_{i=1}^nV_i\cdot\rho_i

Bildet man nun den Grenzwert, also lässt die Kantenlänge \delta der Würfel gegen 0 gehen, während ihre Anzahl gegen \infty geht, folgt daraus folgende Form des Volumenintegrals (Reihenfolge unplausibel, Schreibweise falsch):

m=\int_V \rho(V)\mathrm{d}V=\lim{\Delta V_i \to 0}\sum_{i=1}^nV_i\cdot\rho_i

auch hier ist die andere Schreibweise möglich:

\iiint\limits_V \rho(V) \cdot \mathrm{d}V


Beispiel: Gesamtladung einer zylinderförmigen Raumladung
Masse eines Zylinders.svg

In diesem Beispiel ist eine zylinderförmige Raumladung mit einer zunächst ortsunabhängigen (konstanten) Raumladungsdichte \rho (=Ladungsmenge/Volumen) gegeben. Bei der Raumladungsdichte handelt es sich um eine analoge Größe zur Dichte eines Körpers, die die Masse pro Volumen beschreibt. Der Zylinder hat dabei die Höhe l und den Radius r. Ziel ist es nun, die gesamte Ladungsmenge Q (Gesamtladung) des Zylinders zu bestimmen. Hierfür muss die Raumladungsdichte über das Volumen V integriert werden:


Q=\int_V\rho\,\mathrm{d}V

Aufgrund der Symmetrie der Anordnung ist die Verwendung von Zylinderkoordinaten zweckmäßig. Das Differential \mathrm{d}V (also ein infinitesimales Volumenelement des Zylinders) wird dabei wie folgt beschrieben:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\tidle“): \mathrm{d}V=\tidle r\,\mathrm{d}\tilde r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Da hier die Integrationsvariable und die Variable in der Funktion gleich sind, setzt man eine Tilde (\tilde r) über das r, um zu zeigen, dass es sich nicht um dasselbe r handelt. Nun setzt man dieses Volumenelement und die Grenzen des Zylinders in die obige Gleichung ein:

 m=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^l\rho\cdot \tilde r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Da \rho unabhängig von den Integrationsgrenzen ist, kann es vor das Integral gezogen werden. Löst man nun das Integral, ergibt sich:

m=\rho\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^2}{2}\right|_0^r\cdot\left.z\right|_0^l=\rho\cdot\pi r^2\cdot l

Da \pi r^2\cdot l=V auch das Volumen des Zylinders ist, lässt sich hier auch die einfache Form ohne Integral zur Lösung nutzen:

m=\rho\cdot V=\rho\cdot \pi r^2\cdot l

Nicht mehr ganz so einfach wird die Rechnung jedoch, wenn \rho abhängig vom Volumen ist: Beispielsweise sei \rho(V) gegeben durch:

\rho(V)=z\cdot\rho_0

Führt man nun die selbe Rechnung durch, ergibt sich:

m=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^l\rho_0\cdot \tilde z\tilde r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Die Konstante \rho_0 lässt sich wieder vorziehen und das Integral ergibt:

m=\rho_0\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^2}{2}\right|_0^r\cdot\left.\frac{\tilde z^2}{2}\right|_0^l=\rho_0\cdot \pi r^2 \cdot \frac{l^2}{2}
Beispiel: Gesamtladung einer kugelförmigen Raumladung

Ein weiteres Beispiel zur Verwendung des Volumenintegrals findet sich im Artikel Volumenelemente.

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://www.surendranath.org/Applets/Electricity/BSLMFACC/BSL.html Applet zum Darstellen des Magnetischen Feldes

http://susannealbers.de/pk_applets/efeld/06wissen-physik-efeld.html Applet zu Punktladung und deren Feldlinien und Potenziale

http://demonstrations.wolfram.com/DoubleIntegralForVolume/ Applet: Doppelintegral über ein Volumen mit Hilfe von Unter und Obersummen (engl./ free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

Link.png

http://www.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/physik1/skript/03-02.pdf Bebilderte Beschreibung zum Volumenintegral am Beispiel von Massepunkten

http://www-hm.ma.tum.de/integration/course/html/ch2/t/t_parent.htm Verschiedene Anwendungen der Integration

http://www.hoever.fh-aachen.de/SS06/mathe/skript/Mathe2-2.pdf Erklärung zum mehrdimensionalen Integrieren

http://www.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/physik1/skript/03-02.pdf Bebilderte Beschreibung zum Volumenintegral am Beispiel von Massepunkten


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