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| | + | '''Viele wichtige Zusammenhänge''' in der Elektrotechnik '''sind''' mit Integralsätzen formuliert, wie zum Beispiel der Satz von Gauß, das Durchflutungsgesetz oder das Induktionsgesetz. Dabei wird '''immer''' über eine Kontur oder eine Fläche integriert. Um diese Konturen oder Flächen richtig zu beschreiben benötigt man infinitesimale ('''Herkunft des Wortes''') Elemente. |
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| | + | Betrachtet man das Durchflutungsgesetz, welches das [[Das Linienintegral|Linienintegral]] der magnetischen Feldstärke um eine geschlossene Kurve ''C'' in Beziehung zum Strom setzt, der durch die von dieser Kurve eingeschlossene Fläche fließt ('''Satz endet nicht richtig'''): |
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| | + | :<math>\oint_C \vec{\mathbf{H}}\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}=I</math> |
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| | + | [[Datei:Durchflutungsgesetz.png|250px|thumb|right|Durchflutungsgesetz]] |
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| | + | An dieser Stelle '''soll es aber unter anderem''' um das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math> gehen. |
| | + | Man erkennt '''in den''' jeweiligen Integralen, ob man über einen Weg, eine Fläche oder ein Volumen integriert, indem man das '''Differential''' am Ende des Integrals betrachtet. Es kann die Fom <math>\mathrm{d}s</math>,<math>\mathrm{d}A</math> oder <math>\mathrm{d}V</math> annehmen. |
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| | + | ==Übersicht== |
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| − | '''Viele wichtige Zusammenhänge''' in der Elektrotechnik '''sind''' mit Integralsätzen formuliert, wie zum Beispiel der Satz von Gauß, das Durchflutungsgesetz oder das Induktionsgesetz. Dabei wird '''immer''' über eine Kontur oder eine Fläche integriert. Um diese Konturen oder Flächen richtig zu beschreiben benötigt man infinitesimale ('''Herkunft des Wortes''') Elemente.
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| − | Betrachtet man das Durchflutungsgesetz, welches das [[Das Linienintegral|Linienintegral]] der magnetischen Feldstärke um eine geschlossene Kurve ''C'' in Beziehung zum Strom setzt, der durch die von dieser Kurve eingeschlossene Fläche fließt ('''Satz endet nicht richtig'''):
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| − | :<math>\oint_C \vec{\mathbf{H}}\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}=I</math>
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| − | [[Datei:Durchflutungsgesetz.png|250px|thumb|right|Durchflutungsgesetz]]
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| − | An dieser Stelle '''soll es aber unter anderem''' um das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math> gehen.
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| − | Man erkennt '''in den''' jeweiligen Integralen, ob man über einen Weg, eine Fläche oder ein Volumen integriert, indem man das '''Differential''' am Ende des Integrals betrachtet. Es kann die Fom <math>\mathrm{d}s</math>,<math>\mathrm{d}A</math> oder <math>\mathrm{d}V</math> annehmen.
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| − | ==Wegelemente==
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| − | [[Datei:Linienladung Gerade.svg|300px|Linienladung entlang einer Koordinatenachse]]
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| − | Betrachtet man in der Abbildung das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math>, so fällt auf, dass es in beliebige Richtungen zeigt ('''hä? woran soll das hier auffallen?'''), ebenso wie auch die Kontur im Durchflutungssatz eine beliebige ('''nein, sie muss zumindest geschlossen sein, also isrt sie nicht beliebig''') Form annehmen kann. Wichtig ist hierbei, dass das Wegelement <math>\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}</math> als '''infinitesimales''' Wegstück aufgefasst werden soll. Es ist also ein sehr kleines Wegstück, so klein, dass die Krümmung des einzelnen Wegstücks vernachlässigbar wird.
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| − | In den nebenstehenden Abbildungen ('''nebenstehend sind keine Abbildungen''') sind zwei beispielhafte Verläufe einer Linienladung dargestellt. Im ersten Fall verläuft die Linienladung nur entlang der x-Achse. Das Wegelement kann hier also mit dem Differential <math>\mathrm{d}x</math> dargestellt ('''wirklich dargestellt?''') werden, da die zu integrierenden Funktion <math>f(x)</math> nur von ''x'' abhängt.
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| − | Ist jedoch der Kurvenverlauf aus der zweiten Abbildung gegeben, ist die Funktion von x und y abhängig <math>f(x,y)</math>. Nun kann man nicht einfach nach <math>\mathrm{d}x</math> '''und''' <math>\mathrm{d}y</math> integrieren, weil so eine Fläche aufgespannt wird und man so ein Flächenelement <math>\mathrm{d}A</math> erhält ('''Argumentation des letzten Satzes unschlüssig'''). Da hier ein Kreisbogen betrachtet wird, bietet sich die Verwendung von [[Zylinderkoordinaten|Polarkoordinaten]], da so der Kreisbogen nur noch von einner Koordinaten <math>\varphi</math> abhängt ('''1. Du sprechen Deutsch? 2. "Der Kreisbogen" ist doch Quatsch. Ist die LÄNGE DES KREISBOGENS gemeint?''').
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| − | [[Datei: Wegelement_Kreis.svg|300px|Wegelement auf einer Kreisbahn]]
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| − | Es muss darauf geachtet werden, dass '''vor allem''' bei den gekrümmten orthogonalen Koordinaten '''oft''' Korrekturfaktoren ('''Man weiß doch gar nicht, was Korrekturfaktoren sein sollen!''') bei infinitesimalen Elementen zu berücksichtigen sind. Hier ist die Koordinate <math>\varphi</math> auch vom Radius r abhängig. Dies entspricht einer Umfangsberechnung des Kreises. Der Kreis hat einen Gesamtumfang von <math>2\pi r</math>. Betrachtet man ein kleines Teilstück des Kreises folgt: <math>r\mathrm{d}\varphi</math> ('''In Grafik untereinander darstellen''').
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| − | In dieser Vorlesung werden '''nur einfache Verläufe''' entlang der Koordinatenachsen uns bekannter [[Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht|Koordinatensysteme]] verwendet (''stimmt nicht!!!''). Für kompliziertere Verläufe gibt es ('''besser: existieren''') mathematische Hilfsmittel, auf die hier aber nicht näher eingegangen werden soll ('''wird!'''). Es werden hauptsächlich für Wegelemente in den kartesischen Koordinaten <math>\mathrm{d}x</math>,<math>\mathrm{d}y</math> oder <math>\mathrm{d}z</math>, in den Zylinderkoordinaten <math>\mathrm{d}\rho</math> oder <math>\mathrm{d}\varphi</math> und in den Kugelkoordinaten <math>\mathrm{d}r</math> verwendet ('''Du sprechen Deutsch?''').
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| − | ==Flächenelemente==
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| − | [[Datei:Flaechenelement.svg|350px|Flächenelement in kartesischen Koordinaten]]
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| − | Im einfachsten Fall sind die zu bestimmenden Flächenelemente in kartesischen Koordinaten gegeben ('''wenn sie gegeben sind, müssen sie wohl nicht mehr bestimmt werden'''). Zunächst ist '''hier''' eine Integrationsfläche ('''was soll denn eine Integrationsfläche sein?''') zu sehen, die sich in x-und y-Richtung ausbreitet. Ein infinitesimales Teilstück dieser Fläche muss dem zufolge auch in beide Richtungen ausgedehnt sein, um die gesamte Fläche beschreiben zu können ('''Argumentation unschlüssig'''). Eine Integration über <math>\mathrm{d}A</math>, kann dann auch als Integration über beide Wegelemente <math>\mathrm{d}x</math> und <math>\mathrm{d}y</math> beschrieben werden, wie auch bei nicht infinitesimal kleinen Objekten sich die Fläche aus dem Produkt der Seiten x und y bestimmt.
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| − | Es muss bei der [[Vektorrechnung:Übersicht| vektoriellen]] Integration auch auf die Orientierung der Fläche geachtet werden. Dazu '''definiert''' man eine Flächennormale ('''man weiß nicht, was das ist'''), die orthogonal auf dem Flächenstück steht.
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| − | Wenn die Flächenelemente gekrümmt sind, dann müssen zur Berechnung der Flächenelemente ('''des Flächeninhalts?''') so genannte ''Korrekturfaktoren'' eingeführt werden. Als Beispiel betrachtet man eine Kreisringfläche in der x-y Ebene. Möchte man dort ein infinitesimales Flächenelement beschreiben, so reicht es nicht aus einfach <math>\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math> zu verwenden. Durch die Krümmung der Fläche würde der Fehler sehr groß werden ('''Argumentation unschlüssig'''). Es bietet sich eine Koordinatentransformation in [[Zylinderkoordinaten|Polarkoordinaten]] an. Auf diese Weise kann entlang der Koordinatenlinien integriert werden.
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| − | '''dA = ??? Der Grafik hinzufügen!'''
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| − | [[Datei:Flaechenelement_Kreis.svg|300px|Flächenelement in Polarkoordinaten]]
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| − | -> '''Reihenfolge der Richtungsangaben sollte korrespondieren!'''
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| − | Zur Bestimmung des ''Korrekturfaktors'' oder auch [[Zylinderkoordinaten|Metrikkoeffizienten]] betrachtet man nun ein Flächenelement des Kurvenstücks (vgl. Abbildung). Die Seitenlänge des Flächenelements entlang der r-Koordinate ist nicht gekrümmt und kann daher als <math>\mathrm{d}r</math> angenommen werden ('''Formulierung'''). Die <math>\varphi</math>-Koordinate hängt auch von dem Radius r ab. Deshalb ('''unklar''') ist das infinitesimale Flächenelement einer Kreisfläche <math>\mathrm{d}A=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi</math>.
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| − | ==Volumenelemente==
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| − | Betrachtet man das Volumenelement in kartesischen Koordinaten ändert sich nicht viel im vergleich zu dem Flächenelement in kartesischen Koordinaten ('''GEHT GAR NICHT!!!'''). Es muss nur auch noch die Ausdehnung in z-Richtung berücksichtigt werden. Also ergibt sich ein infitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten zu:
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| − | :<math>\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z</math>
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| − | Aus ähnlichen Betrachtungen ergeben sich die Volumenelemente, die in den Abbildungen zu sehen sind:
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| − | Das Flächenelement einer Kreisfläche wurde schon besprochen ('''Lieber im nachfolgenden Satz ausgehend vom Flächenelement auf den oberen Teil verweisen'''). Bei dem Volumenelement in Zylinderkoordinaten wird zu diesem Flächenelement, wie in der Abbildung zu sehen, noch eine Höhenkomponente ('''Begriff fragwürdig''') in z-Richtung ('''Was bedeutet in z-Richtung multiplizieren?''') multipliziert. Daher lautet das Volumenelement:
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| − | :<math>\mathrm{d}V=\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\rho\mathrm{d}z</math>
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| − | [[Datei:Volumenelement_Zylinder.svg|600px|Volumenelement eines Zylinders]]
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| − | Das Volumenelement ('''gibt es denn nur eins?''') der ('''in!''') Kugelkoordinaten ergibt sich aus der Symmetrie einer Kugel ('''hä?'''). Wie in der Abbildung zu sehen kann man die verschiedenen Kanten des Volumenelementes mit den Koordinatenabhängigkeiten beschreiben. So ergibt beisielsweise die Höhen Seite <math>r\mathrm{d}\vartheta</math> aus den Zusammenhängen, die schon bei den kreisförmigen Wegelementen beschreiben wurden. Multipliziert man alle Abhängigkeiten auf ergibt sich das Volumenelement zu ('''gibt es denn nur eins?'''):
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| − | :<math>\mathrm{d}V=r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r</math>
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| − | [[Datei:Volumenelement_Kugel.svg|600px|Volumenelement einer Kugel]]
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| − | {{Beispiel
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| − | |Titel=Volumenelement in kartesischen Koordinaten
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| − | |Inhalt=
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| − | [[Datei:Volumenelement_kartesisch.svg|300px|thumb|right|Volumenelement in kartesischen Koordinaten]]
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| − | In diesem Beispiel ist eine homogene Raumladungsdichte <math>\rho</math> in einem Quader mit den Kantenlängen a, b und c ('''einzeichnen!''') gegeben. Die Raumladungsdichte '''ist bestimmt als''' Ladung pro Volumen, daher muss, um die Gesamtladung zu bestimmen, über das Volumen des Quaders integriert werden:
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| − | :<math>Q=\int_V\rho\mathrm{d}V</math>
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| − | Das Volumenelement der kartesischen Koordinaten lautet ('''besser: ein infinitessimal kleines VElement in kart. Koord. lässt sich wie folgt beschreiben -> siehe oben (Link)'''):
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| − | :<math>\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z</math>
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| − | Es kann direkt in die Gleichung eingesetzt und das Integral gelöst werden. Da die Raumladungsdichte <math>\rho</math> homogen ist, ist sie in dem gesamten Integrationsgebiet konstant und kann vor das Integral geschrieben werden:
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| − | :<math>Q=\int_a\int_b\int_c \rho \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\rho\int_a\int_b\int_c\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z</math>
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| − | :<math>Q=\rho\cdot a\cdot b\cdot c=\rho\cdot V</math>
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| − | }}
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| − | {{Beispiel
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| − | |Titel=Volumenelement einer Kugel
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| − | |Inhalt=
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| − | [[Datei:Raumladung_einer_Kugel.svg|250px|thumb|right|Raumladung einer Kugel]]
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| − | Im zweiten Beispiel wird eine eine kugelförmige, konstante Raumladungsdichte <math>\rho</math> mit Radius '''R''' betrachtet. Um nun die gesamte Ladung zu bestimmen, muss über das Volumen der Kugel integriert werden. In diesem Fall bietet sich aufgrund der Symmetrie die Berechnung in [[Kugelkoordinaten]] an:
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| − | :<math>Q=\int_V\rho\mathrm{d}V</math>
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| − | Um über die gesamte Kugel zu integrieren, muss man die Integrationsgrenzen korrekt wählen. Da die gesamte Kugel betrachtet wird, muss die maximalen Ausdehnungen der Kugelkoordinaten für die Winkel <math>\theta</math> und <math>\varphi</math> gewählt werden, der Radius ergibt sich aus der Anordnung zu <math> r_{max}=R</math>:
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| − | :<math>0\leq\varphi\leq 2\pi</math>
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| − | :<math>0\leq\vartheta\leq\pi</math>
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| − | Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinaten verwendet werden. Dies ergibt sich aus der Symmetrie, zu:
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| − | :<math>\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r</math>
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| − | Eingesetzt folgt daraus:
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| − | :<math>Q=\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot \tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta</math>
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| − | Da <math>\rho</math> homogen ist, also unabhängig von dem Ort, kann man die Konstante vor das Integral ziehen und das Integral dann lösen:
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| − | :<math>Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^3}{3}\right|_0^R=\rho\frac{4\pi R^3}{3}</math>
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| − | Dies enspricht abgesehen von der Konstante <math>\rho</math> dem Volumen einer Kugel.
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| − | }}
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| − | {{Multimedia|Links=
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| − | http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073451342/student_view0/chapter13/section6/cylindrical_coordinates__app_.html
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| − | Darstellung von infinitesimalen Volumenelementen in Zylinderkoordinaten
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| − | (engl.)
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| − | }}
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| − | {{Link|Links=
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| − | http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.)
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| | <noinclude>==Literatur== | | <noinclude>==Literatur== |
gehen.
Man erkennt in den jeweiligen Integralen, ob man über einen Weg, eine Fläche oder ein Volumen integriert, indem man das Differential am Ende des Integrals betrachtet. Es kann die Fom 
,
oder 
annehmen.
